高考全国3卷理科数学试题及答案解析.docx

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高考全国3卷理科数学试题及答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：

（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合A（x,y）x2y21，B（x,y）yx，则AB中元素的个数为（）

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】A表示圆x2y21上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数

为2，故选B.

2．设复数z满足（1i）z2i，则z（）

A．

1

B．2

C．2

D．2

2

2

答案】

C

解析】

由题，

2i2i1iz

2i2

2i2i1，则

z12122，故选C

1i1i1i

2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

答案】A

解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

533

4．（xy）（2xy）5的展开式中x3y3的系数为

A．

【答案】

【解析】

B．

）

C．40

D．80

C

由二项式定理可得，原式展开中含

223332

xC522xyyC532xy

33

xy的项为

3333

40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C.

22

5．已知双曲线C：

x2y21

a2b2

a0，b0）

的一条渐近线方程为

y5x，

yx，

2

且与椭圆

22

xy1有公共焦点．

3

22

x2y21

810

B

12

C的方程为（）

A．

B．

22

x2y21

5

22

xy

C．1

54

D．

答案】

解析】

∵双曲线的一条渐近线方程为

y25x，

则b

a

5①

2

22

又∵椭圆1x2y31与双曲线有公共焦点，易知

c3，则

22

a2b2c

由①②解得a2,b5，则双曲线C的方程为

2

4y51，故选B.

π

6．设函数f（x）cos（x3），则下列结论错误的是（）

3

A．

f（x）的一个周期为2π

C．

f（x）的一个零点为xπ

6

答案】

解析】

2

y21

43

9②

yf（x）的图像关于直线

π

D．f（x）在（π,π）单调递减

2

S的值小于91，则输入的正整数N

故选

ycosx向左平移π个单位得到，

3

函数fxcosxπ的图象可由

3

D.

x8π对称

3

7．执行右图的程序框图，为使输出

的最小值为（）

A．

B．

C．

D．2

答案】D

解析】程序运行过程如下表所示：

S

M

t

初始状态

0

100

1

第1次循环结束

100

10

2

第2次循环结束

90

1

3

此时S9091首次满足条件，程序需在t3时跳出循环，即N2为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

A．πB．3πC．πD．π

4２4【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r1213，

22

23π则圆柱体体积Vπr2hπ，故选B.

4

9．等差数列an的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）

A．24B．3C．3D．8

【答案】A

【解析】∵an为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.

22则a32a2a6，即a12d2a1da15d又∵a11，代入上式可得d22d0又∵d0，则d2

6565∴S66a12d162224，故选A.

22

10．已知椭圆C:

x2y21（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直ab

径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（）

A．

6

3

B．3C．2

3３

D．1

3

答案】

A

解析】

∵以

A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切，∴圆心到直线距离

d等于半径，

2ab

a

∴d2

ab

又∵a0,b0，则上式可化简为a23b2222222c2

∵bac，可得a3ac，即2a3

∴ec6，故选Aa3

11．已知函数f（x）x22xa（ex1ex1）有唯一零点，则

11

1B．1

２3C由条件，f（x）x22xa（ex1ex1），得：

f（2x）（2x）22（2x）a（e2x1e（2x）1）x24x442xa（e1xex1）2x1x1

x22xa（ex1ex1）

∴f（2x）f（x），即x1为f（x）的对称轴，由题意，f（x）有唯一零点，∴f（x）的零点只能为x1，即f

（1）1221a（e11e11）0，1

解得a1．

2

A．

C．

a（）

1

2

D．1

答案】解析】

12．在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以BD相切的圆上．若的最大值为（）

B．22D．2

点C为圆心且与APABAD，则A．

C．

答案】

解析】

3

5

A由题意，画出右图．设BD与C切于点E，连接CE．以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为（2,1）．

