异面直线所成角求法文档格式.docx

1、FDiAi是平彳预I边形,AiG / DiF.设AiG与AE相交丁 H,那么Z AiHA是AE与DiF所成的角. A由于 E 是 BBi 的中点,所以 RtAAiAGAABE, / GAiA= / GAH,从而Z AiHA=9（J ,即直线AE与DiF所成的角为了直角.6.如图i 28的正方体中,E是A D勺中点（1）图中哪些棱所在的直线与直线 BA成异面直线？（2）求直线BA和CC所成的角的大小；（3）求直线AE和CC所成的角的正切值；（4）求直线AE和BA所成的角的余弦值（i）A壬平面BC,乂点B和直线CC都在平面BC内,且B走CC ,:.直线BA与CC是异面直线 同理,正方体i2条棱中的

2、C D DD、DC、AD、B C所在的直线都和直线BA成异面直线（2）CC / BB, BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角/ A BB =45L BA和 CC 所成的角是 45（3）: AA / BB / CC ,故AE和AA所成的锐角/ A A昵AE和CC 所成的角在RtAAA E中,tanZ A AE A ,所以AE和CC所成角的正切值是-AA 2 2取B（的中点F,连EF、BF,那么有EF = AB = AB,II.ABFE是平行四边形,从而 BF = AE,即BF / AE且BF=AE. BF与BA所成的锐角/ A B晰是AE和BA所成的角设正方体各棱长为了2,连A R利用勾股

3、定理求出 A BF勺各边长分别为了 A A 2也,A 片BF = （5 ,由余弦定理得：cos BF（2 2）2 （ 5）2 一（5）257.长方体ABCD AiBiCiDi中,假设AB=BC=3 , AAi=4,求异面直线BiD与BCi所成角的大 小.解法一：如图,过Bi点作BiE/ BCi交CB的延长线丁 E点.那么Z DBiE或其补角就是异面直线 DBi与BCi所成角,连结DE交AB 丁 M , DE=2DM=3龙,cos / DBiE=34 a Z DBiE=arccos734oi70解法二：如图,在平面DiDBBi中过B点作BE / DBi交DiBi的延长线丁 E,那么Z CiBE就

4、 是异面直线DBi与BCi所成的角,连结CiE,在BiCiE中, 一 7、34 7 与Z CiBiE=i35 , CiE=3 *75 , cos Z CiBE= , - - Z Ci BE= arc cos .练习：8.如图,PA_L矩形ABCD,PA=AB=8, BC=i0,求AD与PC所成角的余切值为了.9.中位线平移法：构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为了平面问题,解三角形求之.如图连结BiC交BCi 丁 0,过0点作OE/ DBi,贝UZ BOE为了所求的异面直线DBi与 BCi 所成的角.连结 EB,由有 BiD/34 , BCi=5, BE=3恒,二

5、 cos / BOE=74 2 i70 Z BOE= arc cos 74如图,连DB、AC交于.点,过.点作OE/ DBi,过E点作EF/ CiB,贝UZ OEF73成其补角就是两异面直线所成的角,过.点作OM / DC,连结MF、OF.那么OF=Y732cos / OEF=-时34, 异面直线BiD与BCi所成的角为了arc cos 734.i70 i70面直线DBi与BCi所成的角.在 ADF中DF= 瓯解法三：如图,连结DiB交DBi 丁 O,连结DiA,贝U四边形ABCiDi为了平行四边形.在平 行四边形ABCiDi中过点O作EF/ BCi交AB、DiCi 丁 E、F,那么Z DOF

6、或其补角就是异7、34 ,cos Z DOF= ,Z DOF= arc cos .课堂练习i0.在正四面体ABCD中,E是棱BC的中点,求异面直线 AE和BD所成角的余弦值. 补形平移法：在图形外补作一个相同的几何体,以例丁找出平行线.如图,以四边形ABCD为了上底补接一个高为了4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,那么DBi/ D2B,二Z C1BD2或其补角就是异面直线 DBi与BCi所成的角,连C1D2, 那么 C1D2C2为了RtM cos / CiBD2= 7匣,二异面直线 DBi与BCi所成的角是1707、34arc cos .课堂练习：11.求异面直线AiCi与BDi

7、所成的角的余弦值.在长方体ABCD-A 1B1C1D1的面BCi上补上一个同样大小的长 方体,将AiCi平移到BE,那么/ DiBE或其补角就是异面直 线AiCi与 BDi所成的角,在 BDiE 中, BDi=3、 L ,厂：二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：平面a的一条斜线a与平面a所成的角为了 如 平面a内的一条直线b与 斜线a所成的角为了0,与它的射影a所成的角为了8.求证：cos.= cos 0 cos.在平面a的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为了O、B.连接 OB, WJ OBb.AO 在直角 AOP中,cos% = .APAB在直角 ABC中

