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1、式中，为小波；a为尺度因子；b为平移参数。图1.6是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”，图1.7给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。连续小波变换CWTa,b是参数a和b的函数。下面的五个步骤是获得CWTa,b的最简单方法。第一步，选择尺度a一定的小波，把它与原始信号的开始一段进行比较。第二步，计算CWTa,b，它表示这段信号与尺度a小波的相关程度。CWTa,b越大，二者越相似。这个结果依赖于所选择的小波的形状。（图1.8）第三步，

2、向右移动小波，然后重复第一步和第二步，直到处理完成全部的信号（图1.9）第四步，增大小波的尺度因子（拉升），重复第一步到第三步。第五步，对全部尺度因子重复第一步到第四步，得到的CWTa,b通常用灰度表示。图1.11是小波变换的灰度图例子。1.3 离散小波变换实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换（DWT）。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是S.Mallat于1988年发展的快速小波算法（又称塔式算法）。对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分（称为近似部分

3、）和离散部分（称为细节部分）。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已改变。依次进行到所需要的尺度。图1.12给出了一个信号经过第一次运算后获得的近似部分和细节部分。除了连续小波（CWT）、离散小波（DWT），还有小波包（Wavelet Packet）和多维小波。第二章 预备知识（傅里叶变换）第三章 连续小波变换3.1 引言小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域有很好的局部化性质。对信号中的低频成分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分，采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。小

4、波变换的这种自适应特性，使它在工程技术和信号处理方面获得广泛应用。3.2 连续小波变换定义设函数，满足下述条件（3.1）称为基本小波（Prototype），引入尺度因子（伸缩因子）a和平移因子b，a和b满足：将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族（3.2）称为分析小波，系数为归一化常数，它使得对所有尺度a和平移因子b，下式成立（3.3）通常取=1，（本式的意义就是能量守恒）函数的连续小波变换（CWT）的定义为（3.4）式中，为的共轭函数。若基本小波满足下述条件：（3.5）（小波变换中狄更斯条件？）则连续小波变换CWTa,b存在逆变换，公式为（3.6）（3.7）称式（3.5）为容许条件（Adm

5、issibility Condition），称满足容许条件的小波为容许小波。1关于容许条件（其中，应该为1阶导数）2关于尺度因子a根据傅里叶变换的尺度定理尺度因子a越小，的波形变窄，的频谱向高频端扩展；a越大，的波形越宽，的频谱向低频段扩展，从而实现了时间-频率窗的自适应调节。3小波变换逆变换式的证明傅里叶变换的巴什瓦公式为连续小波变换的公式为先根据傅里叶变换的时移和共轭性质求出3.3 连续小波变换的物理意义连续小波变换的实质是滤波器。滤波器在时间域和频率域中的表示式为式中，h（t）是系统的脉冲响应；H（）是滤波器的系统函数。与连续小波变换公式比较，小波变换的脉冲响应为（3.10）其系统函数为

6、这种滤波器称为相关滤波器或者镜像滤波器。由逆傅里叶变换公式可得小波变换的滤波器是恒Q滤波器。3.4 连续小波变换的时间-频率特性1 时频空间设函数，且，定义单窗函数在时频空间里的中心（t0，0）为（3.11）t0和0相当于物体的重心，在这里可理解为在时间域里信息的重心和频率域里信息的中心，定义单窗函数在时频空间中的时宽t和频宽为（3.12）时频空间中以为（t0，0）中心，以2t和2为边长的矩形称为时频窗口（或分辨率窗口）。为了讨论方便，一般去（t0，0）=（0，0），且=1。时频空间中双窗函数的相似定义如下：（3.13）t、-和+定义为（3.14）种双窗为标准双窗函数。在信号不确定原则一节曾证

7、明过，t和必须满足下述关系：即信号的时间分辨率与频率分辨率是相互制约的。补充：信号的不确定性原则2 的时频特性由基本小波条件可以推出因从可知基本小波是双窗函数。在以下讨论中，假定小波函数是实的标准双窗函数。对有中心t0=0；0+和0-。下面讨论分析小波的时频空间里的中心、时宽和频宽。 时域中心因为t0=0，所以 频域中心同样可得 时宽（3.18）4 频宽讨论：根据上述结果，在时频空间里以和为中心确定了两个时频窗口，分别为面积S的大小由基本小波的性质决定，与参数a,b无关。由于时频窗口边长的变化，使得小波变换既满足了信号的不确定性原则，又提高了小波的时间频率分辨率。当a值小时，时频窗的时宽边短，

