53对数切线放缩Word格式文档下载.docx

1、（2）法一：证明：要证即iiA7/u-x + l0, i14?（x） = a7au-x + 1 , xe（l,+x）,则 （x） = bix 9 v a e（L+a）, .lnx0 :.gf（x）0 , /.g（x）在（L+a）单调递增,又 g=0 , .g（x）0 ,即xtnxx+l0 9 ：.x xbix 法二：（对数单身狗）要证x-1 xlnx 即证1 一丄0 , /. g（x）在（h+oo）单调递增，又 g（l）=0 , /. g（x） 0, :.x-l0,当UOB寸，厂（朗=二上0恒 X X* X f成立，f（x）是增函数，XT+0C时，f（x）T+oo, /（I） =t/-l0时，

2、令fx） 0 ,解得：令ff（x） 0 ,解得:x 1 - n n时尤属于凹函数，根据nxx-将x替换x得， a ,切点为（UU,故T时，有a仅有一个零点，1或者均没有相切情况；当5, x属于凸函数，与lnx 定会有交点，如图所示，实数a的取值范囤为（-co, 01故选A【例4】（2019-湖北期中）已知函数f（x） = alnx + x2-（a + 2）x恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. （一1 , 0） B. （一1 , +00） C. （一2 , 0） D. （一2 , -1）【牡诉】法一：由 alnx + x2 - （a + 2）x = 0 t 令 &（力=匚空，则 gx）=

3、 U-U + 2- 2/iy）x - bix x-bix （x-bvcy&仗）=匸工，在（oj）上递减，在（L+x）上递增，所以g（x）汕=g（l）=l,又当xe（0.1）时，+-2xvO,x 一 InxY* 21* g（x）= 一 1,且直线必为单调递增，故 一1“2上单调递增所以g（x）的最小值为g（2）=,所以必须k ex = -t ,z 2显然 一 2 4 * ，当仅当x = 2时等号成立，故 4时，/无解，所以必须k 丄,4故选A.关于复合函数极值点和单调性，就是内函数取得极值时，外函数同时取得极值，则此函数是取得唯 一极值的；由于内函数的值域是外函数的定义域，如果只有一个极值，那么

4、在内函数的值域范围内，外函 数的导函数在此定义域区间内一定无零点，否则会出现多个极值.M 秒希秘藉：第二讲由1坦在零点两侧出现的不同放缩方向引起的问题lnx（X）;当x羽时lnx丄（x丄）.2 x 2 a构造函数 g（x） = lz-卫二b 则 gd） = _L=20,而 f（l） = O,故当 0 VXV1 时, x + 1 x （x + l） x（x + l）ln（x + l）-, xe（-LO； -in（x + l） g（x） = -（p是实数，为自然对数的底数） x x（1）若/（X）在其定义域内为单调函数，求卩的取值范围：2r. + -X（2）若在1,刃上至少存在一点兀，使得f（x（

5、）g（xQ）成立，求卩的取值范围.【牡r 1 （1） fx） = /?r lv+/?,要使J（x）为单调增函数，转化为“广（切20恒成立二即2一0 AT + 1恒成立.又二所以当P21时，/（X）在（0,炖）为单调增函数.同理，要使：f（x）为单调减函数，转x + -2x 2 2化为“厂（兀）冬0恒成立，再转化为= 恒成立二5C-0,所以当冬0时，于（劝在（O.+oo）为JT + 1 , 1 , 1x+ x+X X单调减函数.综上所述,f（x）在（0,+oo）为单调函数，的取值范国为“21或圧0（2）因g（x） = 在1,刃上为减函数，所以g（x）w2, 2e 二当/乓0时，由（1） f（x）

6、在1,可上递减/（a-U=/（1）=02,不合題意 二当p$l时.由（1）知/（x）在1,习上递增./（I） 2 = /? -e a1二当 Ov p 1 时，因 x 丄, xel , e,所以 f （x） = p（x- ）-Unxx- ） 2lnx.e i 21 ne 0可得 JT或 “一2,二当V-2 时，对称轴人=_0,则当 xout, g（x）0.即厂（x）vO, 2则有f（x）在（0.+X）递减，不合題意：二当“2吋，g（x）的对称轴为X = （0） = 10,则g（x）有两个 不等的实根X, X2 ,且 0 舛 9 xx2 = 1 ,当 XW（O,X）, X G （x21 +Q0）,

7、 ff（x） 0 ,即fx）在（O,Aj）, （x2 , +oo）递减，在（召,x2）递增.则有a的取值范围是（2,+oo）:故答案为：（2,+8）【例8】（2018益阳期末）已知函数f（x） = lnx.当小时，比较“）与喘的大小：（2）若g（x） = af（x） + x3-ax（aeR）有两个极值点厂 ”求证：一心3需一丫xx _ x2 3【牡1 】（1）令h（x） = f（x）- = i,tx-, g）= U0,故Cv）在兀1 时是增函数,x+i x+i x（x+yh（x） /i（l） = 0 ,即 lnx2XX）:x + 1（2） g（x） = alnx + x3-ax 9 g（x）=

