专题五二次函数与幂函数高考数学一轮复习专题.docx
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专题五二次函数与幂函数高考数学一轮复习专题
专题五二次函数与幂函数
一、题型全归纳
题型一幂函数的图象及性质
【题型要点】1.巧识幂函数的图象和性质
2.幂函数的图象与性质问题的解题策略
(1)关于图象辨识问题,关键是熟悉各类幂函数的图象特征,如过特殊点、凹凸性等.
(2)关于比较幂值大小问题,结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较或应用.
(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时,常用数形结合的思想方法,即在同一坐标系下画出两函数的图象,数形结合求解.
【例1】已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点,且关于y轴对称,则m的所有可能取值为.
【解析】因为幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点,且关于y轴对称,所以m2-2m-3≤0且m2-2m-3(m∈N*)为偶数.由m2-2m-3≤0得-1≤m≤3,又m∈N*,所以m=1,2,3,当m=1时,m2-2m-3=1-2-3=-4为偶数,符合题意;当m=2时,m2-2m-3=4-4-3=-3为奇数,不符合题意;当m=3时,m2-2m-3=9-6-3=0为偶数,符合题意.综上所述,m=1,3.
【例2】幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
【解析】设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=
,
所以y=
,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0题型二求二次函数的解析式
【题型要点】求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下:
【例1】已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
【解析】解法一(利用一般式):
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得
解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
解法二(利用顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f
(2)=f(-1),f(-1)=-1,所以抛物线的对称轴为x=
=
.所以m=
.又根据题意函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a
+8.因为f
(2)=-1,所以a
+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4
+8=-4x2+4x+7.
解法三(利用零点式):
由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,即
=8.解得a=-4或a=0(舍去),
所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
题型三二次函数的图象与性质
命题角度一 二次函数图象的识别问题
【题型要点】确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向.
二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置.
三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点,函数图象的最高点或最低点等.
从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图象中得到如上信息.
【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5aA.②④ B.①④
C.②③D.①③
【答案】B
【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-
=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a
命题角度二 二次函数的单调性及最值问题
【题型要点】二次函数的单调性及最值问题
(1)类型:
①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.
(2)解决这类问题的思路:
抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
【例1】求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值.
【解析】f(x)=(x+a)2+1-a2,所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a.
①当-a<
即a>-
时,f(x)max=f
(2)=4a+5.②当-a≥
即a≤-
时,f(x)max=f(-1)=2-2a,
综上,f(x)max=
【例2】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是.
【解析】当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=
,由f(x)在[-1,+∞)上递减知
解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].故填[-3,0].
命题角度三 一元二次不等式恒成立问题
【题型要点】1.不等式恒成立求参数取值范围的思路
一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.
2.记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
【例1】已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.
【解析】作出二次函数f(x)的草图,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
则有
即
解得-
【例2】已知函数f(x)=x2+2x+1,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,则k的取值范围为.
【解析】由题意得x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.
设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减.所以g(x)min=g(-1)=1.
所以k<1.故k的取值范围为(-∞,1).
题型四分类讨论思想在二次函数问题中的应用
【题型要点】二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数),x=-
为其最值点横坐标,在其两侧二次函数具有相反的单调性,当已知二次函数在某区间上的最值求参数时,要根据对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论,研究其最值
【例1】已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,则实数a的值为________.
【解析】:
f(x)=a(x+1)2+1-a.
(1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
(2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f
(2)=8a+1=4,解得a=
;
(3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.
【例2】已知函数f(x)=x2-2tx+1在区间[2,5]上单调且有最大值为8,则实数t的值为.
【解析】 函数f(x)=x2-2tx+1图象的对称轴是x=t,
函数在区间[2,5]上单调,故t≤2或t≥5.若t≤2,则函数f(x)在区间[2,5]上是增函数,
故f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,解得t=
;若t≥5,则函数f(x)在区间[2,5]上是减函数,
此时f(x)max=f
(2)=4-4t+1=8,解得t=-
,与t≥5矛盾.综上所述,t=
.综上可知,a的值为
或-3.
二、高效训练突破
一、选择题
1.(2020·洛阳一中月考)抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的符号为( )
A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b>0,c<0
【解析】由题意知抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧得
<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得-
>0,所以b>0.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),则f
(2)的值为( )
A.5B.6
C.8D.与a,b的值有关
【解析】因为函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),所以f(x)=ax2+bx+5的图象关于x=
=1对称,则f
(2)=f(0)=5.故选A.
3.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )
A.c
【解析】:
根据幂函数的性质,可知选D.
4.(2020·辽宁第一次联考)设函数f(x)=x
,若f(a)>f(b),则( )
A.a2>b2B.a2C.ab
【答案】A.
【解析】:
函数f(x)=x
=(x2)
,令t=x2,易知y=t
,在第一象限为单调递增函数.又f(a)>f(b),所以a2>b2.故选A.
5.对任意的x∈[-2,1],不等式x2+2x-a≤0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0]B.(-∞,3]
C.[0,+∞)D.[3,+∞)
【解析】设f(x)=x2+2x-a(x∈[-2,1]),其对称轴为x=-1,所以当x=1时,f(x)取得最大值3-a,
所以3-a≤0,解得a≥3.故选D.
