变形构造函数证明不等式Word格式文档下载.docx

1、2 已知函数 f （x） （a 1） ln x ax 1.讨论函数 f （x） 的单调性；设a 1，如果对任意x1, x2 （0, ） ， | f （x1） f （x2 ） | 4|x1 x2 |，求 a 的取值范围. f （x） 的定义域为（ 0，+） .2a 1 2ax a 1f （x） 2ax.当 a 0时， f （ x） 0，故 f （ x） 在（ 0，+）单调增加；当 a 1时， f （x） 0，故 f （x） 在（ 0，+）单调减少；当 1 a 0时，令 f （ x） =0，解得 a 1x2a则当 （0, 1）时， f （ x） 0；（ x） 0.故 f （x） 在 （0, 1）单

2、调增加，在 a 1 2a单调减少 .x x ，而 a 1，由知在（ 0， +）单调减少，从而 不妨假设x1,x2 （0, ） ， f （x1） f （x2 ） 4 x1 x2x1 ,x2 （0, ） ，f （x ） 4x f （ x ） 4x 2 2 1 1令 g（ x） f （x） 4x ，则 g （ x） a 1 2ax 4等价于 g （x） 在（ 0，+）单调减少，即2ax 4 0从而4x 12x 1h（ x） （x 0）,设并设t 4x 1 1， 8t 8t 1 yx ， 29t 2t 9 t 24t83 3 23.故a的取值范围为（， 2.4. （2010辽宁文21，构造变形，二次）

3、已知函数f （x） （a 1）ln x ax 1.设a 2，证明：对任意x1,x2 （0, ） ， | f （x1） f （x2 ） | 4| x1 x2 |. f（x）的定义域为 （0,+ ），当a 0时， f （x）0，故 f （x）在（0,+ ）单调增加；当a 1时， f （x） 0, 故f（x）在（0,+ ）单调减少；当 1a0时，令 f （x）0,解得 x= a 1.当x （0,）时, f （x） 0；x（，+ ）时， f （ x） 0,故f （x）在（ 0, 1）单调增加，在（，+ ）单调减少 .不妨假设x1 x2.由于 a 2,故f（x）在（ 0，+ ）单调减少 .所以f （x

4、） f （x ） 4 x x 等价于f （ x ） f （ x ） 4x14x2,即f （x2）+ 4x2 f（x1）+ 4x1.令g（x）= f（x）+4 x,则g （x） 2ax+42ax 4x a 1h x ax x a ， a 1，对称轴为x（ ） 2 4 1设，结合图象知 h（ x） 8 （ 1） 16 （ 2）（ 1）a a a a8a a 0，于是 g （x） 4x 4x 1（2 x 1） 0.从而 g（ x）在（ 0,+ ）单调减少，故 g（ x1） g（x2），即 f（x1）+ 4x1 f（ x2）+ 4x2，故对任意x1,x2（0,+ ） ， f （x1） f （x2 ）

5、4 x1 x25. （辽宁，变形构造，二次）已知函数 f（ x）=2ax +（ a1） ln x ， a 1.（1）讨论函数 f （x） 的单调性； （2）证明：若a 5，则对任意x1 ,x 2 （0, ） ，x1 x 2 ，有f （x ） f （x ） （1） f （x） 的定义域为（0, ） . a 1 x ax a 1 （x 1）（x 1 a）f （x） x ax x x若 a 1 1即 a 2 ,则 （x 1）f （x），故 f （x） 在 （0, ）单调增加。若 a 1 1,而 a 1,故1 a 2,则当 x （a 1,1）时， f （ x） 0;当 x （0, a 1）及 x （1

6、, ） 时， f （x） 0故 f （x） 在 （a 1,1）单调减少，在 （0, a 1）,（1, ） 单调增加。若 a 1 1,即 a 2,同理 f （ x） 在 （1,a 1） 单调减少，在 （0,1）,（ a 1, ） 单调增加 .考虑函数 g（x） f （x） x 1 2 （ 1）lnx ax a x x则 g （x） x （a 1） a 1 2 x a 1 （a 1） 1 （ a 1 1）2g （另一种处理） x x由于 1a5,故 g （x） 0，即 g（x）在（4, + ）单调增加，从而当x1 x2 0时有g（x ） g（x ） 0 ，即 f （x1） f （x2 ） x1 x

