（2）已知椭圆两顶点A（－1,0），B（1,0），过焦点F（0,1）的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，则直线l的方程为________________．
答案 x－y＋1＝0或x＋y－1＝0
解析 由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8（k2＋1）>0恒成立．
设C（x1，y1），D（x2，y2）．
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|CD|＝|x1－x2|
＝
＝.
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
题型三直线与椭圆的综合问题
例3 （2020·天津）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的一个顶点为A（0，－3），右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点C满足3＝，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
解
（1）由已知可得b＝3，记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
所以椭圆的方程为＋＝1.
（2）因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，
所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立方程组
消去y可得（2k2＋1）x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为（0，－3），
所以点P的坐标为.
由3＝，得点C的坐标为（1,0），
故直线CP的斜率为＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3，
即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
思维升华
（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y（或x）得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1（－1,0），F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2.
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
解
（1）由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
则即解得
故椭圆C的方程为＋3y2＝1.
（2）易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），
由得（2k2＋1）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，
Δ＝8（k2＋1）>0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），
因为⊥，所以·＝0，
即（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝x1x2＋（x1＋x2）＋1＋k2（x1－1）（x2－1）＝（k2＋1）x1x2－（k2－1）（x1＋x2）＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
课时精练
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（1,3）∪（3，＋∞）
C．（3，＋∞）D．（0,3）∪（3，＋∞）
答案 B
解析 由得（m＋3）x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.故选B.
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
答案 A
解析 由题意得直线y－1＝k恒过定点，而点在椭圆＋＝1的内部，所以直线与椭圆相交．
3．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是（ ）
A．2B.
C．4D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点（0,1），且点（0,1）在椭圆上，可设另外一个交点为（x，y），
则弦长为＝
＝，
当y＝－时，弦长最大为.
4．已知椭圆E：
＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M（1，－1），则椭圆E的方程为（ ）
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
答案 D
解析 kAB＝＝，kOM＝－1，
由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
5．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P（4,2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A.B．－C．2D．－2
答案 B
解析 设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得
＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意．
故弦所在直线的斜率为－.
6．已知椭圆C：
＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论不正确的是（ ）
A．四边形AF1BF2为平行四边形
B．∠F1PF2<90°
C．直线BE的斜率为k
D．∠PAB>90°
答案 D
解析 对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|.故四边形AF1BF2为平行四边形．故A正确；
对于B，根据椭圆的性质，当P在上、下顶点时，|OP|＝b＝＝c.此时∠F1PF2＝90°.由题意可知P不可能在上下顶点，故∠F1PF2<90°.故B正确；
对于C，如图，不妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为＝＝k，故C正确；
对于D，设P（x1，y1），A（x2，y2），则B（－x2，－y2），
所以kAP·kBP＝·＝＝＝－.
又由C可知直线BP的斜率为k，
故kAP＝＝－.所以kAP·kAB＝－·k＝－1.
故∠PAB＝90°.故D错误．
7．已知椭圆＋＝1（a>b>0）的右顶点为A（1,0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．
答案 ＋x2＝1
解析 因为椭圆＋＝1的右顶点为A（1,0），
所以b＝1，焦点坐标为（0，c），
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1.
8．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为________．
答案 ±1
解析 由消去y并整理，得
3x2＋4mx
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