解三角形中相关的取值范围问题Word下载.docx
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（1）求tanAtanB的值。
（2）求严吓2的最大值
a+b-c
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1.在LABC中，a=2,c=1，贝帚C的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边
长的比值为m,则m的取值范围是
3.在RtLABC中，C=-，且A,B,C所对的边a,b,c满足a・b=：
xc，则实
数x的取值范围为
4.在锐角LABC中，A=2B,AC=1，则BC的取值范围是
5.在锐角ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M=cosAcosC，
则M的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc=a2-（b-c）2且
sinBsinC，贝卩sinA=,Sabc的最大值为
8.在LABC中，m=（sinA,cosC）,n=（cosB,sinA），且m”n=sinB+sinC
（1）求证：
LABC为直角三角形
（2）若LABC外接圆的半径为1,求LABC的周长的取值范围
9.在LABC中代B,C所对的边分别为a,b,c，已知、2sinA-、3cosA
（1）若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值
（2）若a—3，求LABC面积的最大值。
例1：
在锐角丨ABC中，A=2B，则c的取值范围是
b
解析:
[JIJI
由0：
：
A=2B且0:
:
C=二一A—B：
—
22
得匸，所以亠泄二進二Sin2BC0SBCOS2B8in^4cos2B-1,
64bsinBsinBsinB
点评：
①本题易错在求B的范围上，容易忽视“LABC是锐角三角形”
这个条件。
②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多
元为一元，体现了解题的通性通法。
若LABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为代B,C，
则sinB-cosB的取值范围是解析：
由题设知b2二ac，又余弦定理知
22,222
ra+c—ba+c—ac,2ac—ac1cosB=
2ac2ac2ac2
所以0：
B，又sinBcosB=h2sin（B—）且B—所以
3<
4412
.2sin（B（1八2］即sinBcosB的取值范围是（1八2。
本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。
例3:
在LABC中，角代B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosB,ccosA成等差数列。
解析：
（1）由题意知acosC•ccosA=2bcosB，
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
所以sin（AC）=2sinBcosB，于是cosB=丄，B=-
23
（2）由正弦定理工bc10，所以
sinAsinBsinCJ3
101010abcsinA5sinC=5〜sin（
73y/33
又由0：
A匸得-:
—，所以
2663
ji
abc=510sin（A）（10,15］。
6
对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公
式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。
在LABC中，a2b^c2-ab，若LABC的外接圆半径为^2，则
32
LABC的面积的最大值为
222解析：
又a2b^c2^ab及余弦定理得cosC=ab七=丄，所以
32ab3
2&
sinC
3
2
又由于c=2RsinC=4，所以c2=a2b2-2abcosC即16ab=a2b2一2ab
所以ab_12，又由于S=^absinC2ab_4、2，故当且仅当a=b=2』3
时，LABC的面积取最大值4、2
先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面积公式结合基本不
等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。
（2008,江苏）满足AB=2,AC二2BC的LABC的面积的最大值是
设BC=x，则AC_.2x，
根据面积公式得SabcABBCsinB=x1-cos2B①
代入①式得Sabc十1-（4"
）2128-（/-12『
16
\4x
由三角形三边关系有.2xx.2且x•2.、一2x，所以2^2-2x■2/22，
故当X=2、3时，Sabc取得最大值2迈。
本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面
积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。
（1）求tanAtanB的值。
⑵求培的最大值。
由m"
cos（A"
cos号），铲）’且m得5[1「cos（AB）]cos2A旦=9，所以4cos（A「B）二5cos（AB），
828
1
即cosAcosB二9sinAsinB，所以tanAtanB-
（2）由余弦定理得严雪。
2二absinC」tanC，而
9
222
tanAtanB
ab-c2abcosC2
993tan（AB）（tanAtanB）2tanAtanB=-
1-tanAtanB884
即怡皿®
有最小值3，又tanC—tan（AB）,
所以tanC有最大值-彳（当且仅当tanA=tanB时取等号）
43
所以a2粧的最大值为-I
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合
正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、
次函数、向量等知识综合考查。
1在LABC中，a=2,c=1，贝,C的取值范围为
3.在RtLABC中，C=-，且A,B,C所对的边a,b,c满足axc，则实
4.在锐角ABC中，A=2B,AC=1，则BC的取值范围是
5.在锐角LABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M=cosAcosC,
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc二a2-（b-C）2且
sinBsinC=4，贝SsinA二,Sabc的最大值为
H4耐片
8.在LABC中，m=（sinA,cosC）,n=（cosB,sinA）,且mn=sinBsinC
9.在LABC中代B,C所对的边分别为a,b,c，已知.2sinA—,3cosA
（2）若a，求LABC面积的最大值。
参考答案
1.
sinCJsinAJ,C（0,—]
226
sin2A
锐角，且4—2sinA旦一=4cos2A,即17sin2A—8sinA=0,故有4
贝Sbc=2R（sinBsinC）=12^16
Sabc*csinA岂晋（吁）2专64=256（当且仅当b=c=8时取等
号）
即Sabc的最大值为
256
17
=sinBsinC
8.
（1）由m=（sinA,cosC）,n=（cosB,sinA）,
得sinAcosBsinAcosC二sinBsinC,由正弦定理得acosB-acosC二b•c,
222222
由余弦定理得aac-aabcbc2ac2ab
整理得（bc）（a2-b2-c2）=0
又由于bc0，故a2=b2c2，即LABC是直角三角形
（或者：
由sinAcosBsinAcosC二sinBsinC得，
sinAcosBsinAcosC二sin（AC）sin（AB）
化简得cosA（sinBsinC）=0，由于sinBsinC0，故cosA二0，即LABC是直角三角形）
（2）设LABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
由于LABC外接圆的半径为1，A=—，所以a=2RsinA=2，
所以bc二2R（sinBcosB）二2（sinBcosB）二2/2sin（B—）又0：
B，故一：
B—，因而2、2sin（B—）（2,2.2]
24444
故4:
abc_22』2
即LABC的周长的取值范围为（4,2^.2]
9.
（1）由'
2sinA=.3cosA两边平方得2sin2A=3cosA
即（2cosA-1）（cosA2）=0，解得cosA-
2.22
22,2bc-am
由a-cb-mbc得
2bc2
即cosA=m=」，所以m=1
由
（1）知cosA冷，则sinA存,
c-a
2bc
所以
be=b2c2-a2_2bc-a2，即be_a2,
故Sabc#bcsinA
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