小波变换学习心得Word文档格式.docx
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式中，为小波；
a为尺度因子；
b为平移参数。
图1.6是小波变换的示意图。
由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。
小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”，图1.7给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。
小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。
连续小波变换CWTa,b是参数a和b的函数。
下面的五个步骤是获得CWTa,b的最简单方法。
第一步，选择尺度a一定的小波，把它与原始信号的开始一段进行比较。
第二步，计算CWTa,b，它表示这段信号与尺度a小波的相关程度。
CWTa,b越大，二者越相似。
这个结果依赖于所选择的小波的形状。
（图1.8）
第三步，向右移动小波，然后重复第一步和第二步，直到处理完成全部的信号（图1.9）
第四步，增大小波的尺度因子（拉升），重复第一步到第三步。
第五步，对全部尺度因子重复第一步到第四步，得到的CWTa,b通常用灰度表示。
图1.11是小波变换的灰度图例子。
1.3离散小波变换
实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换（DWT）。
大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。
最有效的计算方法是S.Mallat于1988年发展的快速小波算法（又称塔式算法）。
对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分（称为近似部分）和离散部分（称为细节部分）。
近似部分代表了信号的主要特征。
第二步对低频部分再进行相似运算。
不过这时尺度因子已改变。
依次进行到所需要的尺度。
图1.12给出了一个信号经过第一次运算后获得的近似部分和细节部分。
除了连续小波（CWT）、离散小波（DWT），还有小波包（WaveletPacket）和多维小波。
第二章预备知识（傅里叶变换）
第三章连续小波变换
3.1引言
小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域有很好的局部化性质。
对信号中的低频成分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；
对信号中的高频成分，采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。
小波变换的这种自适应特性，使它在工程技术和信号处理方面获得广泛应用。
3.2连续小波变换定义
设函数，满足下述条件
（3.1）
称为基本小波（Prototype），引入尺度因子（伸缩因子）a和平移因子b，a和b满足：
将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族
（3.2）
称为分析小波，系数为归一化常数，它使得对所有尺度a和平移因子b，下式成立
（3.3）
通常取=1，（本式的意义就是能量守恒）
函数的连续小波变换（CWT）的定义为
（3.4）
式中，为的共轭函数。
若基本小波满足下述条件：
（3.5）
（小波变换中狄更斯条件？
）
则连续小波变换CWTa,b存在逆变换，公式为
（3.6）
（3.7）
称式（3.5）为容许条件（AdmissibilityCondition），称满足容许条件的小波为容许小波。
1>
关于容许条件
（其中，应该为1阶导数）
2>
关于尺度因子a
根据傅里叶变换的尺度定理
尺度因子a越小，的波形变窄，的频谱向高频端扩展；
a越大，的波形越宽，的频谱向低频段扩展，从而实现了时间-频率窗的自适应调节。
3>
小波变换逆变换式的证明
傅里叶变换的巴什瓦公式为
连续小波变换的公式为
先根据傅里叶变换的时移和共轭性质求出
3.3连续小波变换的物理意义
连续小波变换的实质是滤波器。
滤波器在时间域和频率域中的表示式为
式中，h（t）是系统的脉冲响应；
H（ω）是滤波器的系统函数。
与连续小波变换公式
比较，小波变换的脉冲响应为
（3.10）
其系统函数为
这种滤波器称为相关滤波器或者镜像滤波器。
由逆傅里叶变换公式可得
小波变换的滤波器是恒Q滤波器。
3.4连续小波变换的时间-频率特性
1时频空间
设函数，且，定义单窗函数在时频空间里的中心（t0，ω0）为
（3.11）
