高考数学步步高理科人教版A 第九章 95 第2课时 直线与椭圆.docx

1、高考数学步步高理科人教版A 第九章 95 第2课时 直线与椭圆第2课时直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案D解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，5k2m10，m1且m5.2已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2

2、144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点题型二弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例

3、1 斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，又(8t)216(t21)50，得t2b0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)AB的中点为M，x1x22，y1y21.PFl，kPFkl.1，1.0，0，可得2bca2，4c2(a2c2)a4，化为4e44e210，解得e2，又0e0恒

4、成立设C(x1，y1)，D(x2，y2)x1x2，x1x2.|CD|x1x2|.即，解得k22，k.直线l的方程为xy10或xy10.题型三 直线与椭圆的综合问题例3(2020天津)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程解(1)由已知可得b3，记半焦距为c，由|OF|OA|可得cb3，又由a2b2c2，可得a218，所以椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题

5、意，直线AB和直线CP的斜率均存在设直线AB的方程为ykx3.联立方程组消去y可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以直线AB的方程为yx3或yx3，即x2y60或xy30.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解(2)涉及直线方程的

6、设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程解(1)由题意知，F1B1B2为等边三角形，则即解得故椭圆C的方程为3y21.(2)易知椭圆C的方程为y21，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，8(k21)0，设P(x1，y1)，Q(x2，

7、y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k，故直线l的方程为xy10或xy10.课时精练1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，) B(1,3)(3，)C(3，) D(0,3)(3，)答案B解析由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0，得m1且m3.故选B.2直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切 C相离 D不确定答案A解析由题意得直线y1k恒过定点，而点在椭圆1的内部，所以直线

8、与椭圆相交3直线ykx1，当k变化时，此直线被椭圆y21截得的最大弦长是()A2 B.C4 D不能确定答案B解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为，当y时，弦长最大为.4已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，1)，则椭圆E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析kAB，kOM1，由kABkOM，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆E的方程为1.5已知椭圆1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A. B C2 D2答案B解析设弦所在直线的斜

9、率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y24，两式相减，得0，所以，所以k.经检验，k满足题意故弦所在直线的斜率为.6已知椭圆C：1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线ykx与C交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论不正确的是()A四边形AF1BF2为平行四边形BF1PF290答案D解析对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|OF2|，|OA|OB|.故四边形AF1BF2为平行四边形故A正确；对于B，根据椭圆的性质，当P在上、下顶点时，|OP|bc.此时F1PF290.由题意可知P不可能在上下顶点，故F1PF2b0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为_答案x21解析因为椭圆1的右顶点为A(1,0)，所以b1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以1，a2，所以椭圆方程为x21.8已知椭圆y21与直线yxm交于A，B两点，且|AB|，则实数m的值为_答案1解析由消去y并整理，得3x24mx