8、,cos% = .AO在直角 ABP中,cos =.所以 cos % cos 七=A AB = AB = cos ：1AP AO AP所以 cosEcos2 =cosi设PA是a的斜线,OA是PA在a上的射影,OB/b,如下图.那么Z PAOW 1, ZPABW, Z OAB= 2, 过点.在平面a内作OBAB,垂足为了B,连结PB.可知 PBAB.所以 cos 1= OA , cos 0 B , cos 2= ABPA PA OA所以 cos 0 = cos e cos.利用这个模型来求两条异面直线 a和b所成的角,即引理中的角 0.需：过a的一个平面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的

9、射影.12.如图,MAL平面ABC D,四边形ABCD是正方形,且 MA=AB=a,试求异面直线 MB与 AC所成的角.由图可知,直线 MB在平面ABCD内的射影为了AB,直线MB与平面ABCD所成的角为了45,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为了45所以直线AC与直MB所成的角为了0,满足cos 9 =cos45 - cos45所以直线AC与MB所成的角为了6013.三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面边长都相等, A在底面ABC上的射影为了BC的中点,那么异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为了（D ）（A） （B）4 4设BC的中点为了D,连结A1D, AD,易知8 =2AiAB即为了异

10、面直线AB与CCi所成的角,AD AD 3 .A1A AB由二角余弦正理,易知 cos =cosA,AD cosDAB ,屈=；.应选D14.如图,在立体图形 P-ABCD中,底面 ABCD是一个直角梯形,/ BAD=90 , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a,且PA项面 ABCD , PD与底面成30角,AE PD于D.求异面直线 AE与CD所成的角的大小.过E作AD的平行线EF交AD 丁 F,由PAL底面ABCD可知,直线AE在平面ABCD内的射影为了 AF,直线AE与平面ABCD所 成的角为了/ DAE,其大小为了60射影AF与直线CD所成的角为了/ CDA,其大小为了45

11、,所以直线与直线所成的角0满足cos 0 =cos60 - cos452,所以其大小为了arccos%2.模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD问的火角为了0,那么有八 AD3 + BC3-ABa-DCaC0= 所以有： 2AC - BDi5.长方体 ABCD AiBiCiDi 中,AB=AA i=2cm, AD=icm,求异面直线 AiCi 与 BDi 所成的 角.连结BCi、AiB在四面体为了8,易求得Lfi 匚峪加DBC：-由定理得： BD-ME 2x5 k3二、向量法求异面直线所成的角i6.如图,在正方体ABCD-A iBiCiDi中,E、F分别是相邻两侧面 BCCiBi及C

12、DDiCi的中心.求AiE和BiF所成的角的大小.（作图法）作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上.作法：连结BiE,取BiE中点G及AiBi中点H, 连结GH,有GH/ZAiEo过F作CD的平行线RS, 分别交CCi、DDi 丁点R、S,连结SH,连结GS 由 BiH/ZCiDi/ZFS, BiH=FS,可得 BiF/ZSH.在zGHS中,设正方体边长为了a.GH=6a （作直线 GQ/BC 交 BBi 丁点 Q,连QH,可知ZXGQH为了直角三角形）,6 26HS=；a （连 A1S,可知ZXHA1S 为了直角二角形）,GS=-a-CosZ GHS6PD,可知四

13、边形GPDS为了直角梯形）.（作直线GP交BC 丁点P,连所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦值为了（向量法）分析：由于给出的立体图形是一个正方体,所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用向量的方法来求出两条直线间的火角以B为了原点,BC为了x轴,BA为了y轴,BB1为了z轴,设BC长度为了2了 那么点A1的坐标为了（0, 2, 2）,点E的坐标为了（1, 0, 1）,点B1的坐标为了（0, 0, 2）,点F的坐标为了（2, 1, 1）;所以向量 就的坐标为了（-1, 2, 1）,向量BF的坐标为了（2, 1, -1）,所以这两个向量的火角0满足

14、DiBD（-1） 2 2 1 1 （-1） f 0|ER| |B1F| ,（一1）2 （2）2 （1）2 、（2）2 （1）2 （一1）2 6 . 1所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为了-cose 蔓17.空间四边形 ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M、N分别为了BC和AD的中点,设AM和CN所成的角为了a,求COS a的值.（平移法也可）由得,空间向量 AB , AC , AD不共面,且两两之间的火角均为了60.由向量的加法可以得到AM =! （ AB + AC ）, NCAD+aC2 2所以向量AM与向量NC的火角0 （即角a或者a的补角）、廿中 AM N

15、C两足cos 0 =-,其中| AM | | NC | 1 1 - AM NC=s （ AB + AC ） - （ - AD+AC）=1 （ -1 AB AD + AB AC + （ -1 AD ） AC + AC AC ）2 2 2= 1a2 （ -1+1 -1+1） =】a2;2 4 2 4 2| AM |2= 1 （ AB + AC ）-（AB + Ac ） =1 （1+1+1） a2=32 4 4a2;| NC |2= （ -1 AD + AC ）（-AD + AC ）=】+1 -12 4 218.空间四边形 ABCD中,AB=CD=3 , E、F分别是BC、AD上的点,且BE: EC

