变形构造函数证明不等式Word格式文档下载.docx
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2已知函数f（x）（a1）lnxax1.
⑴讨论函数f（x）的单调性；
⑵设a1，如果对任意x1,x2（0,），|f（x1）f（x2）|≥4|x1x2|，求a的取值范
围.
⑴f（x）的定义域为（0，+∞）.
2
a12axa1
f（x）2ax
.
当a0时，f'
（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a1时，f'
（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当－1＜a＜0时，令f'
（x）=0，解得a1
x
2a
则当（0,1）
时，f'
（x）＞0；
（x）＜0.
故f（x）在（0,1）
单调增加，在
a1
2a
单调减少.
xx，而a＜－1，由⑴知在（0，+∞）单调减少，从而⑵不妨假设
x1,x2（0,），f（x1）f（x2）4x1x2
x1,x2（0,），
f（x）4xf（x）4x⋯⋯①
2211
令g（x）f（x）4x，则g'
（x）a12ax4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即
2ax40
从而
4x1
2x1
h（x）（x0）,
设
并设t4x11，
8t8
t1y
x，∴2
9
t2t9
t2
4
t
≤
8
332
3.
故a的取值范围为（－∞，－2].
4.（2010辽宁文21，构造变形，二次）
已知函数
f（x）（a1）lnxax1.
⑵设a≤2，证明：
对任意x1,x2（0,），|f（x1）f（x2）|≥4|x1x2|.
⑴f（x）的定义域为（0,+），
当a≥0时，f（x）＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；
当a≤－1时，f（x）＜0,故f（x）在（0,+）单调减少；
当－1＜a＜0时，令f（x）＝0,解得x=a1
.当x∈（0,
）时,f（x）＞0；
x∈（
，+）时，f（x）＜0,
故f（x）在（0,1
）单调增加，在（
，+）单调减少.
⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少.
所以
f（x）f（x）≥4xx等价于
f（x）f（x）≥4x1－4x2,
即f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.
令g（x）=f（x）+4x,则
g（x）2ax
+4＝
2ax4xa1
hxaxxa，a≤－1，对称轴为x
（）241
设
，
结合图象知h（x）≤8
（1）16
（2）
（1）
aaaa
8aa
≤0，
于是g（x）≤
4x4x1
＝
（2x1）
≤0.
从而g（x）在（0,+）单调减少，故g（x1）≤g（x2），
即f（x1）+4x1≤f（x2）+4x2，故对任意x1,x2∈（0,+），f（x1）f（x2）≥4x1x2
5.（辽宁，变形构造，二次）
已知函数f（x）=
2－ax+（a－1）lnx，a1.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：
若a5，则对任意x1,x2（0,），x1x2，有
f（x）f（x）
（1）f（x）的定义域为（0,）.
'
a1xaxa1（x1）（x1a）
f（x）xa
xxx
①若a11即a2,则
'
（x1）
f（x）
，故f（x）在（0,）单调增加。
②若a11,而a1,故1a2,则当x（a1,1）时，f'
（x）0;
当x（0,a1）及x（1,）时，f'
（x）0
故f（x）在（a1,1）单调减少，在（0,a1）,（1,）单调增加。
③若a11,即a2,同理f（x）在（1,a1）单调减少，在（0,1）,（a1,）单调增加.
⑵考虑函数g（x）f（x）x12
（1）ln
xaxaxx
则g（x）x（a1）a12xa1（a1）1（a11）2
g（另一种处理）xx
由于1<
a<
5,故g（x）0，即g（x）在（4,+∞）单调增加，从而当
x1x20时有
g（x）g（x）0，即f（x1）f（x2）x1x20，故
当
0xx时，有
f（x）f（x）f（x）f（x）
1221
xxxx
（另一种处理）
g（x）x（a1）
a1x（a1）xa1
，结合二次函数图象
设h（x）x（a1）xa1（1a5）≥
4（a1）（a1）
≥
（a3）6
＞0
6.已知函数f（x）x1alnx（a0）.
（1）确定函数yf（x）的单调性；
11
（2）若对任意x1,x20,1，且x1x2，都有12
|f（x）f（x）|4||
，求实数a的xx
取值范围。
7.（变形构造）
已知二次函数
22
fxaxbxc和“伪二次函数”gxaxbxclnx（a、b、
cR,abc0），
（I）证明：
只要a0，无论b取何值，函数gx在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数
fxaxbxc图象上任意取不同两点
A（x,y）,B（x,y），线段
AB中点的横坐标为x0，记直线AB的斜率为k，
（i）求证：
kf（x0）；
2ln
gxaxbxcx，是否有①同样的性质?
证明你的结论.
（ii）对于“伪二次函数”
（I）如果x0,g（x）为增函数,则
2
c2axbxc
g（x）2axb0
（1）恒成立,
当x0时恒成立,2ax2bxc0
（2）
a0,由二次函数的性质,
（2）不可能恒成立.则函数g（x）不可能总为增函数.3分
（II）（i）k
fxfxa（xx）bxx
212121
2121
=2ax0b.