7、2 0 ，故当0 x x 时，有f （x ） f （x ） f （ x ） f （x ）1 2 2 1x x x x（另一种处理）g （x） x （a 1）a 1 x （a 1）x a 1，结合二次函数图象设h（ x） x （a 1）x a 1（1 a 5） 4（a 1） （a 1）（a 3） 606. 已知函数 f （ x） x 1 aln x（a 0）.（1）确定函数 y f （x） 的单调性；1 1（2）若对任意x1, x2 0,1 ，且 x1 x2 ，都有 1 2| f （x ） f （x ） | 4| |，求实数 a 的 x x取值范围。7. （变形构造）已知二次函数2 2f x a

8、x bx c 和“伪二次函数 ”g x ax bx cln x （a 、b 、c R, abc 0 ），（I） 证明：只要 a 0 ，无论 b 取何值，函数 g x 在定义域内不可能总为增函数；（II） 在二次函数f x ax bx c 图象上任意取不同两点A（x , y ）, B（ x ,y ） ，线段AB 中点的横坐标为 x0 ，记直线 AB 的斜率为 k ，（i） 求证： k f （ x0 ） ； 2 ln g x ax bx c x ，是否有同样的性质 ?证明你的结论 .（ii） 对于 “伪二次函数 ”（I）如果 x 0,g （x） 为增函数 ,则 2c 2ax bx cg （x） 2

9、ax b 0（1）恒成立 ,当 x 0 时恒成立 , 2 ax2 bx c 0 （2）a 0, 由二次函数的性质 , （2）不可能恒成立 .则函数 g（ x） 不可能总为增函数 . 3分（II ）（ i） kf x f x a（x x ） b x x2 1 2 1 2 12 1 2 1= 2ax0 b .由 f （ x） 2ax b,f （x ） 2ax b , 则 k f （x0 ） -5 分0 0（ii ）不妨设x x ,对于 “伪二次函数 ”:2 1k2 2 2a（x x ） b x x clng x g x x2 1 1=2ax bcln, （3） 7分g x 2ax b由（）中（1）

10、 0 0c,如果有 （）的性质，则 g x0 k , （4）x c， c 0, 即：ln 2 ，（4） -10 分比较（3）（ 4）两式得2 1 02 1 1 2不妨令t , t 1,ln t 2t 1 t 1， （5）s（t ） ln t2t 2t 1，则1 2（t 1） 2（t 1） （t 1）s （t） 0t （t 1） t （t 1） s（t ） 在 （1, ） 上递增， s（t ） s（1） 0 . （5）式不可能成立 ,（ 4）式不可能成立 , g x0 k . g x ax bx c x不具有 （ ）的性质 . -12 分“伪二次函数 ”8. （变形构造，第2问用到均值不等式 ）

11、已知定义在正实数集上的函数 f（x） x24ax1，g（x）6a2lnx 2b1，其中 a0.设两曲线 yf（x） ，yg（x）有公共点， 且在该点处的切线相同， 用a表示 b，并求 b的最大值；设 h（x） f（x） g（x） 8x，证明：若a 1，则 h（x）在（0, ）上单调递增；设 F（x）f（x） g（x） ，求证：对任意 x1,x2（0, ），x1x2有 8.设 f（x） 与g（x）交于点 P（x0，y0），则有f（x 0） g（x0），即 x4ax016a2lnx 02b 1.又由题意知 f（x 0）g（x 0），即 2x04a.由解得 x0a或x0 3a（舍去 ）将x0a代入整