8、而频宽边长，提高了对信号中高频成分的时间分辨率；当a值大时，时频窗的时宽边长，而频宽边短，提高了对信号中低频成分的频率分辨率。图3.1给出了的时频窗口随尺度因子变化情况。在前面的讨论中已经指出，小波变换的物理本质是滤波器。由上面讨论的频率中心和频宽可知，小波变换的滤波器的中心频率与带宽的比为常数，称为恒Q滤波器。图3.2给出了小波变换恒Q滤波器的示意图3.5 连续小波变换的性质 线性连续小波变换是线性变换，即一个函数的连续小波变换等于该函数的分量的变换和。用公式表示如下：则 时移性 时标定理 微分运算5 能量守恒6 冗余度连续小波变换是把以为信号变换到二维空间，因此小波变换中存在多余的信息，称

9、为冗余度（Redundancy）。因而小波变换的逆变换公式不是唯一的。从分析小波角度看，是一组超完备基函数，它们之间是线性相关的。度量冗余度的量称为再生核再生核就是小波本身的小波变换。再生核度量了小波变换二维空间里两点与之间的相关性大小。再生核K作用于小波变换仍得到。（3.24）将逆变换公式（3.6）代入式（3.4）即可证明式（3.24）第四章 离散小波变换连续小波变换中，中的参数a和b都是连续变换的值。实际应用中，信号是离散序列，a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT（Discrete Wavelet Transform）。离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。讨论这个问题涉及框

10、架（Frame）理论。因此本章先简单介绍函数空间概念和框架理论的一些有关结果，然后介绍离散小波变换、二进小波变换和二进正交小波变换。4.1 函数空间及框架概念一 函数空间1. 预希尔伯特（Hilbert）空间2. 巴纳赫（Banach）空间3. 希尔伯特（Hilbert）空间一个预希尔伯特（Hilbert）空间H，在其中定义内积为范数，即，H成为一个赋范空间，若该赋范空间是完备的，则称为希尔伯特空间。希尔伯特空间具有优良的性质，正交性是其中最重要的性质之一。正交投影：二 框架概念关键词：A、B称为框架边界；B为实数，保证是连续的，常数A0保证了变换是可逆的。若A=B，则称为紧致框架。框架算子，

11、对偶框架，重构定理4.2 离散小波变换信号的连续小波变换为对尺度因子a和平移参数b进行如下的离散采样：则小波变为离散小波变换定义为写成内积形式有（傅里叶变换其实就是f（t）在各个eiwt上内积和投影，从内积和投影的方式理解傅里叶变换）对于离散小波变换给出如下三点说明：（1）等Q结构离散化对于基本小波的等Q性质，对参数也做等Q结构离散化，即a增大时，a的间隔也增大，所以取。同样地，a增大时，a延迟时间也增大，故取b为的整数倍，即。参数离散化的小波为时间采样为，图4.2表示采样点随a增大的变化。（2）离散小波变换实际上仍是一系列带通滤波器，只是带通滤波器的中心频率和带宽由于a的离散采样而成为一系列

12、的离散值。但是仍然保持恒Q性质。滤波后的输出也因b的离散采样而成为离散值。（3）离散小波变换的重构根据前述框架理论结果，当为的框架时，可由离散小波变换恢复出原信号，其重构公式为（4.5）为的对偶框架，而4.3 二进小波变换在离散小波变换中，一种方便的离散方法是取，所得到的小波和小波变换称为二进小波和二进小波变换。如果再取，称其为二进正交小波和二进正交小波变换。一、二进小波变换设，若存在常数A和B，使得（4.6）则称为二进小波。条件（4.6）称为稳定条件。若A=B，则称为最稳定条件。二进小波是容许小波。现证明如下：对二进小波、的二进小波变换定义为（4.9）像证明式（3.23）一样，很容易证明的傅