由f（x）2axb,
f（x）2axb,则kf（x0）--------5分
00
（ii）不妨设
xx,对于“伪二次函数”:
21
k
222
a（xx）bxxcln
gxgxx
211
=
2axb
cln
（3）7分
gx2axb
由（ⅰ）中
（1）00
c
如果有（ⅰ）的性质，则gx0k,（4）
xc
，c0,即：
ln
2，（4）--------10分
比较（3）（4）两式得
210
2112
不妨令
t,t1,
lnt2
t1t1
，（5）
s（t）lnt
2t2
t1
，则
12（t1）2（t1）（t1）
s（t）0
t（t1）t（t1）
∴s（t）在（1,）上递增，∴s（t）s
（1）0.
∴（5）式不可能成立,（4）式不可能成立,gx0k.
gxaxbxcx不具有（ⅰ）的性质.-------12分
∴“伪二次函数”
8.（变形构造，第2问用到均值不等式）
已知定义在正实数集上的函数f（x）＝x
2＋4ax＋1，g（x）＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.
⑴设两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
⑵设h（x）＝f（x）＋g（x）－8x，证明：
若a≥－1，则h（x）在（0,＋∞）上单调递增；
⑶设F（x）＝f（x）＋g（x），求证：
对任意x1,x2∈（0,＋∞），x1＜x2有＞8.
⑴设f（x）与g（x）交于点P（x0，y0），则有
f（x0）＝g（x0），即x＋4ax0＋1＝6a
2lnx0＋2b＋1.①
又由题意知f′（x0）＝g′（x0），即2x0＋4a＝.②
由②解得x0＝a或x0＝－3a（舍去）．
将x0＝a代入①整理得b＝a
2－3a2lna.
令s（a）＝a
2－3a2lna，则s′（a）＝2a（1－3lna），
a∈（0,）时，s（a）递增，a∈（,＋∞）时，s（a）递减，所以s（a）≤s（）＝
3
e，
即b≤
e，b的最大值为
e.
⑵h（x）＝f（x）＋g（x）－8x，h′（x）＝2x＋＋4a－8，
因为a≥－1，所以h′（x）＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4（＋1）（－1）－8≥0，即h（x）在（0,＋∞）
内单调递增．
⑶由⑵知x1＜x2时，h（x1）＜h（x2），即F（x1）－8x1＜F（x2）－8x2.
因为x1＜x2，所以＞8.
9.已知函数
（
x），a为正常数．
x1
⑴若f（x）lnx（x），且a
，求函数f（x）的单调增区间；
⑵在⑴中当a0时，函数yf（x）的图象上任意不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2，线段AB
的中点为C（0,y），记直线AB的斜率为k，试证明：
kf（x0）．
g（x）g（x）
⑶若g（x）lnx（x），且对任意的x1,x20,2，x1x2，都有1
，求a
的取值范围．
⑴
f（x）
（x1）
（2
a）x
2
（1）2
∵a
，令f（x）0得x2或
11
0x,∴函数f（x）的单调增区间为（0,）,（2,）.
22
⑵证明：
当a0时f（x）lnx
f
（x）,∴
f（x）,又
012
（x）
不妨设x2x1，要比较k与f（x0）的大小，即比较
与
的大小，
又∵
x2x，∴即比较
2（
x）
1）
的大小．
2（x1）14（x1）
令h（x）lnx（x1）,则h（x）0,
2xx2x1x（x1）
（1）
∴h（x）在1,上位增函数．
2h
又1，∴h（）
（1）0，∴
1
，即kf（x）
g（x）g（x）g（x）xg（x）x
212211
⑶∵1，∴0
由题意得F（x）g（x）x在区间0,2上是减函数．
1a
1，∴1
F（x）1当x2,F（x）lnxx
x（x1）
（x1）1
由F3在x1,2恒成立．
（x）0a（x1）x3x
xx
112
设m（x）x3，x1,2，则30
3xm（x）2x
∴m（x）在1,2上为增函数，∴
27
am
（2）.
0，∴F1
（x）2当x1,F（x）lnxx
x（x1）
F在x（0,1）恒成立
由（x）0a（x1）xx1
设t（x）x1，x（0,1）为增函数,∴at
（1）0
综上：
a的取值范围为
27
a.
10.已知函数
f（x）lnxax（a1）x（a0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数yF（x）的图象为曲线C．设点A（x1,y1）,B（x2,y2）是曲线C上的不同
两点．如果在曲线C上存在点
M（x,y），使得：
①
x；
②曲线C在点M处
02
的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：
函数f（x）是否
存在“中值相依切线”，请说明理由．
（Ⅰ）易知函数f（x）的定义域是（0,），
a（x1）（x）
f'
（x）axa1
．⋯⋯⋯⋯1分
①当
1时，即a1时,令f'
（x）0,解得0x
或x1;
令f'
（x）0,解得
所以，函数f（x）在
（0,）
a
．⋯⋯⋯⋯⋯2分
和（1,）上单调递增,在
（,1）
上单调递减
②当
分
1时，即a1时,显然，函数f（x）在（0,）上单调递增；
⋯⋯⋯⋯⋯3
③当
1时，即1a0时,令f'
（x）0,解得0x1或x
;
（x）0,解得1x
．⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以，函数f（x）在（0,1）和
综上所述，
上单调递增,在
（1,）
⑴当a1时,函数f（x）在
上单调递减；
⑵当a1时,函数f（x）在（0,）上单调递增；
⑶当1a0时,函数f（x）在（0,1）和（1,）
减．⋯⋯⋯⋯⋯5分
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