异面直线所成角求法文档格式.docx

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FDiAi是平彳预I边形,AiG//DiF.

设AiG与AE相交丁H,那么ZAiHA是AE与DiF所成的角.A

由于E是BBi的中点,所以RtAAiAG^AABE,/GAiA=/GAH,从而ZAiHA=9（J,

即直线AE与DiF所成的角为了直角.

6.如图i—28的正方体中,E是AD勺中点

（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA'

成异面直线？

（2）求直线BA'

和CC所成的角的大小；

（3）求直线AE和CC所成的角的正切值；

（4）求直线AE和BA'

所成的角的余弦值

（i）

A壬平面BC,乂点B和直线CC都在平■面BC内,且B走CC,

:

.直线BA'

与CC是异面直线同理,正方体i2条棱中的C'

D'

DD、DC、AD、B'

C'

所在的直线都和直线BA'

成异面直线

（2）CC//BB'

BA'

和BB'

所成的锐角就是BA'

和CC所成的角

/ABB'

=45°

LBA'

和CC所成的角是45°

（3）:

AA'

//BB'

//CC,故AE和AA'

所成的锐角/AA昵AE和CC所成的角

在RtAAA'

E中,tanZAAEA^^,所以AE和CC所成角的正切值是-

AA22

⑷取B'

（的中点F,连EF、BF,那么有EF=A'

B'

=AB,

II

.ABFE是平行四边形,从而BF=AE,即BF//AE且BF=AE.

•••BF与BA'

所成的锐角/AB晰是AE和BA'

所成的角

设正方体各棱长为了2,连A'

R利用勾股定理求出△ABF勺各边长分别为了AA2也,A片BF=（5,由余弦定理得：

cos"

'

BF（22）2（5）2一（'

5）2

5

7.长方体ABCD—AiBiCiDi中,假设AB=BC=3,AAi=4,求异面直线BiD与BCi所成角的大小.

解法一：

如图④,过Bi点作BiE//BCi交CB的延长线丁E点.

那么ZDBiE或其补角就是异面直线DBi与BCi所成角,连结DE交AB丁M,DE=2DM=3龙,

cos/DBiE=^34aZDBiE=arccos7^34o

i70

解法二：

如图⑤,在平■面DiDBBi中过B点作BE//DBi交DiBi的延长线丁E,那么ZCiBE就是异面直线DBi与BCi所成的角,连结CiE,在△BiCiE中,

―一—7、347与

ZCiBiE=i35,CiE=3^*75,cosZCiBE=,--ZCiBE=arccos.

练习：

8.如图,PA_L矩形ABCD,PA=AB=8,BC=i0,求AD与PC所成角的余切值为了.

9.

中位线平■移法：

构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为了

平■面问题,解三角形求之.

如图①连结BiC交BCi丁0,过0点作OE//DBi,贝UZBOE为了所求的异面直线DBi

与BCi所成的角.连结EB,由有BiD^/34,BCi=5,BE=3恒,二cos/BOE=7^42i70

•••ZBOE=arccos7^4

如图②,连DB、AC交于.点,过.点作OE//DBi,过E点作EF//CiB,贝UZOEF

73

成其补角就是两异面直线所成的角,过.点作OM//DC,连结MF、OF.那么OF=Y73

2

cos/OEF=-时34,异面直线BiD与BCi所成的角为了arccos7^34.

i70i70

面直线DBi与BCi所成的角.在△ADF中DF=瓯

解法三：

如图③,连结DiB交DBi丁O,连结DiA,贝U四边形ABCiDi为了平行四边形.在平行四边形ABCiDi中过点O作EF//BCi交AB、DiCi丁E、F,那么ZDOF或其补角就是异

7、、34,cosZDOF=,

ZDOF=arccos———.

课堂练习

i0.在正四面体ABCD中,E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值.补形平移法：

在图形外补作一个相同的几何体,以例丁找出平行线.

如图⑥,以四边形ABCD为了上底补接一个高为了4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结

D2B,那么DBi//D2B,二ZC1BD2或其补角就是异面直线DBi与BCi所成的角,连C1D2,那么^C1D2C2为了RtMcos/CiBD2=—7匣,二异面直线DBi与BCi所成的角是

170

7、、34

arccos.

课堂练习：

11.求异面直线AiCi与BDi所成的角的余弦值.

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BCi上补上一个同样大小的长方体,将AiCi平移到BE,那么/DiBE或其补角就是异面直线AiCi与BDi所成的角,在△BDiE中,BDi=3、L,厂—…'

：

二、利用模型求异面直线所成的角

模型1引理：

平■面a的一条斜线a与平面a所成的角为了如平■面a内的一条直线b与斜线a所成的角为了0,与它的射影a'

所成的角为了8.求证：

cos.=cos0cos..

在平面a的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为了O、B.

连接OB,WJOB±

b.

AO在直角△AOP中,cos%=.

AP

AB

在直角△ABC中,cos%=.

AO

在直角△ABP中,cos^=—.