13、里叶变换为（4.10）利用式（4.10）和式（4.6）有：（4.11）式（4.11）表明二进小波是框架。根据框架理论结果，二进小波变换可重构f（t）。由框架重构公式知道，需要给出重构小波，为此定义下述方程：（4.12）式中，为重构小波，但是它不是唯一的重构小波。例如取为很容易证明满足（4.12），因为二进小波重构的公式为证明：也是一个二进小波，且由于二进小波仅对尺度因子进行二进离散化，对时间域的平移参数b仍保持连续，所以二进小波变换仍然对时间b的连续取值。二、二进正交小波变换设，且满足（4.14）为二进正交小波。尺度因子和平移参数按二进制离散。，二进正交小波为（4.15）在后面的多分辨率分析中

14、将详细讨论二进正交小波。（1）在尺度因子和平移参数离散化过程中，有很多坐着采用，这种离散化的直观性是k取值大多对应着高频，k取值小对应着低频。但在实际资料处理时，是从最高频率（有奈奎斯特定律确定）向低频分解。所以采用更为方便。K=0时为信号的采样频率，k=1时将频率二等分，依此进行下去。所以采用。（2）至此可将小波变换分类为注： 小波变换分为连续小波变换，离散小波变换，小波包变换。第五章 多分辨率分析多分辨率分析概念是由S.Mallat和Y.Meyer于1986年提出的，它可将在此之前所有正交小波基的构造统一起来，使小波理论产生突破性进展。同时，在多分辨率理论分析基础上，S.Mallat给出了

15、快速二进小波变换算法，称为（Mallat）算法，这一算法在小波分析中的地位很重要，相当于快速傅里叶算法（FFT）在经典傅里叶分析中的地位。5.1 康托尔（Cantor）间断集为了介绍小波变换中的多分辨率分析（Multiresolution Analysis，MRA），采用康托尔集的直观方法，引入多分辨率分析的思想。一、康托尔间断集设，则是一个长度等于1的区间。现在将单位长度三等分，去掉中间长度为1/3的开区间（1/3，2/3），剩下的是左、右各1/3长度的闭区间，用表示，则，接着再把中两个长度各为1/3的区间三等分，去掉中间的1/3部分，其长度为1/32的开区间，剩下的是，则有它是由个长度等于

16、的闭区间所构成，如图5.1所示，由此继续分割下去，就得到一个无穷嵌套序列，其中是由个长度为的闭区间所组成，这些集的交集用D记之，则，这就是康托尔间断集。因为是由个长度等于的闭区间所组成，它的总长度等于。所以D若是有长度（测度）的话，其长度等于如下极限：与闭区间同时存在的是开区间，记为，。不难看出，康托尔间断集中任意两个不同的开区间的交集是空集，说明它们是相互正交的，即为了方便，称下标k为康托尔间断集的尺度。二、康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系由图5.1很易将康托尔间断集与希尔伯特空间H联系起来，不难建立二者之间的对应关系，为此用H空间的子空间表示康托尔间断集中的。每次去掉的部分用子空间记之

17、，而每次剩余的部分用子空间表示。显然，任意两个不同的开区间与的交集是，意味着他们彼此正交。同时与的交集不是，因此与并不正交，在尺度为1时，分解为与的直和，即，就是在中的正交补空间，改变尺度继续分割下去就有，可见，就是对空间结构的细节补充。同时就是在尺度i下对的基本特性的表征。图5.1 康托尔间断集与希尔伯特空间的关系三、康托尔间断集的性质由图5.1可以直观地看出，康托尔间断集有如下的性质：1. ：即分辨率高的空间包含了分辨率的空间的全部信息。2. ，即。3. 如果，则。4. 若，则，即康托尔间断集对于函数的平移是不变的。5.2 多分辨率分析多分辨率分析的实质是满足一定条件中的一系列子空间，其定义如下：在空间中的多分辨率分析是指满足下列条件的一空间序列:（1）单调性：，；（2）渐进完全性：（3）伸缩性：对任意，则；（4）平移不变性：，则，；（5）里兹（Riesz）基存在性：存在函数，使得构成的里兹基，即对任意的。在离散小波变换一章里介绍了离散小波、二进小波和二进正交小波，特别是二进正交小波构成了空间的一个正交基，但是没有介绍这种二进正交小波是如何构造出来的。而多分辨率分析是满足上述五个条件的空间的子空间序列。所以两者在理论上存在着对应关系。