2 高精度运算Word文件下载.docx
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end.
加法运算
高精度加法运算
首先，确定a和b中的最大位数x，然后依照由低位至高位的顺序进行加法运算。
在每一次运算中，a当前位加b当前位的和除以10，其整商即为进位，其余数即为和的当前位。
在进行了x位的加法后，若最高位有进位（a[x+1]<
>
0），则a的长度为x+1。
以下只列出关键程序：
numtype=array[1..255]ofword;
a,b,s:
la,lb,ls:
word;
procedureplus（vara:
varla:
b:
lb:
word）;
{利用过程实现}
var
i,x:
begin
ifla>
=lb
thenx:
=la
elsex:
=lb;
=1toxdo
a[i]:
=a[i]+b[i];
a[i+1]:
=a[i+1]+a[i]div10;
=a[i]mod10;
end;
whilea[x+1]<
0do
x:
=x+1;
=x;
{最高位若有进位，则长度增加}
减法运算
高精度减法运算（a>
b）
依照由低位至高位的顺序进行减法运算。
在每一次位运算中，若出现不够减的情况，则向高位借位。
在进行了la位的减法后，若最高位为零，则a的长度减1。
numtype=array[1..255]oflongint;
a,b:
la,lb:
procedureminus（vara:
i:
ifa[i]<
b[i]
thenbegin
dec（a[i+1]）;
=a[i]+10;
=a[i]-b[i];
while（a[la]=0）and（la>
1）do
dec（la）;
高精度乘法运算
按照乘法规则，从a的第1位开始逐位与c（c为字节型）相乘。
在第i位乘法运算中，a的i位与c的乘积必须加上i-1位的进位，然后规整积的i-1位。
numtype=array[1..1000]ofword;
proceduremultiply（vara:
c:
a[1]:
=a[1]*c;
=2tolado
=a[i]*c;
=a[i]+a[i-1]div10;
a[i-1]:
=a[i-1]mod10;
whilea[la]>
=10do
inc（la）;
a[la]:
=a[la-1]div10;
a[la-1]:
=a[la-1]mod10;
扩大进制数改善高精度运算效率
用整数数组每一个元素表示一个十进制整数的方法存在的缺点是：
如果十进制的位数很多，则对应的数组的长度会很长，并增加了高精度计算的时间。
如果用一个元素记录2位数字、3位数字或更多位数字，则数组的长度可以明显缩小，但是还要考虑数的取值范围问题，必须保证程序运行过程中不越界。
在权衡了两方面的情况后得出：
用一个longint记录4位数字是最佳的方案。
那么这个数组就相当于一个10000进制的数，其中每一个元素都是10000进制下的一位数。
一、数据类型定义：
numtype=array[1..10000]oflongint;
{可以存储40000位十进制数}
a,n:
la,ln:
ansistring;
{任意长度的字符串类型}
二、整数数组的建立和输出
readln（s）;
k:
fori:
=1tokdo
j:
=（k-i+4）div4;
n[j]:
=n[j]*10+ord（s[i]）-48;
end;
ln:
=（k+3）div4;
当得出最后结果n后，必须按照次高位到最低位的顺序，将每一位元素由10000进制数转换成十进制数，即必须保证每个元素对应4位十进制数。
例如n[i]=0015（0<
=i<
=ln-2），对应的十进制数不能为15，否则会导致错误结果。
可以按照如下方法输出n对应的十进制数：
write（n[ln]）;
=ln-1downto1do
write（n[i]div1000,（n[i]div100）mod10,（n[i]div10）mod10,n[i]mod10）;
三、基本运算
两个10000进制整数的加法和减法与前面的十进制运算方法类似，只是进制变成了10000进制。
1、整数数组减1（n:
=n-1,n为整数数组）
从n[1]出发寻找第一个非零的元素，由于接受了低位的借位，因此减1，其后缀全为9999。
如果最高位为0，则n的长度减1。
j:
=1;
while（n[j]=0）doinc（j）;
{寻找第一个非零的元素}
dec（n[j]）;
{该位接受低位的借位，因此减1}
=1toj-1do
n[i]:
=9999;
{其后缀全为9999}
if（j=ln）and（n[j]=0）
{如果最高位为0，则n的长度减1}
thendec（ln）;
2、整数数组除以整数（a:
=adivi,a为整数数组，i为整数）
按照从高位到低位的顺序，逐位相除，把余数乘进制后加到下一位继续相除。
如果最高位为0，则a的长度减1。
l:
=0;
forj:
=ladownto1do
inc（a[j],l*10000）;
=a[j]modi;
a[j]:
=a[j]divi;
whilea[la]=0dodec（la）;
3、两个整数数组相乘（a:
=a*n，a和n为整数数组）
按照从高位到低位的顺序，将数组a的每一个元素与n相乘。
proceduremultiply（a,b:
la,lb:
longint;
vars:
varls:
longint）;
i,j:
=1tolbdo
s[i+j-1]:
=s[i+j-1]+a[i]*b[j];
=1tola+lb-1do
s[i+1]:
=s[i+1]+s[i]div10000;
s[i]:
=s[i]mod10000;
ifs[la+lb]=0
thenls:
=la+lb-1
elsels:
=la+lb;
习题与练习
一、用高精度计算出s=1!
+2!
+3!
+...+100!
。
参考答案
二、输入任意两个整数a,b（a,b均在长整型范围内）,计算a/b的结果,保留100位有效数字，最后一位要求四舍五入。
三、两个高精度数相乘。
四、2k进制数（digital.pas）（NIOP2006第四题）
【问题描述】设r是个2k进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2k进制数。
（2）作为2k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。
在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<
W≤30000）是事先给定的。
问：
满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：
设S是长度为w的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。
将S从右起划分为若干个长度为k的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k进制数r。
例：
设k=3，w=7。
则r是个八进制数（23=8）。
由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：
高位为1：
6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：
5个，…，高位为6：
1个（即67）。
共6+5+…+1=21个。
3位数：
高位只能是1，第2位为2：
5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：
4个，…，第2位为6：
1个（即167）。
共5+4+…+1=15个。
所以，满足要求的r共有36个。
【输入文件】
输入文件digital.in只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
kW
【输出文件】
输出文件digital.out为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
（提示：
作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）
【输入样例】
37
【输出样例】
36
【题目分析】
考虑一个首位为r、位数为n且除最后一位每一位严格小于右边的2k进制数，它的种数等于从2k-（r+1）个自然数中选出n-1个升序排列。
而题目所求答案等于首位为1..2wmodk-1、位数为w/k+1且符合要求的2k进制数种数，加上首位任意、位数不超过w/k不低于2的且符合要求的2k进制数种数。
（当wmodk=0时直接考虑后者即可）
因为k,W是指定的,则可以确定2k进制数r的最长位数是wdivk+1，设d=wdivk，则d位2k进制数组成的2位以上d位以下的升序排列数应该是:
这里还要比较d与的2k-1大小，必须保证d<
=2k-1。
最后考虑首位的情况，显然首位的最大二进制位数是wmodk，则最大值m=2wmodk
-1，则首位不大于m，总位数是d+1位的升序排列数应是：
这里也要比较d与的2k-1大小，必须保证d<
=2k-1-m。
两者相加即所求，因为最终的运算结果可能会很大，所以必须使用高精度运算。
【参考程序】
【NIOP满分程序】
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