1多解问题.docx

1多解问题.docx

《1多解问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1多解问题.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1多解问题

多解问题

1．如图，在Rt△ABC中，C=90°，AC＝3，BC＝4．点D，E为AC，BC上的两个动点，若将C沿DE折叠，点C的对应点C'恰好落在AB上、若△ADC'为直角三角形，则CD的长为______.

第1题图

或【解析】如解图①，当∠ADC’=90°时，∠ADC'=∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'’∽△ACB，又∵AC=3，BC=4，∴=,设CD=C'’D=x,则AD=3-x，∴=，解得x=，∴CD=；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，如解图②，当∠DC'’A=90°时，由折叠可得，∠C=∠DC’'E=90°，∴C'’B与CE重合，由∠C=∠AC'’D=90°，∠A=∠A，可得△ADC'∽△ABC，∴==，设CD=C’'D=x，则AD=3-x，∴=，解得x=，∴CD=。

综上所述，CD的长为或.

第1题解图①

第1题解图②

2.如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=40，点M为边BC的中点，沿过M的直线折叠，若点B恰好落在边AD上，则折痕长度为______.

第2题图

10或8【解析】如解图①所示，过点M作ME⊥AD于点E，则四边形ABME为矩形，∴EM＝AB=16.AE=BM=B'M=20.在Rt△EMB'中，B'E＝==12,∴AB'=AE－B'E＝20－12＝8．设AG＝x，则

GB＇＝GB＝16－x，在Rt△AGB＇中，根据勾股定理得GB'2＝AG2＋AB'2，即（16－x）2＝x2＋82，解得x＝6，∴GB＝16－6＝10．在Rt△GBM中，GM＝==10.如解图②所示，过点M作ME⊥AD于点E，则四边形ABME为矩形，∴EM＝AB'=AB=16.AE=BM=20.在Rt△EMB'中，B'E＝==12,∴AB'=AE+B'E=20+12＝32，设AG＝A'G＝y，则GB'＝AB'－AG＝32－y，在Rt△A'B'G中，根据勾股定理得A'G2＋A'B'2＝GB'2，即y2＋162＝（32－y）2，解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE－AG=20－12＝8，在Rt△GEM中，GM===8.综上所述，折痕的长度为10或8.

图①图②

第2题解图

3.已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为_______.

16或4【解析】如解图①，当点E在线段OB上时，由题意可知OC＝AB=10，CE=CD=8.∴OE=6，∴AE＝16；如解图②，当点E在线段AO上时，同理OE＝6，∴AE＝OA－OE＝4，∴AE的长为16或4．

第3题解图

4.已知BD，CE是△ABC的两条高，直线BD，CE相交于点F.若△ABC中，∠BAC＝55°，则∠DFE的度数是________．

125°或55°．【解析】如解图①，当△ABC是锐角三角形时，∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠FDA=∠FEA=90°．∵∠BAC＝55°，∴∠DFE=360°-90°-90°-55°=125°．如图②，当△ABC是钝角三角形时，∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠CEB=∠CDF=∠BDC=90°．∵EC的延长线与BD的延长线交于点F，∵∠ACE＝∠DCF，∠BAC＝55°，∴∠DFE=∠BAC＝55°．

第4题解图

5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，点O是AB的中点，点P是线段CO延长线上一点，∠AOC＝120°，当△PAB为直角三角形时，AP的长为．

第5题图

2或【解析】当∠APB＝90°时，如解图①，∵点O是AB的中点，∴AO＝BO，∴PO＝AO，∵∠AOC＝120°，∴∠AOP＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP＝60°，∴∠PBA＝30°，∴AP＝AB＝2；当∠BAP＝90°时，如解图②，∵∠AOC＝120°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝AB＝2，∴OP＝２OA＝4，,综上所述，当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或．

6.如图,在△ABC，AB=2，点E是BC上一点，过点E作AC的垂线，交AC于点O，O为AC中点，OA=OE=3，BE=,连接AE,点P是线段AC上一点，连接EP．当△OEP与△ABE相似时，则AP的长为．

第6题图

2或4【解析】∵OA=OE=3，OE⊥OA，∴，,∴,∴∠AEB=90°，当点P在O点右侧时，当△AEB∽△EOP时，∴OP=1，∴AP=OA-OP=3-1=2；当点P在O点左侧时，同理可得，AP=OA+OP=3+1=4,当△AEB∽△POE时，,OP=9，∵O为AC中点，∴AC=6，又∵OP=9＞AC，∴不符合题意，综上所述，AP的长为2或4.

7.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P是对角线AC上一点，若点P,A,B组成一个以AB为腰的等腰三角形时，则△PAB的面积是

第7题图

或【解析】如解图，过点B作BE⊥AC于点E,由勾股定理得AC=5,∵,∴BE=,分种情况，

（1）如解图①，当PA=AB=3时，∴△PAB的面积=；

（2）如解图②，当PB=AB时，由勾股定理得AE=,∴AP=2AE=,∴△PAB的面积=.综上，△PAB的面积为或.

第7题解图

8.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的平分线上时，则点B′到BC的距离为_____．

第8题图

2或1【解析】如解图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于点M，反向延长B′M交BC于点N，∵DB′平分∠ADC，∴∠ADB′＝∠B′DC＝∠ADC＝45°，∴△B′DM是等腰直角三角形，设DM＝B′M＝x，则AM＝7－x，由折叠的性质知AB＝AB′＝5，在Rt△AMB′中，由勾股定理得AM2＝AB′2－B′M2，即（7－x）2＝25－x2，解得x＝3或x＝4，∵B′N＝5－B′M，∴B′N＝2或B′N＝1，即点B′到BC的距离为2或1.

第8题解图

9.如图，正方形OABC中，AB=2，点D为BC的中点，E为OC边上一点，连接ED并延长交AB的延长线于点F，当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，则OE的长为.

第9题图

【解析】∵AB∥CO，∴∠F＝∠CED，∠FDB＝∠EDC，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴△FDB≌△EDC，∴CE＝FB＝2－OE，BD＝CD＝1，AF＝2＋2－OE＝4－OE，当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，分下列两种情况：

①当EA＝EF时，如解图，作EG⊥AF于点G，∴FG＝GA，四边形AGEO为矩形，∴AG＝OE，∴，解得；②当AE＝AF时，在Ｒｔ△AEO中，AF＝AE＝4－OE，AO＝2，由勾股定理得，解得，综上所述,OE的长为．

第9题解图

10.如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（1，4），E（0，3），连接AB、AE、BE，并延长BE交x轴于点C，点P是线段AC上一点，连接EP.当△OEP与△ABE相似时，则AP的长为_____.

第10题图

2或4【解析】∵A（3，0），B（1，4），E（0，3），∴AB2＝（3－1）2＋（0－4）2＝20，AE2＝（3－0）2＋（0－3）2＝18，BE2＝（1－0）2＋（4－3）2＝2，∵AE2＋BE2＝18＋2＝20＝AB2，∴∠AEB＝90°.当△AEB∽△EOP时，＝，即＝，∴OP＝1，∴P（－1，0）或P（1，0），∴AP＝4或2；当△AEB∽△POE时，＝，即＝，∴OP＝9，∴P（9，0）或P（－9，0），易得直线BE的解析式为y＝x＋3，当y＝0时，x＝－3，∴C（－3，0），又∵A（3，0），P是线段AC上一点，∴此情况不合题意，综上所述，AP的长为2或4.