数学钱吉林《数学分析题解精粹》错误更正完整版Word文档格式.docx

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4n,21111由b>

2+,得<

即+<

nn,22nn2bbnn

b4111，1n亦即=++<

1,b<

b.b>

2+>

2n，1nnn2n,2bbnn

故{b}单调递减有下界,极限存在.n

11对b=b（+）+1两边取n?

，得b=2（不必求出）n，1nnlim2nn,,

n（n,1）（2n，1）（n，1）（2n，1）104

（2）（?

）倒数第三行改为P235012n12n

114证明x存在的常规做法:

nlimP56n,,

2x-x=4-[（x+2）+],n，1nnx，2n

222函数g（t）=t+当t>

时单调递增。

令t=x+2，则t>

。

22（x以为分界点是令4-[（x+2）+]=0求得的）0nx，2n

222当x>

时,x=2-可用数学归纳法证明x>

0nn，1x，2n

22x-x<

4-[（+2）+]=0n，1n2，2

2即x<

x.故{x}单调递减有下界.n，1nn

22当0<

时，同理可得{x}单调递增有上界.0n

22当x=时,{x}为常数列{},综上x存在。

n0nlimn,,

1nnn1，a116

（1）（?

）“1+?

”中的“?

”改为“?

”。

aP58n

5（n,1）5126“=”中的“=”改为“<

P2649n9（n,1）

132最好把x?

改为x?

P67

333，3，xxx，1nnn141“=>

1”?

明明是x=>

1n，1P7133xn1，1，xxnn

6x-x=6-[（x+3）+]n，1nnx，3n

x以为分界点，以下完全类似114。

30P56144题中（3）分母少了n.P73

解

（2）42改为43

（2）

（3）具体是107

（1）

149

（2）不必如此麻烦，在（?

）令α<

1即可。

P76

1151

（2）第一个积分前少了系数，所以整个解答都是错的。

P782

221cos21cos,px,px22=改为=，这题有问题。

sinpxsinpx22

b153

（2）觉得钱吉林证a=有点问题，下面是我的证法:

nlimP791，qn,,

*，ε>

0，NN，当n>

N时，|b-b|<

ε（1-q）,,11n

ln|a|n,11，N=1+[]，当n>

N时，|a|q<

ε221lnq

n,2?

式左端<

ε（1-q）（1+q+„„+q）+ε<

2ε，后面和书上一样。

5.f（x）应为f（x）。

limPlim81，x,ax,a

8.（?

）C?

0P82

22158解

（1）第一步分子5cosx改为8cosx。

P84

22161解cosx改为cosx。

P85

164证

（1）|x-（-3）|>

0P87

171最后一个极限缺了x?

0。

P90

2x175倒数第二步分母中的2βxe（1-x）还得×

ln10.P91

178解

（1）第二步sinx还得×

xP93

（2）最后结果“+”改为“-”

2x（3）倒数第二步应为6lim2，x/2x,0

b179.第二个极限中的指数100b改为100

181题中括号里的分母缺了nP94

1，2an,1194

（2）a=分母中的“-”改为“+”nP1011,an,1

195.第一步[]外缺n

201M=max{|A+1|,|A-1|}，{}里增加|f（x）|x0P1040

202解

（2）本页倒数第二行分子d改为αP105

翻到下一页，等价无穷小一般不能在求和时用，所以他的答案错了，不信你用洛必达法则试

试，虽然麻烦但还能算出来。

我用泰勒展开来做。

2424sinxsinxxx4,,，，o（x）111122424原式==--+=lim4242464xx,0

11ln（1，x）xx207.[（1+x）]`=（1+x）[]`，原题少了求导。

P107x

1ln（1，x）ln（1，x）1x所以原式=2（1+x）[]`=2e[]（-）=-elimlimxx2，3xx,0x,0

1，x,208把（）x后面的x去掉limP108xx,,

1x,2209.不用那么繁琐，||=1-<

1，取δ=min{1,ε}即可。

x,33,x

第三章函数的连续性

p1214

（2）有理数列?

