高考全国3卷理科数学试题及答案解析.docx

1、高考全国3卷理科数学试题及答案解析2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分）1已知集合 A （x,y） x2 y2 1 ，B （x,y） y x ，则 A B中元素的个数为（）A 3 B 2 C 1 D0【答案】 B【解析】 A表示圆 x2 y2 1上所有点的集合， B 表示直线 y x上所有点的集合， 故 A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为 2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2设复数 z满足 （1 i）z 2i，则 z （）A1B 2C 2D222答案】C解析】由题，2i 2i 1

2、 i z2i 22i 2 i 1 ，则z 12 12 2 ，故选 C1 i 1 i 1 i23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳答案】 A解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，故选 A.5 3 34 (x y)(2x y)5 的展开式中 x3y3 的系数为A【答案】【

3、解析】B)C40D80C由二项式定理可得，原式展开中含2 2 3 3 3 2x C52 2x y y C53 2x y33x y 的项为3 3 3 340x3y3，则 x3 y3的系数为 40，故选 C.225已知双曲线 C ：x2 y2 1a2 b2a 0，b 0 )的一条渐近线方程为y 5x ，y x ，2且与椭圆22x y 1 有公共焦点322x2 y2 18 10B12C 的方程为()AB22x2 y2 1522xyC 154D答案】解析】双曲线的一条渐近线方程为y 25x，则ba5222又椭圆 1x2 y3 1与双曲线有公共焦点，易知c 3 ，则22a2 b2 c由解得 a 2,b

4、5 ，则双曲线 C 的方程为24 y5 1 ，故选 B.6设函数 f(x) cos(x 3) ，则下列结论错误的是()3Af(x) 的一个周期为 2Cf(x ) 的一个零点为 x 6答案】解析】2y2 1439y f (x) 的图像关于直线D f(x)在 (, )单调递减2S 的值小于 91，则输入的正整数 N故选y cosx 向左平移 个单位得到，3函数 f x cos x 的图象可由3D.x 8对称37执行右图的程序框图，为使输出的最小值为()ABCD2答案】 D解析】程序运行过程如下表所示：SMt初始状态01001第1次循环结束100102第2次循环结束9013此时 S 90 91 首次

5、满足条件，程序需在 t 3时跳出循环，即 N 2为满足条件的 最小值，故选 D.8已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为（）A B 3 C D 4 4 【答案】 B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 r 12 1 3 ，222 3 则圆柱体体积 V r2h ，故选 B.49等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则 an 前6项的和 为（）A 24 B 3 C 3 D8【答案】 A【解析】 an 为等差数列，且 a2,a3,a6 成等比数列，设公差为 d.22 则 a32 a2 a6 ，

6、即 a1 2d 2 a1 d a1 5d 又 a1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 0 又 d 0 ，则 d 26 5 6 5 S6 6a1 2 d 1 6 2 2 24 ，故选 A.2210已知椭圆 C: x2 y2 1（a b 0 ）的左、右顶点分别为 A1， A2 ，且以线段 A1 A2为直 ab径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A63B 3 C 23D 13答案】A解析】以A1A2 为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，圆心到直线距离d 等于半径，2aba d 2ab又 a 0,b 0 ，则上式可化简为 a2 3b2 2 2 2 2 2 2

7、c 2 b a c ，可得 a 3 a c ，即 2 a3e c 6，故选 A a311已知函数 f(x) x2 2x a(ex 1 e x 1) 有唯一零点，则111 B 13 C 由条件， f(x) x2 2x a(ex 1 e x 1) ，得： f (2 x) (2 x)2 2(2 x) a(e2 x 1 e (2 x) 1) x2 4x 4 4 2x a(e1 x ex 1) 2 x 1 x 1x2 2x a(ex1 e x 1) f(2 x) f (x) ，即 x 1为 f (x) 的对称轴， 由题意， f (x) 有唯一零点， f(x) 的零点只能为 x 1 ， 即 f(1) 12