12、理得 ba23a2lna.令s（a）a23a2lna，则 s（a） 2a（13lna），a（0,）时， s（a）递增， a（, ）时， s（a ）递减，所以 s（a） s（）3e ，即be ，b的最大值为e .h（x） f（x） g（x）8x，h（x） 2x 4a 8，因为 a 1，所以 h（x） 2x 4a8 4a4a8 4（1）（1）8 0，即 h（x）在 （0, ）内单调递增由知 x1x2时， h（x1）h（x2），即 F（x1）8x1F（x2）8x2.因为 x1x2，所以 8.9. 已知函数（x） ，a为正常数x 1若 f （x） ln x （x） ，且 a，求函数 f （ x） 的单

13、调增区间；在中当 a 0 时，函数 y f （x） 的图象上任意不同的两点 A x1 , y1 ，B x2 , y2 ，线段AB的中点为 C（ 0 , y ） ，记直线 AB的斜率为 k ，试证明： k f （x0 ） g（ x ） g（x ）若 g（x） ln x （x） ，且对任意的 x1 ,x2 0,2 ， x1 x2 ，都有 1，求 a的取值范围f （ x）（x 1）（2a）x2 （ 1）2a，令 f （x） 0得 x 2 或 1 10 x ,函数 f （x） 的单调增区间为 （0, ）, （2, ） . 2 2证明：当 a 0 时 f （x） ln xf（x） , f （x ） ,

14、又0 1 2（x ）不妨设x2 x1 ， 要比较k 与 f （ x0） 的大小，即比较与的大小，又x2 x ， 即比较2（x ）1）的大小2（ x 1） 1 4 （ x 1）令 h（ x） ln x （x 1） ,则h （ x） 0 ,2 x x 2 x 1 x （x 1） （ 1） h（ x） 在 1, 上位增函数2 h又 1， h（ ） （1） 0 ， 1，即 k f （x ）g（x ） g（ x ） g（x ） x g（x ） x2 1 2 2 1 1 1， 0由题意得 F （x） g（ x） x 在区间 0,2 上是减函数 1 a1 ， 1F （x） 1 当 x 2, F （x） ln

15、 x x x （x 1）（x 1） 1由F 3 在x 1,2 恒成立（x） 0 a （ x 1） x 3x x x1 1 2设m（ x） x 3 ，x 1,2 ，则 3 03x m （ x） 2x m（ x） 在 1,2 上为增函数， 27a m（2） .0 ， F 1（x） 2 当 x 1,F （x） ln x x x （ x 1）F 在x （ 0,1） 恒成立由 （x） 0 a （ x 1） x x 1设t（x） x 1，x （ 0,1） 为增函数,a t （1） 0综上： a的取值范围为27a .10. 已知函数f （ x） ln x ax （a 1）x（ a 0）（）求函数 f （x）

16、 的单调区间；（）记函数 y F （x） 的图象为曲线 C 设点 A（ x1, y1） , B（x2 , y2 ）是曲线 C 上的不同两点 如果在曲线 C 上存在点M （x , y ） ，使得： x ；曲线 C 在点 M 处0 2的切线平行于直线 AB ，则称函数 F （x） 存在“中值相依切线” 试问：函数 f （x） 是否存在“中值相依切线” ，请说明理由（）易知函数 f （x） 的定义域是 （0, ） ，a（x 1）（x ）f （ x） ax a 1 1 分当1时，即a 1时, 令 f （ x） 0 ,解得 0 x或 x 1 ;令 f （ x） 0,解得所以，函数 f （x） 在（0, ） a 2 分和 （1, ） 上单调递 增 ,在（ ,1）上单调递 减当分1时，即a 1时, 显然，函数 f （x） 在 （0, ）上单调递 增 ； 3当1时，即1 a 0时, 令 f （ x） 0 ,解得 0 x 1或 x;（ x） 0,解得 1 x 4 分所以，函数 f （x） 在 （0,1） 和综上所述，上单调递 增 ,在（1, ）当 a 1时,函数 f （x） 在上单调递 减；当 a 1时,函数 f （x） 在 （0, ）上单调递 增 ；当 1 a 0时 ,函数 f （x） 在 （0,1） 和 （ 1, ）减 5 分