53对数切线放缩Word格式文档下载.docx
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（2）法一：
证明：
要证即iiA7/u-x+l>
0,i14?
（x）=a7au-x+1,xe（l,+x）,则^（x）=bix9vae（L+a））,.\lnx>
0:
.gf（x）>
0,/.g（x）在（L+a>
）单调递增,又g⑴=0,.•.g（x）>
0,即xtnx—x+l>
09：
.x—\<
xbix・
法二：
（对数单身狗）要证x-1<
xlnx即证1一丄<
加丫枸造函数£
（兀）=加一1+丄gl.Y）=》--!
7=±
J
X9X9XAT
显然•・・xe（l,+oc）,/.gf（x）>
0,/.g（x）在（h+oo）单调递增，又g（l）=0,/.g（x）>
0,:
.x-l<
xlnx・
【例3】
（2019-深圳二模）已知函数％•）=£
+加-1有且仅有一个零点，则实数"
的取值范围为（）
【宰析】法一：
・••函数f（x）=£
+加¥
-1,.•.广（力=一二+丄=二纟，x>
0,当U^OB寸，厂（朗=二上>
0恒XX*Xf
成立，f（x）是增函数，XT+0C时，f（x）T+oo,/（I）=t/-l<
0,函数f（x）=-+lnx一1有且仅有一个零点;
X
当a>
0时，令f\x）>
0,解得：
令ff（x）<
0,解得:
x<
a,故/（X）在（0,a）递减，在（“，炖）递增，
故只f（x）nun=f（a）=lna=09解得：
“=1,综上：
实数d的取值范围为（-oo,0]^{1}・故选：
A.
——Inx>
1-—nn
"
时尤属于凹函数，根据\nx<
x-\将x替换x得，a,切点为（UU,,故"
T时，有
a
仅有一个零点，"
1或者°
均没有相切情况；
当"
5°
x属于凸函数，与lnx—定会有交点，如图
所示，实数a的取值范囤为（-co,0〕^{1}・故选A・
【例4】
（2019-湖北期中）已知函数f（x）=alnx+x2-（a+2）x恰有两个零点，则实数的取值范围是（）
A.（一1,0）B.（一1,+00）C.（一2,0）D.（一2,-1）
【牡诉】法一：
由alnx+x2-（a+2）x=0t令&
（力=匚空，则g\x）=U-»
U+2-2//iy）
x-bixx-bix（x-bvcy
&
仗）=匸工，在（oj）上递减，在（L+x）上递增，所以g（x）汕=g（l）=—l,又当xe（0.1）时，+-2xvO,
x一Inx
Y*—21*g（x）=一<
0,所以实数的取值范国是（-1,0）.故选A.
x-bvc
lnx
由于X,切点为（1,0）,根据题t—=--~{a+2）有两
xa
交点，如图，直线的零点一定满足"
+2>
1,且直线必为单调递增，故一1<
“<
时一定有两交点，当时，直线和曲线仅有一个交点，故选A.
【例5】
（2019-湖南模拟）已知函数f（x）=^+2klnx-kx，若x=2是函数/（朗的唯一极值点，则实数k的
取值范围是（）
【们】法一・••函数f（x）的定艾域是（0,+oc）,.・・厂（切=°
”3「刀*兰_&
=（O'
_X严_2）XXX
•••x=2是函数畑的唯一一个极值点，・」=2是导函数ff（x）=0的唯一根…0在（0,+x）无变号
零点，即k=q在e0上无变号零点，令=因为g'
（x）仝H）,所以g（x）在（0,2）上单调递城,
在x>
2上单调递增所以g（x）的最小值为g
（2）=—,所以必须k<
—9故选A・
44
kt_k法二（同构式切线放缩法）：
f（刈=匚+2kl心一kx=$-皿■,令.=丫」⑴='
_kbH,•tt
XXXf
ex>
ex>
—=>
-—t>
—,z2
显然~一2"
4*，当仅当x=2时等号成立，故4时，/⑴无解，所以必须k丄,
4
故选A.