t0和ω0相当于物体的重心，在这里可理解为在时间域里信息的重心和频率域里信息的中心，定义单窗函数在时频空间中的时宽σt和频宽σω为
（3.12）
时频空间中以为（t0，ω0）中心，以2σt和2σω为边长的矩形称为时频窗口（或分辨率窗口）。
为了讨论方便，一般去（t0，ω0）=（0，0），且=1。
时频空间中双窗函数的相似定义如下：
（3.13）
σt、σω-和σω+定义为
（3.14）
种双窗为标准双窗函数。
在信号不确定原则一节曾证明过，σt和σω必须满足下述关系：
即信号的时间分辨率与频率分辨率是相互制约的。
补充：
信号的不确定性原则
2的时频特性
由基本小波条件可以推出
因从可知基本小波是双窗函数。
在以下讨论中，假定小波函数是实的标准双窗函数。
对有中心t0=0；
ω0+和ω0-。
下面讨论分析小波的时频空间里的中心、时宽和频宽。
时域中心
因为t0=0，所以
频域中心
同样可得
时宽
（3.18）
4>
频宽
讨论：
根据上述结果，在时频空间里以和为中心确定了两个时频窗口，分别为
面积S的大小由基本小波的性质决定，与参数a,b无关。
由于时频窗口边长的变化，使得小波变换既满足了信号的不确定性原则，又提高了小波的时间频率分辨率。
当a值小时，时频窗的时宽边短，而频宽边长，提高了对信号中高频成分的时间分辨率；
当a值大时，时频窗的时宽边长，而频宽边短，提高了对信号中低频成分的频率分辨率。
图3.1给出了的时频窗口随尺度因子变化情况。
在前面的讨论中已经指出，小波变换的物理本质是滤波器。
由上面讨论的频率中心和频宽可知，小波变换的滤波器的中心频率与带宽的比为常数，称为恒Q滤波器。
图3.2给出了小波变换恒Q滤波器的示意图
3.5连续小波变换的性质
线性
连续小波变换是线性变换，即一个函数的连续小波变换等于该函数的分量的变换和。
用公式表示如下：
则
时移性
时标定理
微分运算
5>
能量守恒
6>
冗余度
连续小波变换是把以为信号变换到二维空间，因此小波变换中存在多余的信息，称为冗余度（Redundancy）。
因而小波变换的逆变换公式不是唯一的。
从分析小波角度看，是一组超完备基函数，它们之间是线性相关的。
度量冗余度的量称为再生核
再生核就是小波本身的小波变换。
再生核度量了小波变换二维空间里两点与之间的相关性大小。
再生核K作用于小波变换仍得到。
（3.24）
将逆变换公式（3.6）代入式（3.4）即可证明式（3.24）
第四章离散小波变换
连续小波变换中，中的参数a和b都是连续变换的值。
实际应用中，信号是离散序列，a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT（DiscreteWaveletTransform）。
离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。
讨论这个问题涉及框架（Frame）理论。
因此本章先简单介绍函数空间概念和框架理论的一些有关结果，然后介绍离散小波变换、二进小波变换和二进正交小波变换。
4.1函数空间及框架概念
一函数空间
1.预希尔伯特（Hilbert）空间
2.巴纳赫（Banach）空间
3.希尔伯特（Hilbert）空间
一个预希尔伯特（Hilbert）空间H，在其中定义内积为范数，即，H成为一个赋范空间，若该赋范空间是完备的，则称为希尔伯特空间。
希尔伯特空间具有优良的性质，正交性是其中最重要的性质之一。
正交投影：
二框架概念
关键词：
A、B称为框架边界；
B为实数，保证是连续的，常数A>
0保证了变换是可逆的。
若A=B，则称为紧致框架。
框架算子，对偶框架，重构定理
4.2离散小波变换
信号的连续小波变换为
对尺度因子a和平移参数b进行如下的离散采样：
则小波变为
离散小波变换定义为
写成内积形式有
（傅里叶变换其实就是f（t）在各个eiwt上内积和投影，从内积和投影的方式理解傅里叶变换）
对于离散小波变换给出如下三点说明：
（1）等Q结构离散化
对于基本小波的等Q性质，对参数也做等Q结构离散化，即a增大时，a的间隔也增大，所以取。
同样地，a增大时，a延迟时间也增大，故取b为的整数倍，即。
参数离散化的小波为
时间采样为，图4.2表示采样点随a增大的变化。
（2）离散小波变换实际上仍是一系列带通滤波器，只是带通滤波器的中心频率和带宽由于a的离散采样而成为一系列的离散值。
但是仍然保持恒Q性质。
滤波后的输出也因b的离散采样而成为离散值。
（3）离散小波变换的重构
根据前述框架理论结果，当为的框架时，可由离散小波变换恢复出原信号，其重构公式为
（4.5）
为的对偶框架，而
4.3二进小波变换
在离散小波变换中，一种方便的离散方法是取，所得到的小波和小波变换称为二进小波和二进小波变换。
