数学钱吉林《数学分析题解精粹》错误更正完整版Word文档格式.docx

1、4n,21111由b2+,得,即+ nn,22nn2bbnnb4111，1n亦即=+1, b2+2 n，1nnn2n,2bbnn故b单调递减有下界,极限存在. n11对b=b（+）+1两边取n?，得b=2（不必求出） n，1nnlim2nn,n（n,1）（2n，1）（n，1）（2n，1）104（2）（?）倒数第三行改为 P235012n12n114证明x存在的常规做法: nlimP56n,2x-x=4-（ x+2）+, n，1nnx，2n222函数g（t）=t+当t时单调递增。令t= x+2，则t2。 nt22（x以为分界点是令4-（ x+2）+=0求得的） 0nx，2n222当x时, x=2

2、-可用数学归纳法证明x 0nn，1x，2n22 x-x4-（+2）+ =0 n，1n2，22即xx.故 x单调递减有下界. n，1nn22当0x时，同理可得 x单调递增有上界. 0n22当x=时, x为常数列 ,综上x存在。 n0nlimn,1nnn1，a116（1）（?） “1+?”中的“?”改为“?”。 aP58n5（n,1）5126“=”中的“=”改为“1”?明明是x=1 n，1P7133xn1，1，xxnn6x-x=6-（ x+3）+ n，1nnx，3nx以为分界点，以下完全类似114。 30P56144题中（3）分母少了n. P73解（2）42改为43（2） （3）具体是107（1）

3、 149（2）不必如此麻烦，在（?）令0，NN，当n N时，|b-b| N时，|a|q 221lnqn,2?式左端（1-q）（1+q+q）+0 P87171最后一个极限缺了x?0。 P902x175倒数第二步分母中的2xe（1-x）还得ln10. P91178解（1）第二步sinx还得x P93（2）最后结果“+”改为“-” 2x（3）倒数第二步应为6 lim2，x/2x,0b179.第二个极限中的指数100b改为 100181题中括号里的分母缺了n P941，2an,1194（2）a=分母中的“-”改为“+” nP1011,an,1195.第一步外缺n 201M=max|A+1|,|A-1|

4、，里增加|f（x）| x0P1040202解（2）本页倒数第二行分子d改为 P105翻到下一页，等价无穷小一般不能在求和时用，所以他的答案错了，不信你用洛必达法则试试，虽然麻烦但还能算出来。 我用泰勒展开来做。2424sinxsinxxx4,，o（x）111122424原式=-+= lim4242464xx,011ln（1，x）xx207.（1+x）= （1+x），原题少了求导。 P107x1ln（1，x）ln（1，x）1x所以原式=2 （1+x） =2e （-）=-e limlimxx2，3xx,0x,01，x,208把（）x后面的x去掉 limP108xx,1x,2209.不用那么繁琐，|

5、=1-m（x）-. 000接下来的几行有两个m（x）?m（x）-均改为m（x）m（x）- 00这题和吉米多维奇数学分析习题解答748题类似 ,246.f（x）在a,+ ?） 连续不能f（x）存在，所以书上的证法是错的。 limP122x,，,正确证明如下:.由已知极限得 ,，对0,X0,当xX时,|f（x）-cx-d |0,=,当x,xX,且| x-x|时, 12123c|f（x）-f（x）|=|f（x）-cx-d-f（x）-cx-d+c（x-x）| 12112212,?| f（x）-cx-d |+| f（x）-cx-d |+c| x-x|0,当x X时,|f（x）|G ,2，=1,对=,x,

6、xX,且| x-x|=G=1（在x,x之间） 1212122253.f（x）的最大值未必在开区间内取得，所以126页的证明有误。 P126显然R（0）=f（0），故G（0）=1 ，若f（x）不单调递增,则0?1,使得f（ x）f（x） 1212则R（x）=f（y） ?f（ x） f（x），得G （x）=0 sup21220,y,x2由G（x） 定义知其在0,1上最多取到0,1两值. 故G（x） 在0,1上为0,1两个孤立的值，显然不连续。（否则由介值定理知G（x）可以取0,1之间的一切值） 255（3）“?f（a）0”前加“不妨令”三个字。 nnP128（4）（?）“有无数多个 相同”，加个“