关于复合函数极值点和单调性，就是内函数取得极值时，外函数同时取得极值，则此函数是取得唯一极值的；
由于内函数的值域是外函数的定义域，如果只有一个极值，那么在内函数的值域范围内，外函数的导函数在此定义域区间内一定无零点，否则会出现多个极值.
M秒希秘藉：
第二讲由1坦在零点两侧出现的不同放缩方向引起的问题
lnx>
—（X——）;
当x羽时lnx<
丄（x—丄）.
2x2a
构造函数g（x）=lz-卫二b则gd）=[_—L^=20,而f（l）=O,故当0VXV1时,x+1x（x+l）・x（x+l）・
<
ln（x+l）<
-^-,xe（-LO］；
-^-<
in（x+l）<
丄“+刁,xe［O,+x）.
x+2x+22x+1
【例6】
（2019-沈阳模拟）设函数/U）=p（x-l）-2/,ir>
g（x）=-（p是实数，£
为自然对数的底数）xx
（1）若/（X）在其定义域内为单调函数，求卩的取值范围：
2
~r
.¥
+-
X
（2）若在［1,刃上至少存在一点兀，使得f（x（））>
g（xQ）成立，求卩的取值范围.
【牡r1
（1）f\x）=/?
r~lv+/?
要使'
J（x）为单调增函数"
，转化为“广（切20恒成立二即"
2』一
0AT+1
恒成立.又二所以当P21时，/（X）在（0,炖）为单调增函数.同理，要使：
f（x）为单调减函数"
，转
x+-
2x22
化为“厂（兀）冬0恒成立，再转化为=—恒成立二5C—^->
0,所以当"
冬0时，于（劝在（O.+oo）为
JT+1,1,1
x+—x+—
XX
单调减函数.综上所述,f（x）在（0,+oo）为单调函数，"
的取值范国为“21或圧0
（2）因g（x）=—在［1,刃上为减函数，所以g（x）w［2,2e］二当/乓0时，由
（1）^f（x）在［1,可上递减^/（a-U=/
（1）==0<
2,不合題意二当p$l时.由
（1）知/（x）在[1,习上递增./（I）<
2,又g（x）在[1,可上为减函数,
故只需/（X）唤〉g（x）”血，xe[l,e],即：
/（e）=p（e-1）-line>
2=>
/?
>
-^―・
ea■—1
二当Ovp<
1时，因x—丄,xe[l,e],所以f（x）=p（x-—）-Unx^x-—）—2lnx^.e—i—21ne<
2不合题
xxxe
意，综上，p的取值范围为（二匕，+x）.
/一1
【例71（2018-定州市期末）已知函数f（x）=--x+alnx（aeR）^其泄义域上不单调，则a的取值范围是_・x
【窗斤】
（1）/（x）的定狡域为（0.+OO）,广（对=丿_竽+1,令g（x）=x2-ax+\9Z=6/2-4,二>
0可得JT
或“<
一2,二当"
V-2时，对称轴人・=_<
一1,g（0）=l>
0,则当x>
out,g（x）>
0.即厂（x）vO,2
则有f（x）在（0.+X）递减，不合題意：
二当“>
2吋，g（x）的对称轴为X=^（0）=1>
0,则g（x）有两个不等的实根X],X2,且0<
舛<
1,x2>
\9x}x2=1,当XW（O,X]）,XG（x21+Q0）,ff（x）<
0,
（x},x2）时,f\x）>
0,即f{x）在（O,Aj）,（x2,+oo）递减，在（召,x2）递增.则有a的取值范围是（2,+oo）:
故答案为：
（2,+8）・
【例8】
（2018・益阳期末）已知函数f（x）=lnx.