∵|CD|1，|BC|2．∴BD12225．

∵BD切C于点E．

∴CE⊥BD．

∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．

1

22|BC||CD|2|BD|5

25．

5

y

B

E

A（O）

|EC|2|SB△DBC|D

即C的半径为

∵P在C上．

25

5

224

（x2）2（y1）24

∴P点的轨迹方程为5．

设P点坐标（x0,y0），可以设出P点坐标满足的参数方程如下：

2

x025cos

25

y0125sin

而AP（x0,y0），AB（0,1），AD（2,0）．

∵APABAD（0,1）（2,0）（2,）

∴x01cos，y015sin．

2055两式相加得：

125sin15cos

55

2（255）2

2sin（）≤3

（其中sin5，cos25）

55

当且仅当2π2kπ，kZ时，取得最大值3．

二、填空题：

（本题共4小题，每小题5分，共20分）

xy≥0,

13．若x，y满足约束条件xy2≤0,则z3x4y的最小值为．

y≥0,

【答案】1

【解析】由题，画出可行域如图：

目标函数为z3x4y，则直线y3xz纵截距越大，z值越小．

44

a1a21a1a1q1①

a1a33a1a1q3②

显然q1，a10，

②

1得1q3，即q2，代入①式可得a11，33

15．设函数f（x）xx1,x0,

2x,x0,

a4a1q128．

1

则满足f（x）f（x2）1的x的取值范围是

答案】

解析】

1,

4,

x1,x≤0fxx，fxf

2x,x0

11f

2

1

x1，即fx

2

1

由图象变换可画出yfx2与y1fx的图象如下：

圆心，1为半径的圆．

x轴正方向，CB为y轴正方向，

16．a，b为空间中两条互相垂的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB论：

①当直线AB与a成60②当直线AB与a成60③直线AB与a所成角的最小值为45；④直线AB与a所成角的最大值为60．其中正确的是（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|1，AB2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以以C为坐标原点，以CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则D（1,0,0），A（0,0,1），直线a的方向单位向量a（0,1,0），|a|1．

B点起始坐标为（0,1,0），直线b的方向单位向量b（1,0,0），|b|1．

设B点在运动过程中的坐标B（cos,sin,0），其中为BC与CD的夹角，[0,2π）．

那么AB'在运动过程中的向量AB（cos,sin,1），|AB|2．设AB与a所成夹角为[0,π]，

a

AB

（cos,sin则cos

（0,1,0）2|sin|[0,2]．

22．

ππ

故[4,2]，所以③正确，④错误．

设AB与b所成夹角为[0,π]，

2

22|cos|

当AB与a夹角为60时，即

sin2cos2cos21

32

∵cos2sin21，

2

∴|cos|．

2

∴cos2|cos|1．

22

∵[0,2π]．

π

=3，此时AB与b夹角为60．3

∴②正确，①错误．

（一）必考题：

共60分．17．（12分）

c，已知sinA3cosA0，a27，b2．

ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

（1）求c；

解析】

（1）由sinA3cosA0得2sinA30，

（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．π

π2π

∴Aπ，得A.

33

1由余弦定理a2b2c22bccosA.又∵a27,b2,cosA2代入并整理

2得c125，故c4.

2）∵AC2,BC27,AB4，由余弦定理cosCabc27.

2ab7∵ACAD，即△ACD为直角三角形，则ACCDcosC，得CD7.由勾股定理ADCD2AC23.

1π

S△ABD

ABD2

ADABsin3

26

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每

瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500

瓶；如果最高气温位于区间20，25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量

为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得

面的频数分布表：

最高气温

10，15

15，20

20，25

25，30

30，35

35，40

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元）．当六月份这种酸奶一天的

进货量n（单位：

瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

解析】⑴易知需求量x可取200,300,500

⑵①当n≤200时：

Yn642n，此时Ymax400，当n200时取到.

41

2当200n≤300时：

Y2n2002n2002

55

88002n6n800

n

5

此时Ymax520，当n300时取到.

③当300n≤500时，

Y12002n200223002n30022n2

555

32002n

5此时Y520.

④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况.综上所述：

当n300时，Y取到最大值为520.

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?

ABD?

CBD，AB=BD．D

（1）证明：

平面ACD^平面ABC；D

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二面角D-AE-C的余弦值．

B

解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO；ABC为等边三角形

∴BOAC

∴ABBCABBCBDBD

ABDCBD.