所以cos%cos七=■A^^AB=AB=cos：

1

APAOAP

所以cosEcos^2=cosi

设PA是a的斜线,OA是PA在a上的射影,

OB//b,如下图.那么ZPAOW1,ZPABW,ZOAB=2,过点.在平■面a内作OB±

AB,垂足为了B,连结PB.

可知PB±

AB.所以cos1=OA,cos0^B,cos2=^AB

PAPAOA

所以cos0=cosecos..

利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角,即引理中的角0.

需：

过a的一个平■面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的射影.

12.如图,MAL平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且MA=AB=a,试求异面直线MB与AC所成的角.

由图可知,直线MB在平■面ABCD内的射影为了AB,

直线MB与平■面ABCD所成的角为了45°

直线AC与直线MB的射影AB所成的角为了45°

所以直线AC与直MB所成的角为了0,满足

cos9=cos45-cos45所以直线AC与MB所成的角为了60

13.

三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面边长都相等,A在底面ABC上的射影为了BC的中

点,那么异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为了（D）

（A）—（B）—

44

设BC的中点为了D,连结A1D,AD,易知8=2AiAB即为了异面直线AB与CCi所成的角,

ADAD3.

A1AAB

由二角余弦正理,易知cos^=cos£

A,ADcos』DAB,屈■=；

.应选D

14.如图,在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,/BAD=90,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA项面ABCD,PD与底面成30°

角,AE±

PD于D.求异面直线AE与CD所成的角的大小.

过E作AD的平行线EF交AD丁F,由PAL底面ABCD可知,

直线AE在平■面ABCD内的射影为了AF,直线AE与平■面ABCD所成的角为了/DAE,其大小为了60°

射影AF与直线CD所成的角为了/CDA,其大小为了45°

所以直线与直

线所成的角0满足cos0=cos60°

-cos452°

所以其大小为了arccos%2.

模型2定理：

四面体ADBCD两相对棱AC、BD问的火角为了0,那么有

八AD3+BC3-ABa-DCa

C0£

^=

所以有：

2AC-BD

i5.长方体ABCD—AiBiCiDi中,AB=AAi=2cm,AD=icm,求异面直线AiCi与BDi所成的角.

连结BCi、AiB在四面体为了8,易求得Lfi匚峪加D"

BC：

-

由定理得：

BD]

㈤-ME

"

2x^5k3

二、向量法求异面直线所成的角

i6.如图,在正方体ABCD-AiBiCiDi中,E、F分别是相邻两侧面BCCiBi及CDDiCi的中心.

求AiE和BiF所成的角的大小.

（作图法）作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点

上.

作法：

连结BiE,取BiE中点G及AiBi中点H,连结GH,有GH/ZAiEo过F作CD的平行线RS,分别交CCi、DDi丁点R、S,连结SH,连结GS由BiH/ZCiDi/ZFS,BiH=FS,可得BiF/ZSH.

在z\GHS中,设正方体边长为了a.

GH=^6a（作直线GQ//BC交BBi丁点Q,

连QH,可知ZXGQH为了直角三角形）,

626

HS=；

a（连A1S,可知ZXHA1S为了直角二角形）,GS==-a

--CosZGHS—

6

PD,可知四边形GPDS为了直角梯形）.

（作直线GP交BC丁点P,连

所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦值为了

（向量法）

分析：

由于给出的立体图形是一个正方体,

所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用

点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用

向量的方法来求出两条直线间的火角

以B为了原点,BC为了x轴,BA为了y轴,BB1为了z轴,设BC长度为了2了那么点A1的坐标为了（0,2,2）,点E的坐标为了（1,0,1）,

点B1的坐标为了（0,0,2）,点F的坐标为了（2,1,1）;

所以向量就的坐标为了（-1,2,1）,向量BF的坐标为了（2,1,-1）,

所以这两个向量的火角0满足

Di

B

D

（-1）2211（-1）

f0

|ER||B1F|,（一1）2

（2）2

（1）2、

（2）2

（1）2（一1）26

...1

所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为了-

cose蔓"

17.空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为了BC和AD的中点,

设AM和CN所成的角为了a,求COSa的值.（平■移法也可）

由得,空间向量AB,AC,AD不共面,

且两两之间的火角均为了60°

.由向量的加法可以得到

AM=!

（AB+AC）,NC'

—^AD+aC

22

所以向量AM与向量NC的火角0（即角a或者a的补角）

、廿中AMNC

¥

两足cos0——=-,其中

|AM||NC|

11■-—■■

AMNC=s（AB+AC）-（--AD+AC）

=1（-1ABAD+ABAC+（-1AD）AC+ACAC）

222

=1a2（-1+1-1+1）=】a2;

24242

|AM|2=1（AB+AC）

-（AB+Ac）=1（1+1+1）a2=3

244

a2;

|NC|2=（-1AD+AC）

（--AD+AC）=】+1-1

242

18.空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,且BE:

EC=AF:

FD=1:

2,EF=w7,求AB和CD所成的角的大小.