8、 2 1 a(e1 1 e 1 1) 0 ， 1解得 a 1 2ACa ()12D1答案】 解析】12在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 2，动点 P 在以 BD 相 切 的 圆 上 若 的最大值为()B 2 2 D2点 C 为 圆 心 且 与 AP AB AD ，则 AC答案】解析】35A 由题意，画出右图 设 BD与 C切于点 E，连接 CE 以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴， AB为 y轴正半轴建立直角坐标系， 则 C 点坐标为 (2,1) |CD| 1，|BC | 2 BD 12 22 5 BD 切 C 于点 E CE BD CE 是 Rt BCD 中斜边 BD 上的高1

9、2 2 |BC | |CD | 2 |BD | 52 5 5yBEA(O)|EC| 2|SBDBC|D即 C 的半径为 P 在 C 上2552 2 4(x 2)2 (y 1)2 4 P 点的轨迹方程为 5 设 P点坐标 (x0, y0 ) ，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：2x0 2 5cos25y0 1 2 5sin而AP (x0,y0)， AB (0,1) ， AD (2,0) AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , ) x0 1 cos ， y0 1 5sin 2 0 5 5 两式相加得：1 2 5sin 1 5cos552 (255)22 sin( ) 3( 其中

10、sin 5 ， cos 2 5 )55当且仅当 2 2k ， k Z 时， 取得最大值 3二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）x y 0,13若x，y满足约束条件 x y 20,则 z 3x 4 y的最小值为 y 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3x 4y ，则直线 y 3 x z纵截距越大， z值越小44a1 a2 1 a1 a1q 1 a1 a3 3 a1 a1q 3 显然 q 1， a1 0 ，1得 1 q 3 ，即 q 2 ，代入 式可得 a1 1 ， 3315设函数 f (x) xx 1,x 0,2x,x 0,a4 a1q 1 2 8

11、 1则满足 f (x) f(x 2) 1 的x的取值范围是答案】解析】1,4,x 1,x 0 f x x ， f x f2x ,x 011f21x 1 ，即 f x21由图象变换可画出 y f x 2 与 y 1 f x 的图象如下：圆心， 1为半径的圆x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，16 a ， b为空间中两条互相垂 的直角边 AC 所在直线与 a ， b 都垂直， 斜边 AB 论： 当直线 AB与 a成 60 当直线 AB与 a成 60 直线 AB与 a所成角的最小值为 45 ； 直线 AB与 a所成角的最大值为 60 其中正确的是 (填写所有正确结论的编号)【答案】【解析】由题意

12、知， a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图 不妨设图中所示正方体边长为 1， 故|AC| 1， AB 2 ， 斜边 AB以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A点保持不变， B 点的运动轨迹是以 以 C 为坐标原点，以 CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ， 直线 a的方向单位向量 a (0,1,0) ，|a| 1B 点起始坐标为 （0,1,0） ， 直线 b 的方向单位向量 b （1,0,0） ，|b | 1设 B 点在运动过程中的坐标 B （cos ,sin ,0） ， 其中 为 BC与CD 的夹角， 0,2）那么 AB 在运动过程中

13、的向量 AB （ cos , sin ,1） ， | AB | 2 设 AB 与 a 所成夹角为 0, ，aAB( cos , sin 则 cos（0,1,0） 2 |sin | 0, 2 2 2 故 4,2 ，所以正确，错误设 AB 与 b所成夹角为 0, ，222 |cos |当 AB 与 a 夹角为 60 时，即sin 2cos 2cos 2 132 cos2 sin 2 1 ，2|cos | 2 cos 2 |cos | 1 22 0, 2 = 3 ，此时 AB 与b 夹角为 60 3正确，错误（一）必考题：共 60分 17（ 12分）c，已知 sin A 3cosA 0，a 2 7