分母为q，如y=+nPn111qq

1np，pq1满足y=，但f（y）=f（）nnlimnqqn,,

1）=（如p=1，q=3），则f（y）=0,产生这一错误的原因很简单，就是因很有可能f（ynnlimnqn,,为f（x）在x为有理数点时不连续。

此问按照书上的证法就可以解决，最后得到有理点应为

可移间断点。

（3）去掉“不”

216最后证明:

„„?

|x|改为=|x|P112

xx230|-|?

„„中的“?

”改为“=”.12P117

236在?

的后面加一行:

P118

当a?

x时，f（x）?

m（x）>

m（x）-ε.000

接下来的几行有两个m（x）?

m（x）-ε均改为m（x）>

m（x）-ε00这题和《吉米多维奇数学分析习题解答》748题类似

246.f（x）在[a,+?

）连续不能f（x）存在，所以书上的证法是错的。

limP122x,，,正确证明如下:

.由已知极限得

，对ε>

0,X>

0,当x>

X时,|f（x）-cx-d|<

.,3

，对上面的ε>

0,δ=,当x,x>

X,且|x-x|<

δ时,12123c

|f（x）-f（x）|=|f（x）-cx-d-[f（x）-cx-d]+c（x-x）|12112212

,,?

|f（x）-cx-d|+|f（x）-cx-d|+c|x-x|<

++c=ε112212333c故f（x）在{X,+?

}上一致连续

而f（x）在[a,X+1]上连续,从而一致连续

综上，f（x）在[a,+?

}一致连续.

248

（2）表述不清，重新叙述如下:

P123

`，对,G>

0,当x>

X时,|f（x）|>

2，，ε=1,对δ=,x,x>

X,且|x-x|=<

δ,则,12120G2

`|f（x）-f（x）|=|f（ξ）（x-x）|>

G=1（ξ在x,x之间）1212122

253.f（x）的最大值未必在开区间内取得，所以126页的证明有误。

P126

显然R（0）=f（0），故G（0）=1

，若f（x）不单调递增,则0?

1,使得f（x）>

f（x）1212则R（x）=f（y）?

f（x）>

f（x），得G（x）=0sup21220,y,x2

由G（x）定义知其在[0,1]上最多取到0,1两值.故G（x）在[0,1]上为0,1两个孤立的值，显然不连续。

（否则由介值定理知G（x）可以取0,1之

间的一切值）

255（3）“?

f（a）<

0,f（b）>

0”前加“不妨令”三个字。

nnP128

（4）（?

）“有无数多个相同”，加个“点”字。

262“当|x-x|<

δ时”，δ改为δ.110P132

sinx264.f（x）=分子少了||.x

272可以更严谨些.P138

若C在直线上方,则令a=c;

若C在直线下方,则令b=c.1111类似地继续下去,则可得到f（a）?

a,f（b）?