取AC上点G,使AG:

GC=1:

2.连结EG、FG,可知EG//AB,FG//CD,3EG=2AB,3FG=CD.

由向量的知识可知EF=EG+GF=2BA+1CD,

33

设向量bA和cd•的火角为了ft

那么由|EF|2=（^BA+^CD）•（-BA+1CD）=4+1+4cosO=Z

3333

得cos9」,所以AB和CD所成的角为了60°

.

19.（思考题）如图,平■行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为了a的正方

形,侧棱AAi长为了b,且AAi与AB、AD的火角都是120°

求：

（1）ACi的长；

（2）直线BDi与AC所成的角的余弦值.

技巧与方法：

数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用

（1）|AC1|2=AC1AC1=（AA1AC）（AA1AC）

=（AAiABAD）（AAABAD）

AA|2|AB|2|AD|22AAAB2AAAD2ABAD

由得：

|AA|2=b2,|AB|2=|AD|2=a2

AA1,AB=：

AA1,AD¥

=120,:

AB,AD^=90

1..1-

AAAB=bacos120=—ab,AAiAD=bacos120=—ab,ABAD=0,

22

.|AC1|2=2a2b2—2ab,|AC1|=..2a2b2-2ab.

（2）依题意得,|AC|=2a,AC=ABAD

BDi=ADBA=AAAD-AB

ACBD1=（ABAD）（AA1AD-AB）=ABAAADAA1ABADAD2-AB2-ABAD--ab|BD1|2=BD1BD1=（AA（AD-AB）（AA（AD-AB）

2_2_222

科AAJ2|AD|2|AB|22AA（AD-2ABAD-2AA（AB=2a2b2

22BD1AC-b

-|BDi|=■2a'

bcos；

BD〔,AC=-^=^==22

•••BD1与AC所成角的余弦值为了.b.

.4a22b2

判断是非：

（1）（3）（8）（10）正确,其余错；

选择：

1（C）;

2（D）;

3（D）;

4（D）..杆5.

（2）相交,（5）平行,其余异面；

（6）:

（D）,取AB中

点M,CCi中点N,连BiE和BiF;

（7）答案：

（A）,延长BiAi至M使AMAD,连MA取AB中点N.8（D）;

9（E）;

i0（D）;

ii（C）;

3.4,取AD中点E,那么ZMEN=90°

;

3

4.g,取AC中点F,连EF、BF,求得BE=；

AD=5,BF=：

AC=3捉；

5.瓯,分别取AC、BiCi的中点P、Q,MPMQN是矩形,设CCi=MQ=a,WJMP=〕a；

52

6.堂取AC中点F,连EF、BF,见JEF=4,BE=BF=3.

异面直线所成的角---作业

班级：

姓名：

学号：

、判断是非（以下命题中,正确的打错误的打“X〞）

1.没有公共点的两条直线的位置关系是（）

（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）不能确定

2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）

（A）异面（B）平行（C）平行或异面（D）平'

行或异面或相交

3.两条异面直线指的是（）

（A）在空间不相交的两条直线（B）某一平■面内的一条直线和这个平■面外的一条直线

（C）分别位丁两个不同平面的两条直线（D）不同在任一平■面内的两条直线

4.a、b是异面直线,b、c也是异面直线,那么a、c的位置是（）

（A）异面（B）异面或平行（C）异面或相交

5.说出正方体中各对线段的位置关系：

（i）AB木日CCi；

（2）AiC木日BDi；

（3）AiA木日CBi；

（4）

（D）相交、平■行或异面

AiCi和CBi;

⑸AiBi和DC;

（6）BDi和DC.

6.在棱长为了1的正方体ABCD—AiBiCiDi中,M和N分别为了AiBi和BBi的中点,那么直线

AM与CN所成角的余弦值是（）

i0入32

4

（A）T（B）有（C）5（D）5

7.

如图,AiBiCi-ABC是直三棱柱（三侧面为了矩形）,ZBCA=90,点

AiCi的中点假设BC=CA=CCi,那么BDi与AFi所成角的余弦值是（

（A点吧

i02

8.正方体ABCD—AiBiCiDi中,直线BCi与AC

（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直（D）

异面但不垂直

9.设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：

①如果aLb、b±

c,贝Ua//c；

②如果a和b相交,b和c相交,贝Ua和c也相交;

3如果a、b是异面直线,c、b是异面直线,那么a、c也是异面直线；

如果a和b共面,b和c共面,那么a和c也共面,

在上述四个命题中,真命题的个数是（）

.如图,四面体ABCD中,AC±

BD,且AC=4,BD=3,M、N分别是AB、

求MN和BD所成角的正切值

B

（第三题）

四.

如图,四面体ABCD中,AB±

BC,AB±

BD,BC±

CD,且AB=BC=6,BD=8,E是AD中点,求BE与CD所成角的余弦值

A

六.

如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,点.求MN与CCi所成角的余弦值.

如图,四面体ABCD中,E为了AD中点,假设AC=CD=DA=8,AB=BD=5,BC=7,求BE与CD所成角的余弦值.