14、，b 2 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b， （1）求 c；解析】( 1)由 sin A 3cos A 0 得 2sin A 3 0 ，（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD的面积 2 A ，得 A .331 由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cosA .又 a 2 7,b 2,cosA 2代入并整理2 得 c 1 25 ，故 c 4.2) AC 2,BC 2 7, AB 4， 由余弦定理 cosC a b c 2 7 .2ab 7 AC AD ，即 ACD 为直角三角形， 则 AC CD cosC ，得 CD 7. 由勾股定理 AD CD 2 AC2

15、3.1SABDABD 2AD AB sin 32618（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得面的频数分布表：最高气温10，1515，2020，2525，3030 ，3535，40天数216362574以最高气温位于各区间

16、的频率代替最高气温位于该区间的概率（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？解析】易知需求量 x 可取 200,300,500当 n 200时： Y n 6 4 2n，此时 Ymax 400 ，当n 200时取到 .412当 200 n 300时： Y 2n 200 2 n 200 2558 800 2n 6n 800n5此时 Ymax 520，当 n 300时取到 .当 300 n500 时，Y 1 200 2 n 200 2 2

17、300 2 n 300 2 2 n 25 5 53200 2n5 此时 Y 520.当 n 500时，易知 Y一定小于的情况 . 综上所述：当 n 300时， Y 取到最大值为 520.19（12分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角 形 ? ABD ?CBD ， AB= BD D（ 1）证明：平面 ACD 平面 ABC ； D（2）过 AC 的平面交 BD于点 E ，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分求二 面角 D- AE - C 的余弦值B解析】取 AC中点为 O，连接 BO，DO ； ABC 为等边三角形 BO AC AB BC AB

18、 BC BD BDABD CBD .ABD DBC AD CD , 即 ACD 为等腰直角三角形， ADC A 为直角又 O为底边 AC 中点 DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD aD易得：易得： OD a ，2 OD 2 OB 2 BDOB a2由勾股定理的逆定理可得 DOB2即 OD OBOD OBAC OB O OD 平面 ABCAC 平面 ABCOB 平面 ABC 又 OD 平面 ADC 由面面垂直的判定定理可得 平面ADC 平面 ABC 由题意可知 VD ACE VB ACE 即B, D 到平面 ACE的距离相等 即E为 BD中点以 O 为原点， OA 为 x 轴正

19、方向， OB 为 y 轴正方向， OD 为 z 轴正方向， 设 AC a ， 建立空间直角坐标系， 则 O 0,0,0 ， A a,0,0易得： AE a, 3 a,a2 4 4a3D 0,0, ， B 0,22aaAD a2,0, 2a ，a,0 ，E 0, 3a,a2 4 4aOA ,0,02设平面 AED的法向量为 n1 ，平面 AEC的法向量为 n2 ， AE n1 0则 ，解得 n1 3,1, 3AD n1 0AE n2 0 ，解得 n2 0,1, 3OA n2 0 若二面角 D AE C 为 ，易知 为锐角，20（ 12分）已知抛物线 C:y2= 2x ，过点（ 2，0）的直线 l

20、交C于A，B两点，圆 M是以 线段 AB 为直径的圆（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M过点 P（4，- 2 ），求直线 l与圆 M的方程解析】显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设l:x my 2， A( x1, y1) ， B( x2 , y2 ) ，联立：2yx m2yx 2得 y2 2my 4 0，4m2 16恒大于 0， y1 y2 2m， y1y2 uur uuurOA OB x1x2 y1 y2(my1 2)( my2 2)2(m 1)y1y2 2m(y1 y2) 424(m2 1) 2m(2m) 4 0uur uuur OA OB

21、，即 O 在圆 M 上uuur uur若圆 M 过点 P ，则 AP BP 0 (x1 4)(x2 4) (y1 2)(y2 2) 0(my1 2)(my2 2) (y1 2)( y2 2) 0 2(m2 1)y1y2 (2m 2)(y1 y2) 8 021化简得 2m2 m 1 0解得 m 或 1211当 m 时， l :2x y 4 0圆心为 Q(x0,y0) ，y1 y2 1 1 9y0 ， x0 y0 2 ，2 2 2 42则圆 M :(x 9)2 (y 1)2 854 2 16 当 m 1时， l :x y 2 0圆心为 Q(x0,y0) ， y1 y2y0 1 2 1 ， x0 y

