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1、（3）为用圆周卷积定理计算线性卷积，先用FFT计算x（n） ，h（n） 的N点离散傅立叶变换 x（n） X（k） 2 h（n） H（k） 3 （4）组成卷积Y（k）=X（k）H（k） 4（5）利用IFFT计算Y（k）的离散傅立叶逆变换得到线性卷积y（n）。由于 y（n）= WN-nk=WNnk* 5可见，y（n）可由求（1/N）Y*（k）的FFT再取共轭得到。四、实验题目（1） 两个正弦序列的卷积（均为两个周期，256点）输入序列：卷积输出： （2）正弦序列与三角序列的卷积（正弦序列为两个周期，256点；三角序列为一个周期，256个点）（3）两个矩形序列的卷积（均为两个周期，256个点，占空比

2、0.5）（4）单位冲击与正弦波（单位冲击序列为256个点，正弦序列为1.7个周期，256个点）任何序列与单位冲击序列的卷积为原序列，所以结果正确。（5）正弦序列与矩形序列的卷积（两序列均为256个点，正弦序列为两个周期，矩形序列为两个周期，占空比为0.2）主要代码（只选一个参考，下同）：%（1）的代码k=1:256;s1=sin（k/64*pi）;s2=s1;xk=fft（s1,2*length（k）-1）;yk=fft（s2,2*length（k）-1）;rm=ifft（xk.*yk）;m=（-255）:（255）;stem（m,rm） xlabel（m）; ylabel（实验二IIR数字滤

3、波器二、实验要求：设计巴特沃斯低通双线性IIR数字滤波器，N=3，c=0.2。输入信号为以下三种序列（选择点数为128或256）：1 单位取样2 三角序列（两个周期）3 矩形序列（占空比0.1或0.5）给出输出的时域及频域效果，并进行简单的分析。三、实验原理： 滤波器的作用是滤除信号中某一部分的频率分量。信号经过滤波器处理，就相当与信号频谱与滤波器的频率响应相乘的结果。在时域里来看，这就是信号与滤波器的冲激响应相卷积。可以说滤波器就是一个卷积器。 IIR滤波器的系统函数 对应的差分方程为 模拟滤波器系统函数的一般表示式为 数字滤波器系统函数H（z）的普遍表示式为 三阶次巴特沃斯滤波器的系统函数

4、为 由Ha（s）的系数表示经双极性变换后的Y（z）的表达式（三阶）c=0.2Y（Z）=0.018099*X（Z）*Z-3+0.054297*X（Z）*Z-2+0.054297*X（Z）*Z-1+0.018099*X（Z）+0.27806*Y（Z）*Z-3-1.18289*Y（Z）*Z-2+1.76004*Y（Z）*Z-1即 y（n）=0.018099*x（n-3）+0.054297*x（n-2）+0.054297*x（n-1）+0.018099*x（n）+0.27806*y（n-3）-1.18289*y（n-2）+1.76004*y（n-1）由低通数字滤波器原形变换为高通数字滤波器由截止频率c

5、=0.2三阶低通变换为截止频率c=0.6三阶高通，经计算，其表达式为： y（n）=-0.098531x（n-3）+0.295594x（n-2）-0.295594x（n-1）+0.098531x（n）-0.056297y（n-3）-0.42179y（n-2）-0.57724y（n-1）计算过程：由给定的条件可计算出巴特沃斯系统函数的系数，相应可知摸拟系统函数的系数，经双极性变换法求出数字滤波器的系数，最后由差分方程实现低通滤波效果。经相应的Z平面映射，由映射公式变换得出数字高通滤波器系统函数的系数，从而由差分方程实现高通效果。四、实验结果及分析：A.低通滤波：（1）.单位取样（256个点）低通滤

6、波后的傅立叶变换和输出序列：（2）.三角序列（256个点，两个周期）低通滤波后的频谱和输出序列：（3）.矩形序列（两个周期，256个点，占空比0.5）主要代码：%y=ones（1,64） -ones（1,64） ones（1,64） -ones（1,64）;%y=1 zeros（1,255）;y=1:32 31:-1:-32 -31:0./32;k=2*length（y）;B,A=butter（3,0.2*pi）;num1,den1=impinvar（B,A）;h1,w=freqz（num1,den1）;HH,TT=impz（B,A）;YY1=conv（HH,y）;%YY=filter（B,A

7、,y）;f=fft（y,k）;FF1=fft（YY1,k）;subplot（2,2,2）;stem（YY1（1:length（y）,.title（ The result of Filter subplot（2,2,1）;stem（y, The signal of y subplot（2,2,3）;plot（w,abs（f）;subplot（2,2,4）;plot（w,abs（FF1）;B.高通滤波：（1）矩形序列（256个点，两个周期，占空比0.5）高通滤波输出的频谱：高通滤波输出：（2）矩形序列（256个点，两个周期，占空比0.1）高通滤波输出的频谱和高通滤波输出：y=ones（1,13）