bnnnn

````````276证（3）分子f（x）-xf（x）-f（x）改为f（x）+xf（x）-f（x）P140

f（x，t）,f（x,t）`282若f（x）存在,则存在,limP143tt,0

f（x，t）,f（x,t）`且=2f（x），反之不成立.limtt,0

3如f（x）=,-1<

1f（0，t）,f（0,t）2,``3=0,但f（x）=,f（0）不存在!

limxt3t,0

虽然上面的反例并不满足此题在定义域内都有f（a）<

f（b）的条件,但至少说明书上的证明是不

严谨的.

证明:

用反证法

假设对,x（a,b）,g（x）<

0,即,

f（x，t）,f（x,t）<

0limtt,0

f（x，t）,f（x,t）g（x），令ε=-,δ>

0,当|t|<

δ时,<

0t2

若t>

0,则f（x+t）<

f（x-t）若t<

0,则f（x+t）>

f（x-t）总之对x（a,b）,f（x）单调递减,.,,

而f（x）在[a,b]上连续,故f（a）>

f（b）,矛盾!

，所以c（a,b）,使g（c）?

0.,

t2u,uef（）du283.证第一行最后中的x改为t.,0x

u在?

中0?

t,0?

1.t

所以必须δ?

2u因为只有当u<

δt时,才有|f（）-f（0）|<

ε,t,

tt222u,u,ue|f（）,f（0）|du所以?

ε不一定成立,edu,,00t,这类题有其常规证法:

ttt222uuu,u,u,uef（）duef（）duef（）du令=+=I+I12,,,00tttt

t2,,u则I=f（）（0?

ξ?

）edut1,0t

所以I=f（0）1lim2t,，,

由f（x）在[0,1]上连续,知其在该区间上有界,即，M>

0,使得对x[0,1],|f（x）|?

M,,

t，,22,,uu,由于收敛,故|edu|<

edu,,t0M

t2,,u所以|I|?

M|edu|<

M=ε2,tM

故I=02limt,，,

t2,u,uef（）du=I+I=f（0）12limlimlim,02tt,，,t,，,t,，,

284T改为T,改为mnlimlimP144n,,n,,另证:

取f（x）的一个周期[0,T],则存在最大值M=f（x）,最小值m=f（x）.12

f（x）在（-?

）上连续,即

，对ε>

0,δ>

0,当|x`-x``|<

δ时,|f（x`）-f（x``）|<

ε,

依题意得

0,|x-x|?

δ,故|f（x）-f（x）|<

ε,1212

即|M-m|<

ε,所以M=m.

在任意小的周期内,f（x）取值为常数所以f（x）在（-?

）上均为常数.

291同137PP14769

292?

少个=号P148

294

（2）f（b）>

0改为f（b）<

0P149

第四章导数、中值定理及导数的应用

300F（0）=„„后面一步加–号，再下面一步-改+,P155

312最后结果第二段应为x>

0P159

317与303完全一样PP160156

11323这题的倒数第四行改为Pn,1n，116322

2329f``（x）=2ωcosωx+ωxsinωx.+改-P165

332g（x）=后面少了两个+号P167

1,2x335当x?

0时，f（x）=e题目和证的第一行第二步各少了一个-号P168

n,1n,1342y`=nx[2cos（lnx）+5sin（lnx）]+x[-2sin（lnx）+5cos（lnx）]P172

n,22y``=x{（n-n-1）[2cos（lnx）+5sin（lnx）]+（2n-1）[5cos（lnx）-2sin（lnx）]}

原题这两个式子的后一半都是错的，按我给的改。

344与304是同一道题P156

nn347

（1）作者错把dx当作d（x）P174

2dy22222=2cosx+2x（-sinx）（2x）=2cosx-4xsinx2dx

3dy2222=2（-sinx）（2x）-4（2x）sinx-4xcosx（2x）3dx

2232232=-4xsinx-8xsinx-8xcosx=-12xsinx-8xcosx

（2）这题的倒数第二行，分子的-改为+

353第一个极限f（x）和f（a）各少了一半的绝对值符号|P177

356

（1）“不一定”改为“一定不”理由仿照

（2）可以得出P179

1,358F（x）=F（x）中的x?

ξ改为x?

n,1n,11Plimlim181,1，x,,x,0

364由?

到?

，方程两边都除以f`（x），没考虑f`（x）为0的问题P184

