变形构造函数证明不等式Word格式文档下载.docx
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2已知函数f(x)(a1)lnxax1.
⑴讨论函数f(x)的单调性;
⑵设a1,如果对任意x1,x2(0,),|f(x1)f(x2)|≥4|x1x2|,求a的取值范
围.
⑴f(x)的定义域为(0,+∞).
2
a12axa1
f(x)2ax
.
当a0时,f'
(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调增加;
当a1时,f'
(x)<0,故f(x)在(0,+∞)单调减少;
当-1<a<0时,令f'
(x)=0,解得a1
x
2a
则当(0,1)
时,f'
(x)>0;
(x)<0.
故f(x)在(0,1)
单调增加,在
a1
2a
单调减少.
xx,而a<-1,由⑴知在(0,+∞)单调减少,从而⑵不妨假设
x1,x2(0,),f(x1)f(x2)4x1x2
x1,x2(0,),
f(x)4xf(x)4x⋯⋯①
2211
令g(x)f(x)4x,则g'
(x)a12ax4
①等价于g(x)在(0,+∞)单调减少,即
2ax40
从而
4x1
2x1
h(x)(x0),
设
并设t4x11,
8t8
t1y
x,∴2
9
t2t9
t2
4
t
≤
8
332
3.
故a的取值范围为(-∞,-2].
4.(2010辽宁文21,构造变形,二次)
已知函数
f(x)(a1)lnxax1.
⑵设a≤2,证明:
对任意x1,x2(0,),|f(x1)f(x2)|≥4|x1x2|.
⑴f(x)的定义域为(0,+),
当a≥0时,f(x)>0,故f(x)在(0,+)单调增加;
当a≤-1时,f(x)<0,故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a<0时,令f(x)=0,解得x=a1
.当x∈(0,
)时,f(x)>0;
x∈(
,+)时,f(x)<0,
故f(x)在(0,1
)单调增加,在(
,+)单调减少.
⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.
所以
f(x)f(x)≥4xx等价于
f(x)f(x)≥4x1-4x2,
即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
g(x)2ax
+4=
2ax4xa1
hxaxxa,a≤-1,对称轴为x
()241
设
,
结合图象知h(x)≤8
(1)16
(2)
(1)
aaaa
8aa
≤0,
于是g(x)≤
4x4x1
=
(2x1)
≤0.
从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1)≤g(x2),
即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,故对任意x1,x2∈(0,+),f(x1)f(x2)≥4x1x2
5.(辽宁,变形构造,二次)
已知函数f(x)=
2-ax+(a-1)lnx,a1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:
若a5,则对任意x1,x2(0,),x1x2,有
f(x)f(x)
(1)f(x)的定义域为(0,).
'
a1xaxa1(x1)(x1a)
f(x)xa
xxx
①若a11即a2,则
'
(x1)
f(x)
,故f(x)在(0,)单调增加。
②若a11,而a1,故1a2,则当x(a1,1)时,f'
(x)0;
当x(0,a1)及x(1,)时,f'
(x)0
故f(x)在(a1,1)单调减少,在(0,a1),(1,)单调增加。
③若a11,即a2,同理f(x)在(1,a1)单调减少,在(0,1),(a1,)单调增加.
⑵考虑函数g(x)f(x)x12
(1)ln
xaxaxx
则g(x)x(a1)a12xa1(a1)1(a11)2
g(另一种处理)xx
由于1<
a<
5,故g(x)0,即g(x)在(4,+∞)单调增加,从而当
x1x20时有
g(x)g(x)0,即f(x1)f(x2)x1x20,故
当
0xx时,有
f(x)f(x)f(x)f(x)
1221
xxxx
(另一种处理)
g(x)x(a1)
a1x(a1)xa1
,结合二次函数图象
设h(x)x(a1)xa1(1a5)≥
4(a1)(a1)
≥
(a3)6
>0
6.已知函数f(x)x1alnx(a0).
(1)确定函数yf(x)的单调性;
11
(2)若对任意x1,x20,1,且x1x2,都有12
|f(x)f(x)|4||
,求实数a的xx
取值范围。
7.(变形构造)
已知二次函数
22
fxaxbxc和“伪二次函数”gxaxbxclnx(a、b、
cR,abc0),
(I)证明:
只要a0,无论b取何值,函数gx在定义域内不可能总为增函数;
(II)在二次函数
fxaxbxc图象上任意取不同两点
A(x,y),B(x,y),线段
AB中点的横坐标为x0,记直线AB的斜率为k,
(i)求证:
kf(x0);
2ln
gxaxbxcx,是否有①同样的性质?
证明你的结论.
(ii)对于“伪二次函数”
(I)如果x0,g(x)为增函数,则
2
c2axbxc
g(x)2axb0
(1)恒成立,
当x0时恒成立,2ax2bxc0
(2)
a0,由二次函数的性质,
(2)不可能恒成立.则函数g(x)不可能总为增函数.3分
(II)(i)k
fxfxa(xx)bxx
212121
2121
=2ax0b.