8、 ax + a ,则 g）在（O.+oo）上有 2 个零点, x,令 p（x） = 3x -ax + a ,即p（x）在（0,乜）上有2个零点舛，x2, /（X）= 9.2 - a ,当 底0吋，pf（x） 0 , p（x）在（0, +oo）递增，不可 能有 2 个零点，a 0 ,此时卩（召）=p（x2） = 0 ,即 3需-or】 +“ = 3xJ -tu*2 +a , 整理得彳+仔+穆鼻，而讪）2）=吧一叭+叶+仔+打*朋_呱丄3 x -x2 x x2 - 舛 3故要证讪）-心）3咖,只需证明竺匚处：亠=厂 3 不妨设a-x2,只需证明3 西- 4 y/x +xxx2 +x22匹,令-=1

9、）,原不等式转化为仞/ +召吃+ x2,化为4（/2+/ + 1）3（/ + 1）2（/-1）20,故原不等式得证.M秒希秘藉：第三讲常见的指对跨阶不等式的应用ZeJ-In（x4-l）l （取等条件x = 0）；构造函数 y（x-1, ex-x- + x- ln（x +1） = f（x） + f（n（x + 1） 0 ,当仅当 x = 0 时等号成立;Z ex -lnx（e-l）x + l （取等条件x = l）构造函数 f（x） = ex -a -1 , ex -ex + x-l-lnx = ef（A-l） + /（lnx） 0 ,当仅当 x = l 时等号成立；二 （ex-l）ln（.v

10、+ l）x2（x0）【圧叨】指对跨阶不等式，根据“放对再放指，不行找基友的原理，由于x = 0时，两边均为零.故可以考 虑对数在x = 0处的切线放缩，不等号方向必须一致，由于“hl时，nx2（AU ,故xhO时，In（x + 1）,故只需证（er-l）x（x0）,即证i + l（A 0）,构造h（x） = -,易x + 2 x + 2 2 2e得 hx） = ,故 Mx）max = /z（O） = l,故（R -1）ln（x +1） x2（X 0）成立. 2ex或者证lx2 +x +1 ln（x +1） , 一步秒杀，但是需要的数感亂 所以建议用沿着零点放缩对数.2 x + 2【例9】（20

11、19-鄂州期中）已知函数f（x） = x-1（1）求于（力的单调区间;y 4. 1（2）证明:f（x）（其中是自然对数的底数, = 2.71828.：）.1 bix I【解析】（!）定义域是（。，2（1, +00）, /小吕令心亠才必则）=宁， 所以 “（X）在（0J）递增，在（1,+8）递减，故 xe（O, l）u（l , +8）时，u（x） 凹，xe（O, l）u（l, +oo）, x-l ex二先证明xed.-wo）时的情况：此时问题等价于饥-匚二10,令（力=饥-匚二1 , gf（x） = e 2rv ex ex xex令 h（x） = ex+x3-2x2-x 9 则 /（x） = e

12、r+3x2-4x-l, hff（x） = ex+6x-4Q 9 （xl）, 故丹（x）在（1,+00）递增,故 hx） hf （1） =e-20,故/心）在（l,+oo）递增,于是 h（x） h （1） =e-20, 故 g（x）0,故 g（x）在（1,+co）递增，因此 xe（L+x）时，g （1） =0,即加 x - 二下面证明xe（OJ）时的情况:令m（x） = -x-1, gf（x） = -1 0 ,故心）在0 , 1）递增,于是xe（OJ）时,m（x） m（0） = 0 ,故 0 ,故 n（x）在（0 , 1递增，故牙 G （0,1）时, ex xn（x） 1 -,证毕.x-l ex

13、（、i 2（x 1）g（x） = lnx- 1 4 / i2构造 x + 1 ,则 Q（x）=丄一 = 0 ,而 /（1） = 0 ,故当 0 vxvl 时，a- （x+1）2 x（x+ylnx?（x+ x+1 二先证明xe（h+oo）时的情况：此时问题等价于要证：加丫-匚二土二故只需证丄ex x+ ex x + 1 ex故只需证1孚工，构造力（兀）=耳工.必v）=耳工，显然/i（xU=Ml） = -lLe Ze Ze e二下面证明xe（OJ）时的情况：此时问题等价于加r-匚二1竺丄-匚二1匸 ex x + 1 ex x + 1 b故只需证i口丄，显然/?（x） =/?（i）=2【析】（1）

14、兀=0是于（力的极值点，二厂（0） = 1-1=0,解得：m = l.x + m m1 _ ex （x + 1）-1x+1一 x+1经检验2 = 1符合题意由（I）可知,函数 f（x） = ex-ln（x + l） + 9 其定义域为（l,+oo） v fx）=e 设g（x） = o（x +1）-1,则 g3 = ex（x + l） + ex 0,所以 g（x）在（T, +oo）上为增函数，又g（0） = 0,所以当 x0 时，g（x） 0 ,即.厂（x）0;当一 l 0时，g（x）vO, f（x） ）上为增函数；因此.于的最小值为/（0） = 2 /一0在定狡域内恒成立，即kf（x）mhl