22、0 2 3 ，2 0 0 半径 r |OQ | 32 12 22 则圆 M :(x 3)2 (y 1)2 1021( 12分)已知函数 f (x) x 1 alnx (1)若 f (x)0，求 a的值；1 1 1(2)设 m为整数，且对于任意正整数 n， (1+ 1 )(1 + 12 )鬃?(1 1n ) m，求 m的最 小值【解析】 f (x) x 1 alnx ， x 0则 f (x) 1 a x a ，且 f (1) 0xx当 a 0 时， f x 0 ， f x 在 0 ， 上单调增， 所以 0 x 1 时， f x 0 ，不满足题意； 当 a 0 时， 当0 x a时， f (x)

23、0 ，则 f (x)在(0, a)上单调递减； 当 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (a, ) 上单调递增若 a 1， f (x)在 (a,1)上单调递增当 x (a,1)时 f(x) f (1) 0矛盾2若 a 1， f (x)在 (1,a)上单调递减当 x (1,a)时 f(x) f (1) 0矛盾若 a 1，f(x) 在(0,1)上单调递减， 在 (1, )上单调递增 f (x) f(1) 0 满 足题意 综上所述 a 1 当 a 1时 f(x) x 1 lnx0即 lnx x 1 则有 ln(x 1) x 当且仅当 x 0 时等号成立1 1 * ln(1 k ) k

24、 ， k N22一方面： ln(1 12) ln(1 212) . ln(1 21n ) 12 212 . 21n 1 21n 1 ， 即 (1 12)(1 212).(1 21n ) e1 1 1 1 1 1 135另一方面： (1 )(1 2 ).(1 n) (1 )(1 2 )(1 3) 22 2 2 2 2 2 641 1 1当 n3时， (1 21)(1 212 ).(1 21n ) (2,e)* 1 1 1m N*， (1 )(1 2 ).(1 n) m，2 2 2 m 的最小值为 322 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ( 10分)x t, 在直角坐标系 xOy中，直线 l 的

25、参数方程为 (t 为参数)，直线 l 的参数方程y kt,x m,为 m （m为参数），设 l 与 l 的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 Cy,22xy422x y 4 ；m,（ 1）写出 C的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : c（os nis） ， M为 l 与 C的交点，求 M的极径解析】将参数方程转化为一般方程l1 : y k x 21l2 : y x 2k 消 k 可得：即 P 的轨迹方程为 将参数方程转化为一般方程l3 :x y 2 0 x y 2 0 联立曲线 C和 l3 2 2 x2 y2 4x 3 2 x2 解得 2y

26、2 y2x cos由 解得 5y sin即M 的极半径是 523 选修4-5 ：不等式选讲 （10分） 已知函数 f（x） |x | | x | （1）求不等式 f （x） 的解集； （ 2）若不等式 f （x） x x m的解集非空，求 m的取值范围3,x 1【解析】 f x |x 1| |x 2| 可等价为 f x 2x 1, 1 x 2 .由 f x 1可得： 3,x 2当 x 1 时显然不满足题意；当 1 x 2时， 2x 11 ，解得 x1 ；3当 x2时， f x 31恒成立 . 综上， f x 1的解集为 x|x1 . 不等式 f x x2 x m等价为 f x x2 xm ，

27、令 g x f x x2 x，则 g x m解集非空只需要 g x max m.2 x2 x 3,x 12 而 g x x 3x 1, 1 x 2 .x2 x 3,x 2当 x 1 时， g x max g 1 3 1 1 5；当 1 x 2 时， g x max g 3 3 3 3 1max 2 2 23当 x2 时， g x max g 2 22 2 3 1.综上，55m4 ，故 4. 每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效 果，呈报总经办。总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。