由f(x)2axb,
f(x)2axb,则kf(x0)--------5分
00
(ii)不妨设
xx,对于“伪二次函数”:
21
k
222
a(xx)bxxcln
gxgxx
211
=
2axb
cln
(3)7分
gx2axb
由(ⅰ)中
(1)00
c
如果有(ⅰ)的性质,则gx0k,(4)
xc
,c0,即:
ln
2,(4)--------10分
比较(3)(4)两式得
210
2112
不妨令
t,t1,
lnt2
t1t1
,(5)
s(t)lnt
2t2
t1
,则
12(t1)2(t1)(t1)
s(t)0
t(t1)t(t1)
∴s(t)在(1,)上递增,∴s(t)s
(1)0.
∴(5)式不可能成立,(4)式不可能成立,gx0k.
gxaxbxcx不具有(ⅰ)的性质.-------12分
∴“伪二次函数”
8.(变形构造,第2问用到均值不等式)
已知定义在正实数集上的函数f(x)=x
2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0.
⑴设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值;
⑵设h(x)=f(x)+g(x)-8x,证明:
若a≥-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增;
⑶设F(x)=f(x)+g(x),求证:
对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2有>8.
⑴设f(x)与g(x)交于点P(x0,y0),则有
f(x0)=g(x0),即x+4ax0+1=6a
2lnx0+2b+1.①
又由题意知f′(x0)=g′(x0),即2x0+4a=.②
由②解得x0=a或x0=-3a(舍去).
将x0=a代入①整理得b=a
2-3a2lna.
令s(a)=a
2-3a2lna,则s′(a)=2a(1-3lna),
a∈(0,)时,s(a)递增,a∈(,+∞)时,s(a)递减,所以s(a)≤s()=
3
e,
即b≤
e,b的最大值为
e.
⑵h(x)=f(x)+g(x)-8x,h′(x)=2x++4a-8,
因为a≥-1,所以h′(x)=2x++4a-8≥4a+4a-8≥4(+1)(-1)-8≥0,即h(x)在(0,+∞)
内单调递增.
⑶由⑵知x1<x2时,h(x1)<h(x2),即F(x1)-8x1<F(x2)-8x2.
因为x1<x2,所以>8.
9.已知函数
(
x),a为正常数.
x1
⑴若f(x)lnx(x),且a
,求函数f(x)的单调增区间;
⑵在⑴中当a0时,函数yf(x)的图象上任意不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2,线段AB
的中点为C(0,y),记直线AB的斜率为k,试证明:
kf(x0).
g(x)g(x)
⑶若g(x)lnx(x),且对任意的x1,x20,2,x1x2,都有1
,求a
的取值范围.
⑴
f(x)
(x1)
(2
a)x
2
(1)2
∵a
,令f(x)0得x2或
11
0x,∴函数f(x)的单调增区间为(0,),(2,).
22
⑵证明:
当a0时f(x)lnx
f
(x),∴
f(x),又
012
(x)
不妨设x2x1,要比较k与f(x0)的大小,即比较
与
的大小,
又∵
x2x,∴即比较
2(
x)
1)
的大小.
2(x1)14(x1)
令h(x)lnx(x1),则h(x)0,
2xx2x1x(x1)
(1)
∴h(x)在1,上位增函数.
2h
又1,∴h()
(1)0,∴
1
,即kf(x)
g(x)g(x)g(x)xg(x)x
212211
⑶∵1,∴0
由题意得F(x)g(x)x在区间0,2上是减函数.
1a
1,∴1
F(x)1当x2,F(x)lnxx
x(x1)
(x1)1
由F3在x1,2恒成立.
(x)0a(x1)x3x
xx
112
设m(x)x3,x1,2,则30
3xm(x)2x
∴m(x)在1,2上为增函数,∴
27
am
(2).
0,∴F1
(x)2当x1,F(x)lnxx
x(x1)
F在x(0,1)恒成立
由(x)0a(x1)xx1
设t(x)x1,x(0,1)为增函数,∴at
(1)0
综上:
a的取值范围为
27
a.
10.已知函数
f(x)lnxax(a1)x(a0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记函数yF(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同
两点.如果在曲线C上存在点
M(x,y),使得:
①
x;
②曲线C在点M处
02
的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:
函数f(x)是否
存在“中值相依切线”,请说明理由.
(Ⅰ)易知函数f(x)的定义域是(0,),
a(x1)(x)
f'
(x)axa1
.⋯⋯⋯⋯1分
①当
1时,即a1时,令f'
(x)0,解得0x
或x1;
令f'
(x)0,解得
所以,函数f(x)在
(0,)
a
.⋯⋯⋯⋯⋯2分
和(1,)上单调递增,在
(,1)
上单调递减
②当
分
1时,即a1时,显然,函数f(x)在(0,)上单调递增;
⋯⋯⋯⋯⋯3
③当
1时,即1a0时,令f'
(x)0,解得0x1或x
;
(x)0,解得1x
.⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以,函数f(x)在(0,1)和
综上所述,
上单调递增,在
(1,)
⑴当a1时,函数f(x)在
上单调递减;
⑵当a1时,函数f(x)在(0,)上单调递增;
⑶当1a0时,函数f(x)在(0,1)和(1,)
减.⋯⋯⋯⋯⋯5分