1、1多解问题多解问题1如图,在RtABC中, C=90,AC3,BC4点D,E为AC,BC上的两个动点,若将 C沿DE折叠,点C的对应点C恰好落在AB上、若ADC为直角三角形,则CD的长为_. 第1题图或【解析】如解图,当ADC=90时,ADC=C,DCCB,ADCACB,又AC=3,BC=4,=,设CD=CD=x,则AD=3-x,=,解得x=,CD=;AC=3,BC=4,AB=5,如解图,当DCA=90时,由折叠可得,C=DCE=90,C B与CE重合,由C=ACD=90,A=A,可得ADCABC,=,设CD=CD=x,则AD=3-x,=,解得x=,CD=。综上所述,CD的长为或. 第1题解图
2、 第1题解图2.如图,在矩形ABCD中,AB=16,BC=40,点M为边BC的中点,沿过M的直线折叠,若点B恰好落在边AD上,则折痕长度为_. 第2题图10或8【解析】如解图所示,过点M作MEAD于点E,则四边形ABME为矩形,EMAB=16. AE=BM=BM=20.在RtEMB中,BE=12,AB=AEBE20128设AGx,则GBGB16x,在RtAGB中,根据勾股定理得GB2AG2AB2,即(16x)2x282,解得x6,GB16610在RtGBM中,GM=10.如解图所示,过点M作MEAD于点E,则四边形ABME为矩形,EMAB=AB=16.AE=BM=20.在RtEMB中,BE=1
3、2,AB=AE+BE=20+1232,设AGAGy,则GBABAG32y,在RtABG中,根据勾股定理得AG2AB2GB2,即y2162(32y)2,解得y=12,AG=12,GE=AEAG=20128,在RtGEM中,GM=8.综上所述,折痕的长度为10或8. 图 图第2题解图3. 已知O的直径AB20,弦CDAB于点E,且CD16,则AE的长为_.16或4【解析】如解图,当点E在线段OB上时,由题意可知OCAB=10 ,CE=CD=8. OE=6,AE16;如解图,当点E在线段AO上时,同理OE6,AEOAOE4,AE的长为16或4第3题解图4.已知BD,CE是ABC的两条高,直线BD,C
4、E相交于点F.若ABC中,BAC55,则DFE的度数是_125或55【解析】如解图,当ABC是锐角三角形时,BD,CE是ABC的两条高,FDA=FEA=90BAC55,DFE=360- 90- 90- 55=125如图,当ABC是钝角三角形时,BD,CE是ABC的两条高,CEB=CDF=BDC=90EC的延长线与BD的延长线交于点F,ACEDCF,BAC55,DFE=BAC55 第4题解图5.如图,在ABC中,ABAC4,点O是AB的中点,点P是线段CO延长线上一点,AOC120,当PAB为直角三角形时,AP的长为 第5题图2或【解析】当APB90时,如解图,点O是AB的中点,AOBO,POA
5、O,AOC120,AOP60,AOP为等边三角形,OAP60,PBA30,APAB2;当BAP90时,如解图,AOC120,AOP60,OAAB2,OPOA4,,综上所述,当PAB为直角三角形时,AP的长为2或 6.如图,在ABC,AB=2,点E是BC上一点,过点E作AC的垂线,交AC于点O,O为AC中点,OA=OE=3,BE=,连接AE,点P是线段AC上一点,连接EP当OEP与ABE相似时,则AP的长为 第6题图2或4【解析】OA=OE=3,OEOA,,AEB=90,当点P在O点右侧时,当AEBEOP时,OP=1,AP=OA-OP=3-1=2;当点P在O点左侧时,同理可得,AP=OA+OP=
6、3+1=4,当AEBPOE时,,OP=9,O为AC中点,AC=6,又OP=9AC,不符合题意,综上所述,AP的长为2或4.7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P是对角线AC上一点,若点P,A,B组成一个以AB为腰的等腰三角形时,则PAB的面积是 第7题图或【解析】如解图,过点B作BEAC于点E,由勾股定理得AC=5,BE=,分种情况,(1)如解图,当PA=AB=3时,PAB的面积=;(2)如解图,当PB=AB时,由勾股定理得AE=,AP=2AE=,PAB的面积=.综上,PAB的面积为或. 第7题解图8.如图,在矩形ABCD中,AB5,BC7,点E为BC上一点,把ABE沿AE折叠,当
7、点B的对应点B落在ADC的平分线上时,则点B到BC的距离为_ 第8题图2或1【解析】如解图,连接BD,过点B作BMAD于点M,反向延长BM交BC于点N,DB平分ADC,ADBBDCADC45,BDM是等腰直角三角形,设DMBMx,则AM7x,由折叠的性质知ABAB5,在RtAMB中,由勾股定理得AM2AB2BM2,即(7x)225x2,解得x3或x4,BN5BM,BN2或BN1,即点B到BC的距离为2或1. 第8题解图9.如图,正方形OABC中,AB=2,点D为BC的中点,E为OC边上一点,连接ED并延长交AB的延长线于点F,当AEF是以AE为腰的等腰三角形时,则OE的长为 . 第9题图【解析
8、】ABCO,FCED,FDBEDC,点D是BC的中点, BDCD,FDBEDC,CEFB2OE,BDCD1,AF22OE4OE,当AEF是以AE为腰的等腰三角形时,分下列两种情况: 当EAEF时,如解图,作EGAF于点G,FGGA,四边形AGEO为矩形,AGOE,解得;当AEAF时,在AEO中,AFAE4OE,AO2,由勾股定理得,解得,综上所述,OE的长为 第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(1,4),E(0,3),连接AB、AE、BE,并延长BE交x轴于点C,点P是线段AC上一点,连接EP.当OEP与ABE相似时,则AP的长为_.第10题图2或4【解析】A(3,0),B(1,4),E(0,3),AB2(31)2(04)220,AE2(30)2(03)218,BE2(10)2(43)22,AE2BE218220AB2,AEB90.当AEBEOP时,即,OP1,P(1,0)或P(1,0),AP4或2;当AEBPOE时,即,OP9,P(9,0)或P(9,0),易得直线BE的解析式为yx3,当y0时,x3,C(3,0),又A(3,0),P是线段AC上一点,此情况不合题意,综上所述,AP的长为2或4.
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