解三角形中相关的取值范围问题Word下载.docx

1、（1）求 tanA tanB的值。（2）求严吓2的最大值a +b -c通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1.在LABC中，a=2,c=1，贝帚C的取值范围为 2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ,则m的取值范围是 3.在RtLABC中，C =-，且A,B,C所对的边a, b,c满

2、足ab=：xc，则实数x的取值范围为 4.在锐角LABC中，A = 2B , AC=1，则BC的取值范围是 5.在锐角ABC中，三个内角A, B,C成等差数列，记M = cosAcosC，则M的取值范围是 6. 已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7.已知L ABC外接圆的半径为6 ,若面积Sabc = a2 - （b - c）2且sin B sinC ，贝卩 sinA= , Sabc 的最大值为 8.在 L ABC 中， m = （sin A,cos C）, n = （cos B,sin A），且 m ”n =sin B + sin C（1）求证：L ABC为直角三角形（

3、2）若L ABC外接圆的半径为1,求L ABC的周长的取值范围9.在L ABC中代B,C所对的边分别为a,b,c，已知、2si nA-、3cos A（1）若a2 - c2 = b2 - mbc，求实数m的值（2）若a 3，求L ABC面积的最大值。例1：在锐角丨ABC中，A=2B，则c的取值范围是b解析: JI JI由 0 ： A = 2B 且0 : C =二一 A B ： 2 2得匸，所以亠泄二進二 Sin2BC0SB COS2B8in 4cos2 B -1 ,6 4 b sinB sinB sin B点评：本题易错在求B的范围上，容易忽视“ LABC是锐角三角形”这个条件。本题涉及三角形边

4、角之间的关系， 考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。若L ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为代B,C，则sin B - cosB的取值范围是 解析：由题设知b2二ac ， 又余弦定理知2 2 , 2 2 2r a +c b a +c ac,2acac 1 cosB =2ac 2ac 2ac 2所以 0：B ， 又 sinB cosB=h2sin（B ）且 B 所以3 4 4 12.2 sin（B （1八2即sin B cosB的取值范围是（1八2。本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起 来，有利于提高学生解题的综合能力。例 3:在 L AB

5、C 中，角代 B,C 的对边分别为 a,b,c，且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列。解析：（1）由题意知 acosC ccosA = 2bcosB，由正弦定理得 sinAcosC+sinCcosA = 2sin BcosB所以 sin（A C） =2sin BcosB，于是 cosB =丄，B =-2 3（2）由正弦定理工 b c 10，所以sin A sin B sin C J310 10 10 a b c sin A 5 sin C = 5 sin（73 y/3 3又由0：A匸得-:，所以2 6 6 3jia b c =5 10sin（A ） （10,15。6对三角函数式的

6、处理常常借助于同角三角函数间关系、 诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。在LABC中，a2 bc2 -ab，若LABC的外接圆半径为 2，则3 2LABC的面积的最大值为 2 2 2 解析：又a2 bc2 ab及余弦定理 得cosC=a b七=丄，所以3 2ab 32&sin C32又由于 c =2RsinC =4，所以 c2 =a2 b2 -2abcosC 即 16 ab = a2 b2 一 2ab所以ab_12，又由于S=absi nC 2ab_4、2，故当且仅当a=b=23时，LABC的面积取最大值4、2先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面积公式结合基本不等式，

7、求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。（2008,江苏）满足AB =2,AC二2BC的L ABC的面积的最大值是设 BC =x，则 AC _.2x，根据面积公式得 Sabc ABBCs in B=x 1- cos2 B 代入式得Sabc十1-（4）2 128-（/-1216 4x由三角形三边关系有.2x x . 2且 x 2 .、一 2x，所以22-2 x 2/2 2，故当X =2、3时，Sabc取得最大值2迈。本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。（1）求 tan A tan B 的值。求培的最大值。由 mcos

8、（A cos号），铲）且 m 得 51cos（A B） cos2 A 旦=9，所以 4cos（ AB）二 5cos（ A B），8 2 81即 cosAcosB 二 9sin Asin B，所以 tan A tan B -（2）由余弦定理得 严雪。2二absinCtanC，而92 2 2tan A tanBa b -c 2abcosC 2993 tan（A B） （ta nA tanB） 2 tan Ata nB =-1-ta nAta nB 8 8 4即怡皿有最小值3，又tanCtan（A B）,所以tanC有最大值-彳（当且仅当tan A = tanB 时取等号）4 3所以a2粧的最大值为

9、-I通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、次函数、向量等知识综合考查。1在LABC中，a=2,c=1，贝,C的取值范围为 3. 在RtLABC中，C =-，且A,B,C所对的边a, b,c满足a xc，则实4.在锐角ABC中，A = 2B , AC=1，则BC的取值范围是 5.在锐角LABC中，三个内角A, B,C成等差数列，记 M = cosAcosC ,6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7 .已知L ABC外接圆的半径为6 ,若面积Sabc二a2 -（b -C）2且sin B sinC=4

10、，贝S sin A 二 , Sabc 的最大值为 H 4 耐片8. 在LABC 中，m=（sinA,cosC）, n=（cosB,sin A）,且 m n =sin B sinC9.在L ABC中代B,C所对的边分别为a,b,c，已知.2 si nA, 3cos A（2）若a，求L ABC面积的最大值。参考答案1.sinC Jsin A J,C （0,2 2 6sin 2 A锐角，且 4 2sin A 旦一=4cos2 A ,即 17sin 2 A 8sin A = 0 ,故有 4贝S b c = 2R（sinB sinC） =12 16Sabc *cs in A岂晋（吁）2专64 = 256

11、 （当且仅当b=c = 8时取等号）即Sabc的最大值为25617=sin B sin C8. （ 1） 由 m = （si nA,cosC）, n = （cos B,si nA）,得 sin AcosB sin AcosC 二 sin B sinC , 由正弦定理得 acosB - acosC二b c,2 2 2 2 2 2由余弦定理得a a c - a a b c b c 2ac 2ab整理得（b c）（a2 -b2 -c2） =0又由于b c 0，故a2=b2 c2，即L ABC是直角三角形（或者：由 sin AcosB sin AcosC 二 sin B sin C 得，sin Aco

12、sB sin AcosC 二 sin（ A C） sin（ A B）化简得 cos A（sin B sin C） = 0，由于 sin B sinC 0，故 cosA 二 0， 即L ABC是直角三角形）（2）设LABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c由于L ABC外接圆的半径为1， A =，所以a = 2RsinA = 2，所以 b c 二 2R（sin B cosB）二 2（sin B cosB）二 2/2sin（B ） 又0 ：B ，故一：B ，因而 2、2sin（B ） （2,2 .22 4 4 4 4故 4 : a b c _ 2 22即LABC的周长的取值范围为（4,2 .29. （ 1）由 2 si nA=.3cosA 两边平方得 2s in 2 A = 3cos A即（2cos A -1）（cosA 2） = 0，解得 cosA -2.2 22 2,2 bc-a m由 a -c b -mbc得2bc 2即cosA = m=，所以m=1由（1）知 cosA 冷，则 sinA 存,c -a2bc所以be = b2 c2 - a2 _ 2bc - a2，即 be _ a2 ,故 Sabc #bcsin A