⑴当小时，比较“•）与喘的大小：
（2）若g（x）=af（x）+x3-ax（aeR）有两个极值点厂”求证：
一"
心>
3需一丫・
xx_x23
【牡1】
（1）令h（x）=f（x）-=i,tx-,g）=U]>
0,故〃Cv）在兀>
1时是增函数,
x+ix+ix（x+\y
h（x）>
/i（l）=0,即lnx>
2{X^X）:
x+1
（2）g（x）=alnx+x3-ax9g'
（x）=——ax+a,则g©
・）在（O.+oo）上有2个零点,x,,令p（x）=3x'
-ax+a,
即p（x）在（0,乜）上有2个零点舛，x2,//（X）=9.\2-a,当底0吋，pf（x）>
0,p（x）在（0,+oo）递增，不可能有2个零点，a>
0,此时卩（召）=p（x2）=0,即3需-or】+“=3xJ-tu*2+a,整理得彳+仔+穆鼻，而讪）—2）=」吧一叭+叶+仔+打—*朋_呱丄
3x}-x2x{—x2-舛3
故要证讪）-心）>
3咖
—,只需证明竺匚处：
亠=厂3「不妨设a->
x2,只需证明
3西-£
4^y/x^+xxx2+x22
{匹,令^-=^>
1）,原不等式转化为仞/>
+召吃+x2
化为4（/2+/+1）>
3（/+1）2<
=>
（/-1）2>
0,故原不等式得证.
M秒希秘藉：
第三讲常见的指对跨阶不等式的应用
ZeJ-In（x4-l）>
l（取等条件x=0）；
构造函数y（x—-1,ex-x-\+x-ln（x+1）=f（x）+f（\n（x+1））>
0,当仅当x=0时等号成立;
Zex-lnx>
（e-l）x+l（取等条件x=l）
构造函数f（x）=ex-a-1,^ex-ex+x-l-lnx=ef（A-l）+/（lnx）>
0,当仅当x=l时等号成立；
二（ex-l）ln（.v+l）>
x2（x>
0）・
【圧叨】指对跨阶不等式，根据“放对再放指，不行找基友'
'
的原理，由于x=0时，两边均为零.故可以考虑对数在x=0处的切线放缩，不等号方向必须一致，由于“hl时，\nx>
2（A~U,故xhO时，
In（x+1）>
—,故只需证（er-l）—>
x（x>
0）,即证±
i+l（A>
0）,构造h（x）=—-,易
x+2x+222e
得h\x）=—,故Mx）max=/z（O）=l,故（R-1）ln（x+1）>
x2（X>
0）成立.2ex
或者证>
lx2+x+1ln（x+1）>
—,一步秒杀，但是需要的数感亂所以建议用沿着零点放缩对数.
2x+2
【例9】
（2019-鄂州期中）已知函数f（x）=—・
x-1
（1）求于（力的单调区间;
y4.1
（2）证明:
f（x）>
—（其中£
是自然对数的底数,^=2.71828..：
）.
1———bix]I
【解析】
（!
）定义域是（。
，2（1,+00）,/小吕'
令心亠才必则％）=宁，所以“（X）在（0J）递增，在（1,+8）递减，故xe（O,l）u（l,+8）时，u（x）<
u
（1）=0,也即f（x）vO,因此f（x）在（0,1）上单调递减；
在（1,+x）上也单调递城；
即证明如>
凹，xe（O,l）u（l,+oo）,x-lex
二先证明xed.-wo）时的情况：
此时问题等价于〃饥-匚二1>
0,令£
（力=〃饥-匚二1,gf（x）=e~2r~vexexxex
令h（x）=ex+x3-2x2-x9则//（x）=er+3x2-4x-l,hff（x）=ex+6x-4>
Q9（x>
l）,故丹（x）在（1,+00）递增,故h\x）>
hf
（1）=e-2>
0,故/心）在（l,+oo）递增,于是h（x）>
h
（1）=e-2>
0,故g'
（x）>
0,故g（x）在（1,+co）递增，因此xe（L+x）时，£
g
（1）=0,即加x-——>
二下面证明xe（OJ）时的情况:
令m（x）=-x-1,gf（x）=-1>
0,故〃心）在[0,1）递增,于是xe（OJ）时,
m（x）>
m（0）=0,故<
1,令n（x）=lnx-x+\,nf（x）=-―->
0,故n（x）在（0,1］递增，故牙G（0,1）时,exx
n（x）<
n
（1）=0,即/nv-jv+1vO,即->
1>
-,证毕.
x-lex
（、i2（x—1）
g（x）=lnx-14/i^2
构造x+1,则Q（x）=丄一=—>
0,而/
（1）=0,故当0vxvl时，
a-（x+1）2x（x+\y
lnx<
^—当大21时，\nx>
?