ABDDBC

∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADCA为直角又O为底边AC中点

∴DOAC

令ABa，则ABACBCBDa

D

易得：

易得：

ODa，

2

∴OD2OB2BD

OBa

2

由勾股定理的逆定理可得DOB

2

即ODOB

ODOB

ACOBOOD平面ABC

AC平面ABC

OB平面ABC又∵OD平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC⑵由题意可知VDACEVBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点

以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则O0,0,0，Aa,0,0

易得：

AEa,3a,a

244

a3

D0,0,，B0,

22

aa

ADa2,0,2a，

a,0，E0,3a,a

244

a

OA,0,0

2

设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，AEn10

则，解得n13,1,3

ADn10

AEn20，解得n20,1,3

OAn20若二面角DAEC为，易知为锐角，

20．（12分）已知抛物线C:

y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设l:

xmy2，A（x1,y1），B（x2,y2），

联立：

2

yxm2yx2得y22my40，

4m216恒大于0，y1y22m，y1y2uuruuur

OAOBx1x2y1y2

（my12）（my22）

2

（m1）y1y22m（y1y2）4

2

4（m21）2m（2m）40

uuruuur

∴OAOB，即O在圆M上．

uuuruur

⑵若圆M过点P，则APBP0（x14）（x24）（y12）（y22）0

（my12）（my22）（y12）（y22）02

（m21）y1y2（2m2）（y1y2）80

21

化简得2m2m10解得m或1

2

1

1当m时，l:

2xy40圆心为Q（x0,y0），

y1y2119

y0，x0y02，

2224

2

则圆M:

（x9）2（y1）285

4216②当m1时，l:

xy20圆心为Q（x0,y0），y1y2

y0121，x0y023，

200半径r|OQ|321222则圆M:

（x3）2（y1）210

21．（12分）已知函数f（x）x1alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

111

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+1）（1+12）鬃?

（11n）

【解析】⑴f（x）x1alnx，x0

则f（x）1axa，且f

（1）0

xx

当a≤0时，fx0，fx在0，上单调增，所以0x1时，fx0，

不满足题意；当a0时，当0xa时，f（x）0，则f（x）在（0,a）上单调递减；当xa时，f（x）0，则f（x）在（a,）上单调递增．

①若a1，f（x）在（a,1）上单调递增∴当x（a,1）时f（x）f

（1）0矛盾

2若a1，f（x）在（1,a）上单调递减∴当x（1,a）时f（x）f

（1）0矛盾

③若a1，f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,）上单调递增∴f（x）≥f

（1）0满足题意综上所述a1．

⑵当a1时f（x）x1lnx≥0即lnx≤x1则有ln（x1）≤x当且仅当x0时等号成立

11*∴ln（1k）k，kN

22

一方面：

ln（112）ln（1212）...ln（121n）12212...21n121n1，即（112）（1212）...（121n）e．

111111135

另一方面：

（1）（12）...（1n）

（1）（12）（13）2

22222264

111

当n≥3时，（121）（1212）...（121n）（2,e）

*111

∵mN*，

（1）（12）...（1n）m，

222∴m的最小值为3．

22．[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

xt,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l的参数方程

ykt,

xm,

为m（m为参数），设l与l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

y,

22

xy4

22

xy4；

m,

（1）写出C的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l:

c（osnis），M为l与C的交点，求M的极径．

解析】⑴将参数方程转化为一般方程

l1:

ykx2

1

l2:

yx2

k

①②消k可得：

即P的轨迹方程为⑵将参数方程转化为一般方程

l3:

xy20⋯⋯③

xy20联立曲线C和l322x2y24

x32x2解得2

y2y2

xcos

由解得5

ysin

即M的极半径是5．

23．[选修4-5：

不等式选讲]（10分）已知函数f（x）|x||x|．

（1）求不等式f（x）的解集；

（2）若不等式f（x）xxm的解集非空，求m的取值范围．

3,x≤1

【解析】⑴fx|x1||x2|可等价为fx2x1,1x2.由fx≥1可得：

3,x≥2

①当x≤1时显然不满足题意；

②当1x2时，2x1≥1，解得x≥1；

3当x≥2时，fx3≥1恒成立.综上，fx1的解集为x|x≥1.⑵不等式fx≥x2xm等价为fxx2x≥m，令gxfxx2x，则gx≥m解集非空只需要gxmax≥m.

2x2x3,x≤1

2而gxx3x1,1x2.

x2x3,x≥2

①当x≤1时，gxmaxg13115；

②当1x2时，gxmaxg33331

max222

3当x≥2时，gxmaxg222231.

综上，

55

m

4，故4.每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。

总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。