2 高精度运算Word文件下载.docx

1、end. 加法运算高精度加法运算 首先，确定a和b中的最大位数x，然后依照由低位至高位的顺序进行加法运算。在每一次运算中，a当前位加b当前位的和除以10，其整商即为进位，其余数即为和的当前位。在进行了x位的加法后，若最高位有进位（ax+10），则a的长度为x+1。以下只列出关键程序： numtype=array1.255 of word; a,b,s: la,lb,ls:word;procedure plus（var a:var la:b:lb:word）; 利用过程实现 var i,x: begin if la=lb then x:=la else x:=lb;=1 to x do ai:=

2、ai+bi; ai+1:=ai+1+ai div 10;=ai mod 10; end;while ax+1b） 依照由低位至高位的顺序进行减法运算。在每一次位运算中，若出现不够减的情况，则向高位借位。在进行了la位的减法后，若最高位为零，则a的长度减1。 numtype=array1.255 of longint; a,b: la,lb:procedure minus（var a: i: if ai1） do dec（la）;高精度乘法运算 按照乘法规则，从a的第1位开始逐位与c（c为字节型）相乘。在第i位乘法运算中，a的i位与c的乘积必须加上i-1位的进位，然后规整积的i-1位。 numt

3、ype=array1.1000 of word;procedure multiply（var a:c: a1:=a1*c;=2 to la do=ai*c;=ai+ai-1 div 10; ai-1:=ai-1 mod 10; while ala=10 do inc（la）; ala:=ala-1 div 10; ala-1:=ala-1 mod 10;扩大进制数改善高精度运算效率 用整数数组每一个元素表示一个十进制整数的方法存在的缺点是：如果十进制的位数很多，则对应的数组的长度会很长，并增加了高精度计算的时间。 如果用一个元素记录2位数字、3位数字或更多位数字，则数组的长度可以明显缩小，但是

4、还要考虑数的取值范围问题，必须保证程序运行过程中不越界。在权衡了两方面的情况后得出：用一个longint记录4位数字是最佳的方案。那么这个数组就相当于一个10000进制的数，其中每一个元素都是10000进制下的一位数。一、数据类型定义： numtype=array1.10000 of longint; 可以存储40000位十进制数 a,n: la,ln:ansistring; 任意长度的字符串类型 二、整数数组的建立和输出 readln（s）;k:for i:=1 to k doj:=（k-i+4） div 4;nj:=nj*10+ord（si）-48;end;ln:=（k+3） div 4;

5、 当得出最后结果n后，必须按照次高位到最低位的顺序，将每一位元素由10000进制数转换成十进制数，即必须保证每个元素对应4位十进制数。例如ni=0015（0=i=ln-2），对应的十进制数不能为15，否则会导致错误结果。可以按照如下方法输出n对应的十进制数：write（nln）;=ln-1 downto 1 do write（ni div 1000,（ni div 100） mod 10,（ni div 10） mod 10,ni mod 10）;三、基本运算 两个10000进制整数的加法和减法与前面的十进制运算方法类似，只是进制变成了10000进制。 1、整数数组减1（n:=n-1,n为整数

6、数组） 从n1出发寻找第一个非零的元素，由于接受了低位的借位，因此减1，其后缀全为9999。如果最高位为0，则n的长度减1。 j:=1; while （nj=0） do inc（j）; 寻找第一个非零的元素 dec（nj）; 该位接受低位的借位，因此减1=1 to j-1 do ni:=9999; 其后缀全为9999 if （j=ln） and （nj=0） 如果最高位为0，则n的长度减1 then dec（ln）; 2、整数数组除以整数（a:=a div i,a为整数数组，i为整数） 按照从高位到低位的顺序，逐位相除，把余数乘进制后加到下一位继续相除。如果最高位为0，则a的长度减1。 l:=

7、0; for j:=la downto 1 do inc（aj,l*10000）;=aj mod i; aj:=aj div i; while ala=0 do dec（la）; 3、两个整数数组相乘（a:=a*n，a和n为整数数组） 按照从高位到低位的顺序，将数组a的每一个元素与n相乘。procedure multiply（a,b:la,lb:longint;var s:var ls:longint）; i,j:=1 to lb do si+j-1:=si+j-1+ai*bj;=1 to la+lb-1 do si+1:=si+1+si div 10000; si:=si mod 10000

8、; if sla+lb=0 then ls:=la+lb-1 else ls:=la+lb;习题与练习 一、用高精度计算出s=1!+2!+3!+.+100!。 参考答案 二、输入任意两个整数a,b（a,b均在长整型范围内）,计算a/b的结果,保留100位有效数字，最后一位要求四舍五入。三、两个高精度数相乘。四、2k进制数（digital.pas）（NIOP2006第四题）【问题描述】设r是个2k 进制数，并满足以下条件： （1）r至少是个2位的2k 进制数。 （2）作为2k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。 （3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。 在这

9、里，正整数k（1k9）和w（kW30000）是事先给定的。 问：满足上述条件的不同的r共有多少个？ 我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k 进制数r。 例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有： 2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16

10、，17），高位为2：5个，高位为6：1个（即67）。共6+5+1=21个。 3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，第2位为6：1个（即167）。共5+4+1=15个。 所以，满足要求的r共有36个。【输入文件】 输入文件digital.in只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：k W 【输出文件】 输出文件digital.out为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。（提示：作为结果的正整数可能很大

11、，但不会超过200位） 【输入样例】3 7【输出样例】36 【题目分析】 考虑一个首位为r、位数为n且除最后一位每一位严格小于右边的2k进制数，它的种数等于从2k-（r+1）个自然数中选出n-1个升序排列。 而题目所求答案等于首位为1.2w mod k-1、位数为w/k+1且符合要求的2k进制数种数，加上首位任意、位数不超过w/k不低于2的且符合要求的2k进制数种数。（当w mod k=0时直接考虑后者即可） 因为k,W是指定的,则可以确定2k进制数r的最长位数是w div k +1，设d=w div k，则d位2k进制数组成的2位以上d位以下的升序排列数应该是:这里还要比较d与的2k-1大小，必须保证d=2k-1。 最后考虑首位的情况，显然首位的最大二进制位数是w mod k，则最大值m=2w mod k - 1，则首位不大于m，总位数是d+1位的升序排列数应是：这里也要比较d与的2k-1大小，必须保证d=2k-1-m。 两者相加即所求，因为最终的运算结果可能会很大，所以必须使用高精度运算。【参考程序】【NIOP满分程序】