1,12（n）x368先用数学归纳法证f（x）=P（）e（x?

0），然后再代入。

nP186x

370f（x）<

f（0）=0，改为f（x）<

f（x）=0，因为f（0）不存在。

Plim190,x,0

371.?

下面g``（x）=1改为g``

（1）=1

374再由（x-1）f`（x）?

0中的1改为ξP191

11122384倒数第二步改为[1+1+（2-x）+x]P195222

391.最后一步分子少了（a+b）P197

393题中f（0）+f

（1）外应有[].P198

395

（1）f（x）f（x）=0后面的字去掉，改为nn，1P199

*,f（x）f（x）=0f（x）=0,k?

Nn2k,1n，1

（2）要找到一个负数a，使得f（a）<

02k,1

ea2k即e<

a（2k）!

12k2k注意到a<

ξ<

0，所以只要a>

（2k）!

，即a<

-（2k）!

，就有f（a）<

2396.等号成立条件还有cosx=cosx

1cosxcosx为什么不用f`（x）=++-2222cosx

cosx1312333（）2?

3-2=3-2=-22242cosx

1cosx3原因就在于上式“=”当且仅当=，即cosx=2时取得，但根本就不存在这样22cosx的x!

这题的倒数第四行多了一个“，但x?

（0,）”2

397

（1）当且仅当f（x+2h）=-f（x）=?

M且f``（ξ）=-（?

M）时“=”成立，这是不可能的，20P200

2所以“=”取不到，即M<

4MM201

（2）|f`（x）|<

ε改为|f`（x）|?

ε11

（2）中并未提到f（x）有界，怎么能直接套用

（1）的结果,补充证明f（x）有界:

设f``（x）的上确界为M，即|f``（x）|?

M22

f`（x）=f`（x）+（x-x）f``（ξ）（ξ在x与x之间）000则|f`（x）|?

|f`（x）|+|f``（ξ）||x-x|?

|f`（x）|+M|x-x|?

（当x?

时）20000

若f`（x）=+?

，则f（x）=+?

，与已知矛盾～limlimx,，,x,，,

故f`（x）有界，这个界就设为M，即|f`（x）|?

M11

13399另证:

令F（x）=f（x）-f（a）-（x-a）[f`（a）+f`（x）],G（x）=（x-a）P2012

则F（a）=F`（a）=G（a）=G`（a）=0.由柯西中值定理得

,,F`（）,F`（a）F（b）,F（a）F`（）F``（）F（b）11====G（b）G（b）,G（a）G``（,）G`（,）G`（,）,G`（a）11

1,,,（,a）f```（）12==-f```（ξ），代入整理即可。

6（,,a）12

410?

下面第二、三行l-λ改为1-λP206

f（x）412?

ln，分子中的x改为1P207f（x）

418.题目f（x）改为F（x）P210

（2）由极值定义知F（x）在闭区间[0,π]上无极小值。

419与401是同一道题P201

421第一行h（x）改为p（x）P212

n,1m,1422?

下面第二行应为f`（x）=（m+n）sinxcosxsin（α-x）sin（α+x）P213

423.?

下面第二行多了个]

424.题目里x,y参数式分母中的t均少了平方。

x2427?

分母应改为x1P215x2

435

（1）原题没什么问题，我画蛇添足一下，把g（x）的范围缩小一点。

P219

3787628762828g（x）=（x-1）x+x+x-1<

x+x-1<

2x-1

1112828（）（）

（2）改为，下一行改为:

111111118077752728282828（）（）（）（）g`（x）>

81[]-78[]+76[]+28[]>

03333

111111118077752728282828（）（）（）（）81[]-78[]+76[]+28[]>

0成立是没有问题的，但那是通过3333

计算器（还是电脑里的）算出来的，考试时怎么能知道（把唯一的负项和任意正项放在一起也证

不出来）,下面证明g`（x）>

0在（0,1]上恒为正。

80777527755227g`（x）=81x-78x+76x+28x=x（81x-78x+76）+28x

52令h（x）=81x-78x+76，下证h（x）在（0,1]上恒为正

17626523要证81x-78x+76>

0，即证x+>

成立。

28127x

33x11x76767653235345（）（）2，19当x>