6.(2020·石家庄市模拟
(一))若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( )
A.在(-∞,2)上递减,在[2,+∞)上递增B.在(-∞,3)上递增
C.在[1,3]上递增D.单调性不能确定
【解析】:
由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2)上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.
7.(2020·福建连城一模)已知函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1A.f(x1)=f(x2)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)【解析】:
由题知二次函数f(x)的图象开口向下,图象的对称轴为x=
,因为x1+x2=0,所以直线x=x1,x=x2关于直线x=0对称,由x18.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为
,则m的取值范围是( )
A.[0,4]B.
C.
D.
【解析】:
二次函数图象的对称轴为x=
,且
=-
,f(3)=f(0)=-4,结合函数图象(如图所示)
可得m∈
9.(2019·襄阳五中期中)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2019-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>c>b>dB.a>b>c>d
C.c>d>a>bD.c>a>b>d
【解析】f(x)=2019-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2019,又f(a)=f(b)=2019,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图可知c>a>b>d.故选D.
10.(2019·杭州测试)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为( )
A.[-3,3]B.[-1,3]
C.{-3,3}D.{-1,-3,3}
【解析】因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2的图象的对称轴为直线x=1,f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,所以当a≥1时,f(x)min=f(a)=(a-1)2=4,a=-1(舍去)或a=3;当a+2≤1,即a≤-1时,f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4,a=1(舍去)或a=-3;当a<1<a+2,即-1<a<1时,f(x)min=f
(1)=0≠4.故a的取值集合为{-3,3}.故选C.
二、填空题
1.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为________.
【解析】依题意可设f(x)=a(x-2)2-1(a>0),又其图象过点(0,1),所以4a-1=1,所以a=
,所以
f(x)=
(x-2)2-1.
2.(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上递减,则实数m=.
【解析】:
根据幂函数的定义和性质,得m2-m-1=1.解得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,符合题意;
当m=-1时,f(x)=x0=1在(0,+∞)上不是减函数,所以m=2.
3.设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈R,f(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是.
【解析】:
当m=0时,f(x)=-1<0,符合题意.当m≠0时,f(x)为二次函数,则由f(x)<0恒成立得
即
解得-44.若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为.
【解析】:
因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,对称轴x=1,因为f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,
所以当1≤a时,f(x)min=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,
当a+2≤1,即a≤-1时,f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,
当a<1(1)=0≠4,故a的取值集合为
.
5.(2020·重庆(区县)调研测试)已知函数f(x)=-2x2+mx+3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4,则m的值为.
【解析】:
f(x)=-2x2+mx+3=-2
+
+3,
因为0≤m≤4,所以0≤
≤1,所以当x=
时,f(x)取得最大值,所以
+3=4,解得m=2
.
6.(2019·河北师大附中期中)若函数f(x)=mx2-2x+3在[-1,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为________.
【解析】当m=0时,f(x)=-2x+3在R上单调递减,符合题意;当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x+3在[-1,+∞)上单调递减,只需对称轴x=
≤-1,且m<0,解得-1≤m<0,综上,实数m的取值范围为[-1,0].
7.定义:
如果在函数y=f(x)定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是.
【解析】:
因为函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,设x0为均值点,
所以
=m=f(x0),即关于x0的方程-x
+mx0+1=m在(-1,1)内有实数根,
解方程得x0=1或x0=m-1.所以必有-1三、解答题
1.(2019·杭州模拟)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.
(1)求f(x)的表达式;
(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f
(2),最小值f(-1),求实数k的取值范围.
【解析
(1)由f(-1+x)=f(-1-x)可得f(x)的图象关于直线x=-1对称,设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0),由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+
,所以|x1-x2|=
=
=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=
,则
≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].
2.(2020·辽宁第一次联考)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(m∈R)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求m的值及f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=-
+2ax+1-a在[0,2]上的最大值为3,求实数a的值.
【解析】:
(1)幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(m∈R)在(0,+∞)上单调递增,
故
解得m=0,故f(x)=x3.
(2)由f(x)=x3,得g(x)=-
+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a,
函数图象为开口方向向下的抛物线,对称轴为x=a.因为在[0,2]上的最大值为3,所以
①当a≥2时,g(x)在[0,2]上单调递增,故g(x)max=g
(2)=3a-3=3,解得a=2.
②当a≤0时,g(x)在[0,2]上单调递减,故g(x)max=g(0)=1-a=3,解得a=-2.
③当0综上所述,a=±2.
3.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.
【解析】:
(1)因为f(x)=x2-2ax+5在(-∞,a]上为减函数,
所以f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,a]上单调递减,
即f(x)max=f
(1)=a,f(x)min=f(a)=1,所以a=2或a=-2(舍去).即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(-∞,2]上是减函数,所以a≥2.
所以f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增,
又函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=max{f
(1),f(a+1)},
又f
(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)≥0,
所以f(x)max=f
(1)=6-2a.
因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,
所以f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3.又a≥2,所以2≤a≤3.
即实数a的取值范围为2≤a≤3.