（—
x+\x+1
—
二先证明xe（h+oo）时的情况：
此时问题等价于要证：
加丫-匚二土二故只需证丄〉
exx+\exx+1ex
故只需证1>
孚工，构造力（兀）=耳工.必v）=耳工，显然/i（xU=Ml）=-<
l
LeZeZee
二下面证明xe（OJ）时的情况：
此时问题等价于加r-匚二1<
竺丄-匚二1<
0,故只需证二_>
匸exx+1exx+1b
故只需证i>
口丄，显然/?
（x）=/?
（i）=2<
i,证毕.
2exe
总结：
零点两侧出现不同放缩的情况是证明指对不等式的最大利器！
【例10】
（2019・黄山一模）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）+m.
（1）设x=0是TXr）的极值点，求加的值；
（2）在
（1）的条件下,—®
在泄义域内恒成立，求R的取值范围:
（3）当〃疼2时，证明：
/（a）>
・
【『析】
（1）兀=0是于（力的极值点，二厂（0）=1-1=0,解得：
m=l.
x+mm
1_ex（x+1）-1
x+1一x+1
经检验〃2=1符合题意
由（I）可知,函数f（x）=ex-ln（x+l）+\9其定义域为（—l,+oo）・vf\x）=e设g（x）=o'
（x+1）-1,则g3=ex（x+l）+ex>
0,所以g（x）在（T,+oo）上为增函数，
又・・・g（0）=0,所以当x>
0时，g（x）>
0,即.厂（x）>
0;
当一l<
0时，g（x）vO,f（x）<
0・
所以f（x）在（-1,0）上为减函数；
在（0,+o>
）上为增函数；
因此.于⑴的最小值为/（0）=2•••/⑴一©
0在定狡域内恒成立，即k^f（x）mhl=2
构造=/Xr）-£
=^-x-l+x—ln（x+l）+2-R=g（x）+g（ln（x+l））+2—knO,当仅当
x=0时等号成立，:
.k<
2;
（3）证明：
要证f（x）=ex一ln（x+m）+m>
m,即ex一ln（x+m）>
0,设F（x）=ex-ln（x+m）,即证F（x）>
0,当加£
2,xe（-〃i,+x）吋,ln（x++2）,故只需证明当m=2时，F（x）>
法一：
当加=2时，函数FXx）=ev-—!
—在（-2,-wc）上为增函数，且F（-1）<
0,Fr（0）>
0,故F\x）=0在x+2
（一2,+co）上有唯一实数根兀，且x0g（-1,0）.当xw（-2,x°
）时，Fr（x）<
0,当xg（x0,+o>
）时，F\x）>
0,从而当x=x0时，F（x）取得最小值.由Fr（x0）=0,得严=—!
—,ln（x0+2）=-兀，
勺+2
故F（x）^F（^0）=—+x0=（V°
+lr>
0,综上，当m^2时.F（x）>
0即f（x）>
m・
兀+2兀+2
F（x）=ex-ln（x+2）=ex-x-\+x+2-\-ln（x+2）=f>
（x）+g（\n（x+2））>
09由于取等条件不一，故
F（x）>
0
达标训练
1.<
2019-深圳二模）若函数=x—五一ahix在区间（1,+0C）上存在零点，则实数a的取值范围为（）
A・（0丄）B.（丄,e）C・（0,+oo）D・（丄,+oo）
222
2.（2018-洛阳期末）若函数/（x）=/m-<
u-有两个不同的零点，则实数“的取值范围是•
3・（2019*南京三模）已知数/（X）=丄x2-ahix+x--•对任意xe[\,+oo）,当f（x）^nvc恒成立时实数山22
的最大值为1,则实数d的取值范用是.