如果再取，称其为二进正交小波和二进正交小波变换。
一、二进小波变换
设，若存在常数A和B，，使得
（4.6）
则称为二进小波。
条件（4.6）称为稳定条件。
若A=B，则称为最稳定条件。
二进小波是容许小波。
现证明如下：
对二进小波、的二进小波变换定义为
（4.9）
像证明式（3.23）一样，很容易证明的傅里叶变换为
（4.10）
利用式（4.10）和式（4.6）有：
（4.11）
式（4.11）表明二进小波是框架。
根据框架理论结果，二进小波变换可重构f（t）。
由框架重构公式知道，需要给出重构小波，为此定义下述方程：
（4.12）
式中，为重构小波，但是它不是唯一的重构小波。
例如取为
很容易证明满足（4.12），因为
二进小波重构的公式为
证明：
也是一个二进小波，且
由于二进小波仅对尺度因子进行二进离散化，对时间域的平移参数b仍保持连续，所以二进小波变换仍然对时间b的连续取值。
二、二进正交小波变换
设，且满足
（4.14）
为二进正交小波。
尺度因子和平移参数按二进制离散。
，，二进正交小波为
（4.15）
在后面的多分辨率分析中将详细讨论二进正交小波。
（1）在尺度因子和平移参数离散化过程中，有很多坐着采用，这种离散化的直观性是k取值大多对应着高频，k取值小对应着低频。
但在实际资料处理时，是从最高频率（有奈奎斯特定律确定）向低频分解。
所以采用更为方便。
K=0时为信号的采样频率，k=1时将频率二等分，依此进行下去。
所以采用。
（2）至此可将小波变换分类为
注：
小波变换分为连续小波变换，离散小波变换，小波包变换。
第五章多分辨率分析
多分辨率分析概念是由S.Mallat和Y.Meyer于1986年提出的，它可将在此之前所有正交小波基的构造统一起来，使小波理论产生突破性进展。
同时，在多分辨率理论分析基础上，S.Mallat给出了快速二进小波变换算法，称为（Mallat）算法，这一算法在小波分析中的地位很重要，相当于快速傅里叶算法（FFT）在经典傅里叶分析中的地位。
5.1康托尔（Cantor）间断集
为了介绍小波变换中的多分辨率分析（MultiresolutionAnalysis，MRA），采用康托尔集的直观方法，引入多分辨率分析的思想。
一、康托尔间断集
设，则是一个长度等于1的区间。
现在将单位长度三等分，去掉中间长度为1/3的开区间（1/3，2/3），剩下的是左、右各1/3长度的闭区间，用表示，则，接着再把中两个长度各为1/3的区间三等分，去掉中间的1/3部分，其长度为1/32的开区间，剩下的是，则有
它是由个长度等于的闭区间所构成，如图5.1所示，由此继续分割下去，就得到一个无穷嵌套序列，其中是由个长度为的闭区间所组成，这些集的交集用D记之，则，这就是康托尔间断集。
因为是由个长度等于的闭区间所组成，它的总长度等于。
所以D若是有长度（测度）的话，其长度等于如下极限：
与闭区间同时存在的是开区间，记为，，。
不难看出，康托尔间断集中任意两个不同的开区间的交集是空集，说明它们是相互正交的，即
为了方便，称下标k为康托尔间断集的尺度。
二、康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系
由图5.1很易将康托尔间断集与希尔伯特空间H联系起来，不难建立二者之间的对应关系，为此用H空间的子空间表示康托尔间断集中的。
每次去掉的部分用子空间记之，而每次剩余的部分用子空间表示。
显然，任意两个不同的开区间与的交集是，意味着他们彼此正交。
同时与的交集不是，因此与并不正交，在尺度为1时，分解为与的直和，即，就是在中的正交补空间，改变尺度继续分割下去就有，可见，就是对空间结构的细节补充。
同时就是在尺度i下对的基本特性的表征。
图5.1康托尔间断集与希尔伯特空间的关系
三、康托尔间断集的性质
由图5.1可以直观地看出，康托尔间断集有如下的性质：
1.：
即分辨率高的空间包含了分辨率的空间的全部信息。
2.，，即。
3.如果，则。
4.若，则，即康托尔间断集对于函数的平移是不变的。
5.2多分辨率分析
多分辨率分析的实质是满足一定条件中的一系列子空间，其定义如下：
在空间中的多分辨率分析是指满足下列条件的一空间序列:
（1）单调性：
，；
（2）渐进完全性：
（3）伸缩性：
对任意，，则；
（4）平移不变性：
，则，；
（5）里兹（Riesz）基存在性：
存在函数，使得构成的里兹基，即对任意的。
在离散小波变换一章里介绍了离散小波、二进小波和二进正交小波，特别是二进正交小波构成了空间的一个正交基，但是没有介绍这种二进正交小波是如何构造出来的。
而多分辨率分析是满足上述五个条件的空间的子空间序列。
所以两者在理论上存在着对应关系。
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