16、=AF :FD=1: 2, EF=w7,求AB和CD所成的角的大小.取AC上点G,使AG : GC=1: 2.连结EG、FG, 可知 EG/AB , FG/CD, 3EG=2AB, 3FG=CD.由向量的知识可知EF =EG+GF =2BA+1CD ,3 3设向量bA和cd的火角为了ft那么由 | EF|2= （ BA + CD ） （ -BA+1CD ） =4+1+4cosO=Z3 3 3 3得cos 9,所以AB和CD所成的角为了60.19.（思考题）如图,平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为了a的正方形,侧棱AAi长为了b,且AAi与AB、AD的火角都是120求：

17、（1）ACi的长；（2）直线BDi与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用（1） | AC1 |2 = AC1 AC1 = （AA1 AC）（AA1 AC）=（AAi AB AD）（AA AB AD）AA|2 |AB|2 |AD|2 2AA AB 2AA AD 2AB AD由得：| AA |2=b2,| AB|2=|AD |2=a2AA1,AB =： AA1,AD =120,: AB, AD =901. . 1 -AA AB =b acos120 = ab, AAi AD =b acos120 = ab, AB AD =0,22.|AC1 |2 =2a2 b2

18、 2ab, |AC1 |= .2a2 b2 -2ab.（2）依题意得,| AC |= 2a, AC = AB ADBDi = AD BA = AA AD - ABAC BD1 =（AB AD）（AA1 AD - AB） =AB AA AD AA1 AB AD AD2 - AB2 - AB AD - -ab |BD1|2=BD1 BD1 =（AA（ AD -AB）（AA（ AD -AB） 2 _ 2 _ 2 2 2科 AAJ2 |AD|2 |AB|2 2AA（ AD -2AB AD -2AA（ AB =2a2 b22 2 BD1 AC -b-| BDi |= 2a b cos ； BD, AC

19、= -= =22BD1与AC所成角的余弦值为了.b .4a2 2b2判断是非：（1）（3）（8）（10）正确,其余错；选择：1（C） ; 2（D） ; 3（D） ; 4（D） .杆 5. （2）相交,（5）平行,其余异面；（6）: （D）,取 AB 中点M , CCi中点N,连BiE和BiF; （7）答案：（A）,延长BiAi至M使AM AD,连MA 取 AB中点 N. 8（D） ; 9（E） ; i0（D） ; ii（C）;3.4,取 AD 中点 E,那么Z MEN = 90;34.g,取 AC 中点 F,连 EF、BF,求得 BE= ； AD = 5, BF = ： AC = 3 捉；5.

20、瓯,分别取AC、BiCi的中点P、Q, M PMQN是矩形,设CCi = MQ = a, WJ MP =a；5 26.堂 取 AC 中点 F,连 EF、BF,见J EF= 4, BE = BF = 3.异面直线所成的角-作业班级：姓名：学号：、判断是非（以下命题中,正确的打错误的打“X）1.没有公共点的两条直线的位置关系是（）（A）平行 （B）异面 （C）平行或异面 （D）不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是 （）（A）异面 （B）平行 （C）平行或异面 （D）平 行或异面或相交3.两条异面直线指的是（）（A）在空间不相交的两条直线 （B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条

21、直线（C）分别位丁两个不同平面的两条直线 （D）不同在任一平面内的两条直线4.a、b是异面直线,b、c也是异面直线,那么a、c的位置是（）（A）异面 （B）异面或平行 （C）异面或相交5.说出正方体中各对线段的位置关系： （i） AB 木日 CCi； （2）AiC 木日 BDi； （3）AiA 木日 CBi；（4）（D）相交、平行或异面AiCi 和 CBi; AiBi 和 DC; （6）BDi 和 DC.6.在棱长为了1的正方体ABCD AiBiCiDi中,M和N分别为了AiBi和BBi的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）i0 入 3 24（A）T （B）有 （C）5 （D）57.如

22、图,AiBiCi-ABC是直三棱柱（三侧面为了矩形）,ZBCA=90 ,点AiCi的中点 假设BC=CA=CCi,那么BDi与AFi所成角的余弦值是（A点 吧i 0 28.正方体ABCD AiBiCiDi中,直线BCi与AC（A）相交且垂直 （B）相交但不垂直 （C）异面且垂直 （D）异面但不垂直9.设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：如果aLb、bc,贝U a/c； 如果a和b相交,b和c相交,贝U a和c也相交;3如果a、b是异面直线,c、b是异面直线,那么a、c也是异面直线；如果a和b共面,b和c共面,那么a和c也共面,在上述四个命题中,真命题的个数是（）.如图,四面体 ABCD中,AC BD,且AC = 4, BD = 3, M、N分别是AB、求MN和BD所成角的正切值B （第三题）四.如图,四面体 ABCD 中,AB BC, AB BD , BC CD ,且 AB = BC = 6, BD = 8, E 是AD中点,求BE与CD所成角的余弦值A六.如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体, 点.求MN与CCi所成角的余弦值.如图,四面体 ABCD 中,E 为了 AD 中点,假设 AC = CD = DA = 8, AB = BD = 5, BC = 7, 求BE与CD所成角的余弦值.