0时，x+=2+3?

5=222812433x2x2243x

35x1152761525当且仅当=，即=，x=时，上式“,”成立。

x232432432x

176********，19故x+?

，即h（x）>

0281327x

80777527752775所以g`（x）=81x-78x+76x+28x=xh（x）+28x>

xh（x）>

436

（2）少讨论了:

0且x?

-1时，f`（x）<

0P220

所以在“当0<

1时，f`（x）<

0”后面加上“当x<

0”

437第一行:

“因为”改为“因此”。

P221

439最后一行“类似可证”,我看没什么类似的地方。

P222

x,x证:

令F（x）=ef（x），则F`（x）=e[f`（x）-f（x）]?

即F（x）单调递减，F（x）?

F（0）=0

而F（x）?

0，所以F（x）?

0，即f（x）=0。

443题目中已有m，所以最小值改为m。

1P225

0,m?

0（但不同时为0）M>

0,m<

0改为M?

d=改为d=maxmaxa,x,da,x,b

，另证:

由罗尔定理，知ξ?

（a,b）使得g`（ξ）=0，由泰勒公式，得

22a,,b,,（）（）g（a）=g（ξ）+g``（η），g（b）=g（ξ）+g``（η）1222

而g（a）=g（b）=0，故

22a,,b,,（）（）mm22|g（ξ）|=|g``（η）|?

（ξ-a），|g（ξ）|=|g``（η）|?

（b-ξ）122222

mm|g（,）|上两式分别两边开平方，相加得2?

[（ξ-a）+（b-ξ）]=（b-a）22

mm22所以|g（ξ）|?

（b-a），而|g（x）|?

|g（ξ）|?

（b-a）。

max88a,x,b

444.最后“由零点定理知”，应该是“由406知”PP226204

445.题目中f`（ξ）=M改为f`（ξ）=μ

3449题目中x改为x3P229

457证第一行f``（x）改为f`（x）P233

458.

（2）f``（x）=„，最后加“x?

461题目中（1-λ）+（x）改为（1-λ）f（x）22P234

若g（a）=0，由?

，下面错，改为:

bf（a）,af（b）f（b）,f（a）则令x=a+T，得f（x）=x+b,ab,a

465.证的第二行f（c）改为|f（c）|P237

466.证的第三行把n改为x

467.证的第五行f`（x）改为f（x）P238

f`（x）f`（x）33468.题目中改为222x3x33

32471.解

（1）第二行最后2cosx改为2cosxP240

RRh2h,2Rh472.这页倒数第二行r=改为r=2hh,2Rh

11474.本页最后一行改为P24124

22475.f``（x）=„-2sinxsecxtanx-2改为f``（x）=„+2sinxsecxtanx-2P242

a，ba，b478.?

1-改为x-下面第二行P24422

bb，，abab2（x,）dx（x,）dxf``（η）改为f``（ξ）,,aa22

480.

（2）倒数第二行f（x）=f（0）改为f（x）-f（0），最后一行多了一个f（x）112P246

2x481.f`（x）表达式第二段1-改为1-P22247xx483.最后一行（1-t）改成（1-α）

483.第五行-（1-α）改为+（1-α）。

P248

第五章不定积分

第一行左边少了dxP252

508解的第一行dt改为dxP259

第六章定积分

511?

1时F（x）有误，正确结果如下:

P263

21xxx，,221[

（1）]tdttdt，，F（x）==，故选（A）,,01x2x

22aa0520题目中,k应从1开始。

证的第七行，应为Pb266k44527

（1）题中最后“属于”二字去掉P269

n用不着题中这么复杂的例子。

令f（x）=即可。

,,,,,,,,,nnn2222sin（）,dx534解的第二行改为，第三行改为sinxdxsinxdxP,272,,,0002

,,,,,,,nnn22sin（）,dxsin（）,sin（）,，第四行改为，后面三个同样改法。

,022222

537这种题有一般解法，令P274

111nnnnfxdx（）（）fxdx=+=+，则（）IIfxdx1122222,,22,00nx，11nx，1nx，n

11nndx==arctan0?

f（）,f

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