线性代数知识点相关习题.docx
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线性代数知识点相关习题
填空题（共15分，每空3分）
1.行列式的余子式和代数余子式;
1
2
3
例1、行列式D=
7
5
6
中兀素
6的余子式的值为
-12
:
代数余子式的值为
8
4
0
12
1
2
3
例2、设三阶行列式
D=
九
0
-4
，则兀素2的代数余子式
A的值为-20
5
&
0
2.行列式计算；（一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母）
2
0
1
3
0
2
0
1
例2.
0
0
4
3
0
0
0
5
120
111
例3.123=2.
149
3.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）
『1
例1.设矩阵A=2
例2.设矩阵A=0
10
要点：
矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。
11
22，则A的秩为
（1）.
33」
51
22，则A的秩为
（2）.
03」
.线性相关与线性无关，求参数;
要点：
1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0.
2）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例
例1.若向量组（1,-1,2）,（3,2,0）,（1,4,鮎线性相关，则&=-4
例2.若向量组（1,-1,2）,（3,2,0）,（1,4,«线性无关，则&工___-4.
例3•若向量组（1,/,6）与（2,-8，入）线性相关，则九=12.
5.向量正交，求参数。
（两个或者三个向量正交）
要点：
向量a,b正交当且仅当（a,b）=0
例1设向量（2,5,/）与向量（1,t—1,t）正交，则t=3.
例2设三个向量（1,t,0）,（0,1,t）,（0,0,t—1）两两正交，则t=0二、选择题（共15分，每小题3分）
1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）
例1.设A、B为两个n阶方阵，^9（B）
例2.设A为二阶方阵，且|A=2，贝U（3A）」=（A）
1931
（A）—；（B）—；（C）—；（D）-.
18226
例3.设A、B为两个n阶方阵，^9（B）.
（A）AB=BA;（B）A+B=B+A；（C）若A=|B,则A=B；
（D）.若AC=BC,C=0,则A=B
2.线性相关与线性无关；
例1.关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（B）.
（A）如果a,%2,|丨|,am线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余m-1个向量线性
表示；
（B）如果n个n维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零；
（C）如果a,a,川，am线性相关，则存在一组全不为零的数心出,川，匕,使得
匕內k2aJ"心am0；
（D）如果n维向量a,a2」H,am线性无关，则必存在n维向量卩，使得a1,a,"i,a,卩线
性无关.
（D）1,0,1,2,2,0,2,4,1,1,1,1.
.方程组有解的充分必要条件;
例2n元线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是r（A）=r（Ab）=n
例3n元线性方程组AXb有无穷多组解的充分必要条件是r（A）=r（A|b）cn
例4n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是r（A）
例5n元齐次线性方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r（A）：
：
：
n.
4.特征值的性质；
要点：
1.上（下）三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素
2.A=，…2…■n
3.tr（A）「1‘2ir“n=aiia22a.n
4.若A的特征值是■，则:
（A）的特征值是:
（■）。
例1.设3是方阵A的特征值，则矩阵2A具有特征值为（D）
（A）10；
（B）3；
（C）5；
（D）6.
例2.设3是方阵
A的特征值，
则矩阵
A2-2A+3E具有特征值为
（A）10；
（B）3；
（C）5；
（D）6.
<1
-35"
例3矩阵A=
0
2-2
的特征值为
1，2,3.
2
03丿
例3.设A为n阶方阵，则（C）.
（A）A的全部特征向量构成向量空间；（B）A有n个线性无关的特征向量；
（C）A的全部特征值的和为tr（A）；（D）A的全部特征值的积为tr（A）.
411、
例4矩阵A=131的特征值可能是（A）.
I1bb
（A）1，4,0；（B）1，3，0；（C）2，4，0；（D）2，4，-1.
5.相似矩阵性质
要点：
1.如果A~B,B~C,则A~C
2.如果A~B,则A=B，A和B可逆性相同
3.如果A~B,则A和B具有相同的特征多项式和特征值，具有相同的迹
4.如果A~B,则A-1~B-1，At~Bt
5.E~E,kE~kE
例1设A、B、C为n阶方阵，A~B，B~C，则A、C的关系不正确的是（D）.
（A）A~C；（B）A>C；（C）A二C；（D）A=C.
'12、
例2.与矩阵
A=
不相似的矩阵是（C
）.