15、= 2构造 = /Xr）-=-x-l + x ln（x + l） + 2-R = g（x） + g（ln（x + l） + 2 knO,当仅当x = 0时等号成立，:.k m ,即 ex 一 ln（x + m） 0 ,设 F（x） = ex - ln（x + m）,即证 F（x） 0 , 当加2 , x e （-i, +x）吋,ln（x + + 2）,故只需证明当 m = 2 时，F（x） 法一：当加=2 时，函数 FXx） = ev-!在（-2,-wc）上为增函数，且 F（-1） 0 ,故 Fx） = 0 在 x + 2（一2,+co）上有唯一实数根兀，且 x0 g（-1,0）.当 xw （

16、-2,x）时，Fr（x） ）时，Fx） 0 , 从而当x = x0时，F（x）取得最小值.由Fr（x0） = 0 ,得严=! , ln（x0 +2）=-兀，勺+ 2故 F（x）F（0） = + x0 =（ V + lr 0 ,综上，当 m2 时.F（x） 0 即 f（x） m 兀+ 2 兀+ 2F（x） = ex-ln（x + 2） = ex-x- + x+2-ln（x + 2） = f（x） + g（n（x + 2）09 由于取等条件不一，故F（x） 0达标训练1.2019-深圳二模）若函数= x 五一ahix在区间（1,+0C）上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）A（0丄） B.（丄,e

17、） C（0,+oo） D（丄,+oo）2 2 22.（2018-洛阳期末）若函数/（x） = /m - +oc）5.（2019-临渭模拟）若函数f（x） = xlnx-ax2有两个极值点，则实数“的取值范围是（ ）A. （0丄） B. 丄 1） C. （1.2） D（2疋）6.（2018-七星月考）已知/（x） = “加+ *疋，若方程f（x） = （a + ）x恰有两个不同的解，则实数a的取值范用是（ ）A.（一丄,0） B. （-1,0） C（0,1） D（l.+oo）7.（2017-黄山期末）若函数f（x） = xlnx + 的图象总在直线y = ar的上方，则实数“的取值范用是（ ）A

18、（TX1） B（0,+ao） C（l,+00） D（YC,0）8.（2018-厦门期末）当xe（0,+oo）时，（俶-加）（俶-0*0 ,则实数a的取值范围是（ ）A（-co, 1 B.丄，打 C1, e De 9 +oc）9.（2018河南模拟）若函数f（x） = eK -anx + Ixix-1 （0. +oo）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（A. （7, -e） B. （-00 , T c. （-X , -1） D. （-oo , -e）10.（2019-四平期末）函数/（x） =如-也在（a+oo）上是增函数，则实数k的取值范围是 11.（2019-福建月考）已知函数f（x） =

19、ax2-xlnx在丄,+oo）上单调递增，则实数a的取值范围是 12（2018如皋月考）已知函数f（x） = bx- + 2Jnx若函数f（x）在泄义域上不是单调函数，则实数b的取值范围为 .13.（2019榆林一模）已知不等式-lr + /7u-,对于任意的xe（O.炖）恒成立，则&的最大值 14.（2019-天津二模）设aeR ,函数 f（x）=lnx-ax.（1）若“ =2,求曲线y = f（x）在点P（l,-2）处的切线方程；（2）若于（劝无零点,求“的取值范围;（3）若/（兀）有两个相异零点召、x2,求证：x, + x2 一15.（2018邯郸期末）设函数f（x） = a（x-）-x

20、lnx（1）求函数/（X）的单调区间；（2）若对任意的1,恒有/（x）O成立，求实数a的取值范围.16.（2019*顺艾二模）设函数 f（x） = afx-lnx.a g R （1）若点（1,1）在曲线y = /（A）上，求在该点处曲线的切线方程;（2）若/（x）2 tfi成立，求a的取值范围.17.（2019*荆门模拟）已知函数 f（x） = + a（x一lnx）（a eR）.（1）当“ = 时，求.f（x）的最小值：（2）若八刃有两个零点，求参数a的取值范用.18.（2019济南模拟）已知函数=（1）求函数/（x）的极值：（2 ）若 dX ,求证:aex （1 + -）（1 + Inx）19.（2019成都模拟）已知函数= aeR.（1）若/（x）0,求实数a取值的集合：（2）证明：ex +2-bix + x2+（e-2）x 20.（2018沙坪坝期中）已知函数f（x）=（1） 求/Xx）的单调区间；（2） 证明：fix） （其中是自然对数的底数，6 = 2.71828）.（参考例9,不做详述.）ex21.（2018双流模拟）已知函数f（x） = ahtx-ex:（1）讨论/（X）的极值点的个数;（2）若 “ =2,求证：f（x） 辽阳一模）已知函数f（x） = xlnx（1）若函数g（x）二理丄求g（x）的极值;/（x） + l