7、点”字。262“当| x-x|时”，改为. 110P132sinx264.f（x）=分子少了| |. x272可以更严谨些. P138若C在直线上方,则令a= c; 若C在直线下方,则令b=c. 1111类似地继续下去,则可得到f（a）?a,f（b）?b nnnn276证（3） 分子f（x）-x f（x）- f（x）改为 f（x）+x f（x）- f（x） P140f（x，t）,f（x,t）282 若f（x）存在,则 存在, limP143tt,0f（x，t）,f（x,t）且=2 f（x），反之不成立. limtt,023如f（x）=,-11 x1f（0，t）,f（0,t）2,3=0,但f（x

8、）= ,f（0）不存在! limxt3t,0虽然上面的反例并不满足此题在定义域内都有f（a）f（b）的条件,但至少说明书上的证明是不严谨的. 证明:用反证法 假设对,x（a,b）,g（x）0,即 ,f（x，t）,f（x,t）0,当|t|时, 0,则f（x+t）f（x-t） 若tf（x-t） 总之对x（a,b）,f（x）单调递减,. ,而f（x）在a,b上连续,故f（a）f（b）,矛盾!，所以c（a,b）,使g（c）?0. ,t2u,uef（）du283.证 第一行最后中的x改为t. ,0xu在?中0?u?t,0?1. t所以必须?1. 2u因为只有当ut时,才有|f（）-f（0）|0,使得对x

9、0,1,|f（x）|?M ,t，,22,uu,由于收敛,故|edu| edu,t0Mt2,u所以|I|?M|edu|0,0,当|x-x|时,|f（x）-f（x）| ,依题意得 0,| x-x|?T,故|f（x）-f（x）| ,1212即|M-m|0改为f（b）0 P159317与303完全一样 PP16015611323这题的倒数第四行改为 Pn,1n，1163222329f（x）=2cosx+xsinx.+改- P165332g（x）=后面少了两个+号 P1671,2x335当x?0时，f（x）=e题目和证的第一行第二步各少了一个-号 P168n,1n,1342y=nx2cos（lnx）+5

10、sin（lnx）+x-2sin（lnx）+5cos（lnx） P172n,22y=x（n-n-1）2cos（lnx）+5sin（lnx）+（2n-1） 5cos（lnx） -2sin（lnx） 原题这两个式子的后一半都是错的，按我给的改。344与304是同一道题 P156nn347（1）作者错把dx当作d（x） P1742dy22222=2cosx+2x（-sinx）（2x）= 2cosx-4xsinx 2dx3dy2222=2（-sinx）（2x）-4（2x）sinx-4xcosx（2x） 3dx2232232=-4xsinx-8xsinx-8xcosx=-12 xsinx-8xcosx （

11、2） 这题的倒数第二行，分子的-改为+ 353第一个极限f（x）和f（a）各少了一半的绝对值符号| P177356（1）“不一定”改为“一定不”理由仿照（2）可以得出 P179,1,358F（x）= F（x）中的x?改为x? ,n,1n,11Plimlim181,1，x,x,0364由?到?，方程两边都除以f （x），没考虑f（x）为0的问题 P1841,12（n）x368先用数学归纳法证f（x）=P（）e（x?0），然后再代入。 nP186x370f（x）f（0）=0，改为f（x）f（x）=0，因为f（0）不存在。 Plim190,x,0371.?下面g（x）=1改为g（1）=1 374再由

12、（x-1）f （x）?0中的1改为 P19111122384倒数第二步改为1+1+（2-x）+x P195222391.最后一步分子少了（a+b） P197393题中f（0）+f（1）外应有 . P198395（1） f（x）f（x）=0后面的字去掉，改为 nn，1P199*,f（x）f（x）=0f（x）=0,k?N n2k,1n，1（2）要找到一个负数a，使得f（a）0 2k,1,ea2k即ea （2k）!12k2k注意到a（2k）!，即a-（2k）!，就有f（a）0 n2396.等号成立条件还有cosx=cosx 1cosxcosx为什么不用f （x）=+-2 222cosxcosx131