4.（2019-陕西一模）已知函数/（x）=-+Wu-x）,若x=l是函数/（劝的唯一极值点，则实数k的取值x
范围是（）
A・（—co♦e]B・（—oo,£
）C・（—匕+oo）D・[―幺>
+oc）
5.（2019-临渭模拟）若函数f（x）=xlnx-ax2有两个极值点，则实数“的取值范围是（）
A.（0丄）B.丄1）C.（1.2）D・（2疋）
6.（2018-七星月考）已知/（x）=“加+*疋，若方程f（x）=（a+\）x恰有两个不同的解，则实数a的取值范
用是（）
A.（一丄,0）B.（-1,0）C・（0,1）D・（l.+oo）
7.（2017-黄山期末）若函数f（x）=xlnx+\的图象总在直线y=ar的上方，则实数“的取值范用是（）
A・（TX\1）B・（0,+ao）C・（l,+00）D・（YC,0）
8.（2018-厦门期末）当xe（0,+oo）时，（俶-加）（俶-0*0,则实数a的取值范围是（）
A・（-co,1]B.[丄，打C・[1,e]D・[e9+oc）
9.（2018・河南模拟）若函数f（x）=eK-a\nx+Ixix-1（0.+oo）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（
A.（7,-e）B.（-00,Tc.（-X,-1）D.（-oo,-e）
10.（2019-四平期末）函数/（x）=如-也在（a+oo）上是增函数，则实数k的取值范围是・
11.（2019-福建月考）已知函数f（x）=ax2-xlnx在[丄,+oo）上单调递增，则实数a的取值范围是
12・（2018・如皋月考）已知函数f（x）=bx--+2Jnx^若函数f（x）在泄义域上不是单调函数，则实数b的
取值范围为.
13.（2019•榆林一模）已知不等式-l^r+/7u-,对于任意的xe（O.炖）恒成立，则&
的最大值•
14.（2019-天津二模）设aeR,函数f（x）=lnx-ax.
（1）若“=2,求曲线y=f（x）在点P（l,-2）处的切线方程；
（2）若于（劝无零点,求“的取值范围;
（3）若/（兀）有两个相异零点召、x2,求证：
x,+x2>
一・
15.（2018・邯郸期末）设函数f（x）=a（x-\）-xlnx・
（1）求函数/（X）的单调区间；
（2）若对任意的©
1,恒有/（x）^O成立，求实数a的取值范围.
16.（2019*顺艾二模）设函数f（x）=a\fx-lnx.agR・
（1）若点（1,1）在曲线y=/（A）上，求在该点处曲线的切线方程;
（2）若/（x）^2tfi成立，求a的取值范围.
17.（2019*荆门模拟）已知函数f（x）=—+a（x一lnx）（aeR）.
（1）当“=时，求.f（x）的最小值：
（2）若八刃有两个零点，求参数a的取值范用.
18.（2019・济南模拟）已知函数=
（1）求函数/（x）的极值：
（2）若d^X,求证:
aex>
（1+-）（1+Inx）・
19.（2019・成都模拟）已知函数=aeR.
（1）若/（x）>
0,求实数a取值的集合：
（2）证明：
ex+^2-bix+x2+（e-2）x・
20.（2018・沙坪坝期中）已知函数f（x）=—・
（1）求/Xx）的单调区间；
（2）证明：
fix）>
—（其中€是自然对数的底数，6>
=2.71828）.（参考例9,不做详述.）
ex
21.（2018>
双流模拟）已知函数f（x）=ahtx-ex:
（1）讨论/（X）的极值点的个数;
（2）若“=2,求证：
f（x）<
0.
（2019>
辽阳一模）已知函数f（x）=xlnx・
（1）若函数g（x）二理丄求g（x）的极值;
/（x）+l<
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