8、-ones（1,115） ones（1,13） -ones（1,115）;B,A=butter（3,0.2*pi,highHH,TT=impz（B,A,实验三FIR数字滤波器设计一个截止频率为c=0.2的线性相位低通数字滤波器，1=0.3，2=0.3的线性相位带通滤波器，分别用矩形窗和海明窗对其进行截断，N为61。输入序列64-128点，输出128-256点。输入单位取样及矩形序列（占空比0.1），画出输出序列及其频谱。 理想低通数字滤波器，其频率特性为Hd（ej），现假设其幅频特性|Hd（ej）|=1，相频特性（）=0，那么，该滤波器的单位抽样响应hd（n）是以为hd（0）为对称的sinc函

9、数，hd（0）=c/。我们将hd（n）截短，例如仅取hd（-M/2），hd（0），hd（M/2），并将截短后的hd（n）移位，得 h（n）=hd（n-M/2） n=0,1,M那么h（ n ）是因果的，且为有限长，长度为M+1，令 H（z）=h（n）Z-n即得到所设计滤波器的转移函数。H（z）的频率响应将近似Hd（ej），且是线形相位的。 窗函数设计法是一种逼近，用其频响H（ejw）去逼近所要求的理想滤波器频响Hd（ejw）,用其有限长单位冲击响应h（n）去逼近理想滤波器的无限长单位冲击响应hd（n），即：设计FIR DF的关键是求出h（n）,它应该是一个有限长因果序列。有限性可通过对hd（n）

10、截取一段，即与某一窗函数相乘获得；因果性可通过在时域上进行的时延来获得，这不影响幅频特性，只影响相频。常用的窗函数有矩形窗、海明窗等。 设计时，先根据算出hd（n），再根据指定的窗函数点数以及窗的类型得出h（n），对输入的待滤波序列和h（n）做卷积，即可达到滤波效果。具体实现时可根据线形卷积和圆周卷积的关系，通过补点把线形卷积化为圆周卷积，再根据离散时域的卷积定理，借助FFT求出两序列的频谱，对其频域的乘积做IFFT,即得到时域的圆周卷积。理想低通滤波器幅频特性可知：同理：带通滤波器的单位冲击响应为： h（n）=（Sin2n- Sin1n）/ （n）所以：以下各图输入序列均为128个点，输出序

11、列均为256个点，滤波器窗函数取样点的数目N均为61。低通滤波（1） 单位冲击序列输入：n=0:127;N=30;x（1）=1;x（2:128）=0;h=sin（0.2*pi*（n-30）./（pi*（n-30+eps）;y=conv（x,h）;Y=abs（fft（y）;subplot（3,1,1）; stem（n,x）; xlabel（nx（n） title（输入序列subplot（3,1,2）; stem（0:254,Y） ;幅度/dB加矩形窗低通滤波后频谱subplot（3,1,3）;254,y）;y（n）加矩形窗低通滤波后输出序列hd=sin（0.2*pi*（n-30）./（pi*（n

12、-30+eps）;w=0.5-0.5*cos（2*pi*n/128）; h=hd.*w; y=conv（x,h）; Y=abs（fft（y）;subplot（3,1,1） ;stem（n,x）;254,Y）;加海明窗低通滤波后频谱加海明窗低通滤波后输出序列h1,w1=freqz（h,1）; subplot（2,1,1）; plot（w1/pi,20*log10（abs（h1）;归一化频率/加矩形窗后响应） d=sin（0.2*pi*（n-30）./（pi*（n-30+eps）; h=d.*w; subplot（2,1,2）;） ;ylabel（加海明窗后响应（2） 矩形序列输入（占空比0.5）

13、：x=ones（1,32） -ones（1,32）,ones（1,32） -ones（1,32）;h=sin（0.2*pi*（n-N）./（pi*（n-N+eps）;subplot（3,1,2） ;stem（0:subplot（3,1,3） ;254,y） ;分析：可以看见相同的信号经过矩形窗与海宁窗后的效果有一定的区别，因为海宁窗可以得到旁瓣更小的效果，使能量能够更加集中于窗谱的主瓣内，增大了阻带衰减，可以使设计的信号更加接近模拟信号。实验心得通过该实验，我深刻了解了各种类型的序列表示，无论是正弦序列，矩形序列，三角序列都已经有了较为明确的概念了解。同时，我们对序列进行巴特沃斯低通双线性IIR数字滤波器，最终得到了卷积的图样。除此之外，我们再次温习了MATLAB，并且对其中的傅里叶变换函数有了进一步的了解。在此次试验中，我遇到了许多困难，由于对MATLAB的不熟悉，最初的导入函数总是出错，最后，在同学的指导下，终于完成了工作。