第五专题矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根讲解Word文档格式.docx

1、A=0；8. A B（即A B 0）,则 tr（A）tr（B） ，且等号成立的充要条件是 A=B（ ABi （A）i （B） ）；9.对于 n 阶方阵 A，若存在正整数 k,使得 Ak=0,则 tr（A）=0 （从 Schur 定理或 Jordan 标准形证明）。若干基本不等式对于两个 mn 复矩阵 A 和 B，tr（A H B）是 m维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个 mn 维列向量的内积，利用 Cauchy-schwarz不等式x,y2 x,xy,y得定理：对任意两个 mn 复矩阵 A 和 B|tr（AH2B）B）| tr（A A）tr（B这里等号成立的充要条件是 A=cB,

2、c 为一常数。特别当 A 和 B 为实对称阵或 Hermit 矩阵时0|tr（AB）| tr（A 2 ） tr（B 2 ）设 A 和 B 为两个 n 阶 Hermite 阵,且 A0，B0，则0 tr（AB） 1（B）tr（A） tr（A） tr（B）1（B）表示 B 的最大特征值。证明：tr（AB）= tr（A 1/2BA1/2） 0，又因为A1/2 1（B）I-BA 1/20，所以 1（B）tr（A） A1/2BA1/2，得tr（AB）= tr（A 1/2BA1/2） tr（ 1（B） A）=1（B） tr（A） tr（A） tr（B）推论：设 A 为 Hermite 矩阵，且 A0，则t

3、r（A）tr（A -1）n另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考矩阵论中不等式。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由 Sylvester于 1861 年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。矩阵 A 的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为 rank（A）1.rank（AB） min（rank（A）,rank（B） ；2. rank（A B） rank（A,B） rank（A） rank（B） ；3.rank（AA H ） rank（A H ） rank（A） ；4. rank（A） rank（XA） rank（AY） rank（X

4、AY） ，其中 X 列满秩， Y 行满秩（消去法则） 。定理（Sylvester）：设 A 和 B 分别为 mn 和 nl矩阵，则rank（A） rank（B） n rank（AB）m i n （ r a n k （ A ） , r aSylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。四、相对特征根设 A 和 B 均为 P 阶实对称阵， B0，方程|A-B|=0 的根称为 A 相对于 B 的特征根 。 |A-B|=0 等价于 |B-1/2AB-1/2-I|=0（因为 B0，所以 B1/20）注：

5、求 A 相对于 B 的特征根问题转化为求 B-1/2AB-1/2 的特征根问题或 AB-1 的特征根。因 B-1/2AB-1/2 是实对称阵，所以特征根为实数。使 （A- iB）li=0 的非零向量 li 称为对应于 i的 A 相对于 B 的特征向量 。 设 l 是相对于 的 A B-1 的特征向量，则-1 -1 -1A B l=l 或 A （B l）=B（ B l）-1B l 为对应 的 A 相对于 B 的特征向量（转化为求 A B-1 的特征向量问题） 。 设 l 是相对于 的 B-1/2AB-1/2 的特征向量，则B-1/2AB-1/2l=l可得A（B-1/2l）=B（B-1/2l）则

6、B-1/2l 为对应 的 A 相对于 B 的特征向量（转化为求 B-1/2AB-1/2 对称阵的特征向量问题） 。五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。1.向量范数定义 ：设 V 为数域 F 上的线性空间，若对于 V 的任一向量 x，对应一个实值函数 x ，并满足以下三个条件：（ 1）非负性 x 0 ，等号当且仅当 x=0 时成立；（ ）齐次性xx ,k,x V;（ 3）三角不等式 x yxy ,x, y V 。则称 x 为 V 中向量 x 的范数，简称为 向量范数 。定义了范数的线性空间定义称为 赋范线性空间 。例 1. xC n ，它可表

7、示成 x12T ， iC ，1x 2就是一种范数，称为欧氏范数 或 2-范数。i（ i）非负性0 ，当且仅当 i0 i1,2,n时，即 x0 时， x2 0（ii）齐次性（iii）三角不等式yTC， iy 22Re i i2 i2 x根据 H?lder 不等式：pq1, 1ai biaipbiq， p,q1,a i ,b i 02. 常用的向量范数（设向量为 x 1 2T ）1-范数： x 1；-范数： xmaxi ；1 i nP-范数：2-范数：i（p1, p=1, 2, , , ）;xH x2 ;椭圆范数 （2-范数的推广 ）:x AxH Ax 2 ，A 为 Hermite 正定阵 .加权

8、范数： x wwi i，当 A W diag w1 w2 w n ， w i 0 x p 显然满足非负性和齐次性（iii） yx p，y p，x y pp 1y p应用 H?lder 不等式p 1 q1 q即3.向量范数的等价性定理 设 、 为 Cn 的两种向量范数，则必定存在正数 m、M ，使得 m x x M x ，（m、M 与 x无关），称此为向量范数的等价性。同时有Mm（1）对某一向量 X 而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大） 。（2）不同的向量范数可能大小不同， 但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况