13、2333（）2?3-2=3-2=-2 2242cosx1cosx3原因就在于上式“=”当且仅当=，即cosx=2时取得，但根本就不存在这样22cosx的x!,这题的倒数第四行多了一个“，但x?（0,）” 2397（1） 当且仅当f（x+2h）=-f（x）=?M且f（）=-（?M）时“=”成立，这是不可能的，20P2002所以“=”取不到，即M4 MM 201（2）|f（x）|M?改为|f（x）| ?M 11（2）中并未提到f（x）有界，怎么能直接套用（1）的结果, 补充证明f（x）有界:设f（x）的上确界为M，即|f（x）| ?M 22f（x）=f（x）+（x-x）f（） （在x与x之间） 0

14、00则|f（x）| ?|f（x）|+ |f（）| x-x|?|f（x）|+M| x-x|?（当x?时） 20000若f（x）=+?，则f（x） =+?，与已知矛盾 limlimx,，,x,，,故f（x）有界，这个界就设为M，即|f（x）|?M 1113399另证:令F（x）=f（x）-f（a）-（x-a）f（a）+f（x）,G（x）=（x-a） P2012则F（a）=F（a）=G（a）=G（a）=0.由柯西中值定理得 ,F（）,F（a）F（b）,F（a）F（）F（）F（b）11= G（b）G（b）,G（a）G（,）G（,）G（,）,G（a）111,（,a）f（）12=-f（），代入整理即可。

15、6（,a）12410?下面第二、三行l-改为1- P206f（x）412?ln，分子中的x改为1 P207f（x）418.题目f（x）改为F（x） P210（2）由极值定义知F（x）在闭区间0, 上无极小值。 419与401是同一道题 P201421第一行h（x）改为p（x） P212n,1m,1422?下面第二行应为f（x）=（m+n）sinxcosxsin（-x）sin（+x） P213423.?下面第二行多了个 424.题目里x,y参数式分母中的t均少了平方。x2427?分母应改为x 1P215x2435（1）原题没什么问题，我画蛇添足一下，把g（x）的范围缩小一点。 P21937876

16、28762828g（x）=（x-1）x+x+x-1 x+x-181-78+76+280 3333111111118077752728282828（）（）（）（）81-78+76+280成立是没有问题的，但那是通过3333计算器（还是电脑里的）算出来的，考试时怎么能知道（把唯一的负项和任意正项放在一起也证不出来）,下面证明g（x）0在（0,1上恒为正。80777527755227g（x）=81x-78x+76x+28x= x（81x-78x+76）+28x 52令h（x）= 81x-78x+76，下证h（x）在（0,1上恒为正 17626523要证81x-78x+760，即证x+成立。 2812

17、7x33x11x76767653235345（）（）2，19当x0时，x+=2+3?5= 222812433x2x2243x35x1152761525当且仅当=，即=，x=时，上式“,”成立。 x232432432x176*，19故x+?1，即h（x）0 281327x80777527752775所以g（x）=81x-78x+76x+28x= xh（x）+28x xh（x）0 436（2）少讨论了:0且x?-1时，f（x）0 P220所以在“当01时，f（x）0”后面加上“当x0,m1时F（x）有误，正确结果如下: P26321xxx，,221（1）tdttdt，F（x）=，故选（A） ,01x2x22aa0520题目中,k应从1开始。证的第七行，应为 Pb266k44527（1）题中最后“属于”二字去掉 P269n用不着题中这么复杂的例子。令f（x）=即可。 xn,nnn2222sin（）,dx534解的第二行改为，第三行改为sinxdxsinxdxP,272,0002,nnn22sin（）,dxsin（）,sin（）,，第四行改为，后面三个同样改法。 ,022222537这种题有一般解法，令 P274111nnnnfxdx（）（）fxdx=+=+，则 （）IIfxdx1122222,22,00nx，11nx，1nx，n11nndx=arctan 0? f（）,f