线性代数知识点相关习题.docx

1、线性代数知识点相关习题填空题（共15分，每空3 分）1.行列式的余子式和代数余子式;123例1、行列式D =756中兀素6的余子式的值为-12:代数余子式的值为84012123例2、 设三阶行列式D =九0-4，则兀素2的代数余子式A的值为 -205&02.行列式计算；（一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母 ）20130201例2.00430005 120 11 1例 3. 1 2 3= 2 .14 93.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）1例1.设矩阵A = 2例2.设矩阵A = 010要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。1 122 ，则A的秩为（1 ）.335 122，则A的秩为（

2、2 ）.0 3.线性相关与线性无关，求参数;要点：1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于 0.2 ）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例例1.若向量组(1, -1, 2), (3, 2, 0), (1,4,鮎线性相关，则&= -4 例 2.若向量组(1, -1, 2), (3, 2, 0), (1,4, 线性无关，则& 工_-4 .例3若向量组（1,/,6）与（2,-8，入）线性相关，则九= 12 .5.向量正交，求参数。（两个或者三个向量正交）要点：向量a, b正交当且仅当（a,b） = 0例1设向量（2,5,/）与向量（1,t1,t）正交，则t= 3 .例2设三

3、个向量 （1,t,0） , （0,1,t） , （0,0,t1）两两正交，则t= 0 二、选择题（共15分，每小题3分）1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）例1. 设A、B为两个n阶方阵，9（ B ）例2.设A为二阶方阵，且|A = 2，贝U (3A)=(A )19 3 1(A) ； (B) ； (C) ； (D)-.18 2 2 6例3.设A、B为两个n阶方阵，9( B ).(A) AB=BA; (B) A + B = B + A ； (C)若 A=|B,则 A = B ；（D）.若AC =BC,C =0,则A = B2.线性相关与线性无关；例1.关于向量组的线性相关性，下列说法正确的

4、是（ B ）.（A） 如果a, %2,|丨|, am线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余 m-1个向量线性表示；（B） 如果n个n维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零；（C） 如果a, a,川，am线性相关，则存在一组全不为零的数心出,川，匕,使得匕內 k2 a J 心 am 0 ；（D）如果n维向量a, a2H, am线性无关，则必存在 n维向量 卩，使得a1, a,i, a,卩线性无关.(D) 1,0,1,2 , 2,0,2,4 , 1,1,1,1 .方程组有解的充分必要条件;例2 n元线性方程组 Ax=b有唯一解的充分必要条件是 r(A) = r(A b) = n例3

5、n元线性方程组AXb 有无穷多组解的充分必要条件是 r(A)=r(A|b) cn例4 n元齐次线性方程组 Ax =0仅有零解的充分必要条件是 r( A)例5 n元齐次线性方程组 Ax =0有无穷多解的充分必要条件是 r(A) ： n.4.特征值的性质；要点：1.上(下)三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素2.A =，2 n3.tr(A)1 2 i r“n =aii a22 a.n4.若A的特征值是，则:(A)的特征值是:()。例1 .设3是方阵A的特征值，则矩阵2A具有特征值为( D )(A)10 ；(B)3 ；(C)5 ；(D)6.例2.设3是方阵A的特征值，则矩阵A2 - 2A +

6、 3E具有特征值为(A)10 ；(B)3 ；(C)5 ；(D)6. C ； (C) A 二 C ； (D) A =C .1 2、例2. 与矩阵A =不相似的矩阵是(C).0 3丿(1 0、i3 5、(1 1、(2 1(A)；(B)； (C)； (D)I2 3丿1丿13 3丿t 2三、(10分)矩阵乘法，转置，行列式计算。广1 -2 3、例 1.已知，B= -1 3 0，求：(1) ABT ； (2) |-3A .35 210I-10-2-1 -2 解：(1) ABT =214-2351281 13 ；1 0 -1 -3A = (-3)3| A = 27 2 1 4 =270.3 2 5四、(1

7、0分)求解矩阵方程。2 二01、2-101、广10010、解：（A | B ）=34-212T0-211-1T0-211-12-4123丿1462一2丿0-15 J（10010、10010、q0、T0-20-440102-2，故A可逆，且X =A B =2-2e0-1巧5丿30154进行初等行变换，得-12-3 1-12-3 1-12-3X1-10-r-2211T005-5T001-1（3 分）t001-1-118一70010T03，(8分)且有 a - ，七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化（不需要单位化，只包含两个或者三个向量）例1用施密特正交化方法把线性无关的向量组节些=00_

8、|解：取“=冷（2分）01优（4分）=16例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组：1 =（1,0,0,0）T，：2 =（1,1,0,0）T ： 3 = （1,1,1,0）t正交化.解：令二 =（1,0,0,0）T（2 分）八（12分）已知一个二阶实对称矩阵 A,求矩阵A的特征值与特征向量，并求一 个正交矩阵P，把矩阵A对角化。例1. 设矩阵A二1331（1）求矩阵A的特征值与特征向量（6分）；1（2）求正交矩阵P，使得P-AP为对角矩阵（6分）.解：E-A；:例2.（共12分）设矩阵A =（1=監.2, _8=（，- 2）（，-4），特征值为 r - _2, 4 .（1）求矩阵A的特征值与特征向量（6（2）求正交矩阵P，使得P JAP为对角矩阵（6分）.（4分）分）.将向量口，卩2单位化，得11 11r-1 r（8 分），令卩=正1 1（12 分）3丿（10分），贝y P为正交矩阵，且 PAP = 1九、（8分）解的结构。（可能是计算）