9、。因为一个 mn 阶矩阵可以看成一个 mn 维向量，所以 Cm n 中任何一种向量范数都可以认为是 m n 阶矩阵的矩阵范数。1.矩阵范数定义 ：设 Cm n 表示数域 C 上全体 m n阶矩阵的集合。若对于 C m n 中任一矩阵 A，均对应一个实值函数 A ，并满足以下四个条件：（1）非负性： A0 ，等号当且仅当 A=0 时成立；（2）齐次性：A ,C;（3）三角不等式：A BA B ,A,B Cm n ,则称A为广义矩阵范数；（4）相容性： AB A B ,则称 A 为矩阵范数。5.常用的矩阵范数（1）Frobenius范数（ F-范数）F-范数：=A） =A Faijtrace（Ai

10、， ji， j 1矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。如果矩阵范数 A 和向量范数 x 满足Ax A x则称这两种范数是相容的。给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。（2）诱导范数设 ACm n，xCn, x 为 x 的某种向量范数，记Amax Axx1则 A 是矩阵 A 的且与 x 相容的矩阵范数， 也称之为A 的诱导范数 或算子范数。（3）p-范数： A p maxAx p ，Aaij m n ,x 为所有可能的向量， x2nT ，x p ， Ax p1 A xmax Axx p 1A 11 ， x 1i 1 ， Ax 1aij jx

11、1 1j 1可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：（1） A列（和）范数；1 j n（2）A2i （A H A）谱范数；1 iA H A 的最大特征值称为 A H A 的谱半径。当 A 是 Hermite 矩阵时， Amax i （A）是A的谱半径。谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。A HA2; AHA2A 2（3）（Amax行（和）范数1 i mi ， x定理 矩阵 A 的任意一种范数 A 是 A 的元素的连续函数；矩阵 A 的任意两种范数是等价的。定理 设 A Cn n，xCn, 则 A F 和 x 2 是相容的Ax 2 A由于 Ax 2 A 2 xFx 22 A F x 2 成立。 n，

12、则 A F 是酉不变的， 即对于任意酉矩阵 U,V Cnn，有AF UAV FUAV F tr（UAV） H （UAV）trV H A H U H UAV trV H A H AVtrA H AVV H tr（A H A）定义 设 A Cn n，A 的所有不同特征值组成的集合称为 A 的谱；特征值的模的最大值称为A 的谱半径，记为 （A） 。定理 （A）不大于 A 的任何一种诱导范数，即（A） A设 是 A 的任意特征值， x 是相应的特征向量，即Ax=x则|x|= |Ax|A|x|, |x| 0| |A|试证：设 A 是 n 阶方阵，|A|是诱导范数，当|A|1时， I-A 可逆，且有|（I

13、-A） -1| -|A|）（1-1若 I-A 不可逆，则齐次线性方程组（I-A）x=0有非零解 x，即 x=Ax，因而有|x|=|Ax| |x|x|A但这是不可能的，故 I-A 可逆。于是 （I-A） -1= （I-A）+A （I-A） -1=I+A （I-A） -1 因此 |（I-A） -1| |I|+|A（I-A） -1|=1+|A（I-A） -1|1+|A| （I-A） -1|即证补充证明 |I|=1：由相容性可知：|A|A-1| |A A-1|=|I|x Ix I x I 1对于诱导范数 （ A max Ax ）x 1I max Ix 1。六、条件数条件数对研究方程的性态起着重要的作用

14、。设矩阵 A 是可逆方阵，称 |A| |A-1|为矩阵 A 的条件数，记为 cond（A），即 cond（A）= |A|A-1|（ 1）cond（A） 1,并且 A 的条件数与所取的诱导范数的类型有关。因 cond（A）= |A|A |A A|=|I|=1（ 2）cond（kA）= cond（A）=cond（A-1），这里 k 为任意非零常数。当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：cond1（A）= |A|1|A-1|1cond （A）= |A| |A-1|cond2（A）= |A|2|A-1|2= 1 ，其中 1 , n 分别为 AHA 的特征值的模的最大值和最小值。 谱条件数特别地，

15、如果 A 为可逆的 Hermite 矩阵，则有cond2（A）=这里 1 , n 分别为 A 的特征值的模的最大值和最小值。如果 A 为酉阵，则 cond2（A）= 1例 求矩阵 A 的条件数 cond1（A），cond（A）1 5 2A 2 1 03 8 2解：|A|1=max6;14;4=14;|A| =max8;3;13=14;648132311故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1（A）= |A|1|A-1|1=1417/4=259/2;cond （A）= |A| |A-1| =611/4。例 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 可逆。讨论当 b 有误差 b时，解的相对误差 x 的大小。因矩阵 A 可逆，所以 Ax=b 有唯一解 x=A-1b，设解的误差为 x，由A（x+x）=b+bAx=b或 x=A-1