<03丿
（10、
i35、
（11、
（21
（A）
；
（B）
；（C）
；（D）
I23丿
1丿
133丿
t2
三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。
广1-23、
例1.已知，B=-130，求：
（1）ABT；
（2）|-3A.
352」
『1
0
"I
-1
0
'-2
-1-2'
解：
（1）ABT=
2
1
4
-2
3
5
12
<8
113；
<_3
2
5丿
\3
0
2丿
920>
10-1
⑵-3A=（-3）3|A=—27214=270.
—325
四、（10分）求解矩阵方程。
2二
0
1、
2
-1
0
1、
广1
0
0
1
0、
解：
（A|B）=
3
4
-2
1
2
T
0
-2
1
1
-1
T
0
-2
1
1
-1
2
-4
1
2
3丿
—14
6
2
一2丿
0
-1
5J
（1
0
0
1
0、
1
0
0
1
0、
q
0、
T
0
-2
0
-4
4
0
1
0
2
-2
，故A可逆，且
X=A~B=
2
-2
e
0
-1
巧
5丿
3
0
1
5
<5
五、（10分）求非齐次线性方程组的通解
（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）
\+X2-x3+X4=1
例1.求非齐次线性方程组"—X2X3-人二1的通解（用对应的齐次线性方程组的基人+x2—x3+2捲=0
Jx^-X2'X3-3X4=3
础解系表示通解）
11
-A1
P
（1
1-1
1
1、
1=
1=
1
0
1-1
1
0
T
11
=2
0
0
00
1
-1
a7
1-3
3丿
e
00
0
0」
初等行变换：
（3分）
（AIb）
对应齐次线性方程组的一个基础解系为
（0,1,1,0〕（7分），所求方程组的一个特解为
□=（1,1,0,—1$（9分），于是所求方程组的通解为x=kE+n,"R.（10分）
（用对应的齐次线性方程组的基础
例2.求线性方程组X1_X22X34X4=5的通解.
■2x12x2-4x3-5x4=-4
解系表示通解）
解：
对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得
对应齐次线性方程组的一个基础解系为
&=（1,1,0,0）,&=（-2,0,1,0T，所求方程组的一个特
解为H=（J3,0,0,2T，于是所求所求方程组的通解为x=k1£+k2&+n,k!
k^R.
六、（10分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。
要点：
1.所给的向量是列向量，直接使用初等行变换
2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换
例1.求向量组w=（1,-2,3,-1）,色=（3,-1,5,-3），a3=（2,1,2,-2），
：
4=（1,3,-1,-1）的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表
广10-1-2'
0111
（5
0000
I。
000」
分）
a_-2a■a（10分）
例2.求向量组％=（1,—2,—1）T，a2=（—1,2,1）t，a3=（2,1,8）T，«4=（_3,1,_7）T的
秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.
解：
对A二：
2〉3>4进行初等行变换，得
-1
2
-3'
1
-1
2
-3'
1
-1
2
-3X
1
-1
0
-r
-2
2
1
1
T
0
0
5
-5
T
0
0
1
-1
（3分）t
0
0
1
-1
<-1
1
8
一7」
<0
0
10
T0」
<0
0
0
0」
0
0
0丿
（5分）
于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为a,>3，（8分）且有a-，
七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化•（不需要单位化，只包含两
个或者三个向量）
例1用施密特正交化方法把线性无关的向量组
节
些=0
'0_|
解：
取“=冷（2分）
■01
优（4分）=1
6
例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组
：
1=（1,0,0,0）T，：
2=（1,1,0,0）T：
3=（1,1,1,0）t正交化.
解：
令［二=（1,0,0,0）T（2分）
八（12分）已知一个二阶实对称矩阵A,求矩阵A的特征值与特征向量，并求一个正交矩阵P，把矩阵A对角化。
例1.设矩阵A二13
31
（1）求矩阵A的特征值与特征向量（6分）；
1
（2）求正交矩阵P，使得P-AP为对角矩阵（6分）.
解：
E-A—；:
例2.（共12分）设矩阵A=
（1
=監.—2,_8=（，-2）（，-4），特征值为r-_2,'^4.
（1）求矩阵A的特征值与特征向量（6
（2）求正交矩阵P，使得PJAP为对角矩阵（6分）.
（4分）
分）.
⑵将向量口，卩2单位化，得1
1]1
1
r-1r
（8分），令卩=正
<11」
（12分）
3丿
（10分），贝yP为正交矩阵，且P」AP="—1
九、（8分）解的结构。
（可能是计算）
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