第五专题矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根讲解Word文档格式.docx
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A=0；
8.AB（即AB0）
则tr（A）
tr（B），且等号成
立的充要条件是A=B（A
B
i（A）i（B））；
9.对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,
则tr（A）=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。
若干基本不等式
对于两个m×
n复矩阵A和B，tr（AHB）是m×
维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两
个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式
[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
得
定理：
对任意两个m×
n复矩阵A和B
|tr（A
H
2
B）
B）|≤tr（AA）﹒tr（B
这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时
0≤|tr（AB）|≤tr（A2）tr（B2）
设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则
0≤tr（AB）≤λ1（B）tr（A）≤tr（A）﹒tr（B）
λ1（B）表示B的最大特征值。
证明：
tr（AB）=tr（A1/2BA1/2）≥0，又因为
A1/2[λ1（B）I-B]A1/2≥0，所以λ1（B）tr（A）≥A1/2BA1/2，得
tr（AB）=tr（A1/2BA1/2）≤tr（λ1（B）A）
=λ1（B）tr（A）≤tr（A）﹒tr（B）
推论：
设A为Hermite矩阵，且A>
0，则
tr（A）tr（A-1）≥n
另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考
《矩阵论中不等式》。
三、矩阵的秩
矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。
它是矩阵的最重要的数字特征之一。
下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。
矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。
记为rank（A）
1.rank（AB）min（rank（A）,rank（B））；
2.rank（AB）rank（A,B）rank（A）rank（B）；
3.rank（AAH）rank（AH）rank（A）；
4.rank（A）rank（XA）rank（AY）rank（XAY），
其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。
定理（Sylvester）：
设A和B分别为m×
n和n×
l
矩阵，则
rank（A）rank（B）nrank（AB）
min（rank（A）,ra
Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。
其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。
四、相对特征根
设A和B均为P阶实对称阵，B>
0，方程
|A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。
|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0
（因为B>
0，所以B1/2>
0）
注：
求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。
因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。
使（A-λiB）li=0的非零向量li称为对应于λi
的A相对于B的特征向量。
①设l是相对于λ的AB-1的特征向量，则
-1-1-1
ABl=λl或A（Bl）=λB（Bl）
-1
Bl为对应λ的A相对于B的特征向量
（转化为求AB-1的特征向量问题）。
②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则
B-1/2AB-1/2l=λl
可得
A（B-1/2l）=λB（B-1/2l）
则B-1/2l为对应λ的A相对于B的特征向量
（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。
五、向量范数与矩阵范数
向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的
一种度量。
先讨论向量范数。
1.向量范数定义：
设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满
足以下三个条件：
（1）非负性x0，等号当且仅当x=0时成立；
（）齐次性x
x,
k,xV;
（3）三角不等式xy
x
y,x,yV。
则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数。
定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。
例1.x
Cn，它可表示成x
12
T，i
C，
1
x2
就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。
i
（i）非负性
0，
当且仅当i
0i
1,2,
n
时，即x＝0时，x
2＝0
（ii）齐次性
（iii）三角不等式
y
T
C
，i
y2
2Reii
2i
2x
根据H?
lder不等式：
p
q
1,1
aibi
aip
biq
，p,q
1,ai,bi0
2.常用的向量范数（设向量为x12
T）
1-范数：
x1
；
∞-范数：
x
max
i；
1in
P-范数：
2-范数：
i（p>
1,p=1,2,,∞,）;
xHx
2;
椭圆范数（2-范数的推广）:
xA
xHAx2，A为Hermite正定阵.
加权范数：
xwwii
，
当AWdiagw1w2wn，wi0
xp显然满足非负性和齐次性
（iii）y
xp
，yp
，xyp
p1
yp
应用H?
lder不等式
p1q
1q
即
3.向量范数的等价性
定理设、为Cn的两种向量范数，则必定存
在正数m、M，使得mxxMx，（m、M与x
无关），称此为向量范数的等价性。
同时有
M
m
（1）对某一向量X而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。
（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。
4、矩阵范数
向量范数的概念推广到矩阵情况。
因为一个m×
n阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以Cmn中任何一种向量范数都可以认为是m×
n阶矩阵的矩阵范数。
1.矩阵范数定义：
设Cmn表示数域C上全体mn
阶矩阵的集合。
若对于Cmn中任一矩阵A，均对应一个实值函数A，并满足以下四个条件：
（1）非负性：
A
0，等号当且仅当A=0时成立；
（2）齐次性：
A,
C;
（3）三角不等式：
AB
AB,A,BCmn,则称
A为广义矩阵范数；
（4）相容性：
ABAB,则称A为矩阵范数。
5.常用的矩阵范数
（1）Frobenius范数（F-范数）
F-范数：
=
A）=
AF
aij
trace（A
i，j
i，j1
矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要
考虑矩阵范数与向量范数的协调性。
如果矩阵范数A和向量范数x满足
AxAx
则称这两种范数是相容的。
给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范
数与之相容。
（2）诱导范数
设A∈Cm×
n，x∈Cn,x为x的某种向量范数，
记
AmaxAx
x1
则A是矩阵A的且与x相容的矩阵范数，也称之为
A的诱导范数或算子范数。
（3）p-范数：
Apmax
Axp，
A
aijmn,x为所有可能的向量，x
2n
T，
xp，Axp
1Ax
maxAx
xp1
A1
1，x1
i1，Ax1
aijj
x11
j1
可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：
（1）A
列（和）范数；
1jn
（2）A2
i（AHA）谱范数；
1i
AHA的最大特征值称为AHA的谱半径。
当A是Hermite矩阵时，A
maxi（A）
是A的谱
半径。
谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。
AH
A2;
AHA2
A2
（3）
（
Amax
行（和）范数
1im
i，x
定理矩阵A的任意一种范数A是A的元素的连
续函数；
矩阵A的任意两种范数是等价的。
定理设A∈Cn×
n，x∈Cn,则AF和x2是相容的
Ax2A
由于Ax2A2x
Fx2
2AFx2成立。
n，则AF是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,V∈Cn×
n，有
AFUAVF
UAVFtr[（UAV）H（UAV）]
tr[VHAHUHUAV]tr[VHAHAV]
tr[AHAVVH]tr（AHA）
定义设A∈Cn×
n，A的所有不同特征值组成的集合
称为A的谱；
特征值的模的最大值称为
A的谱半径，
记为ρ（A）。
定理ρ（A）不大于A的任何一种诱导范数，即
ρ（A）≤A
设λ是A的任意特征值，x是相应的特征向
量，即
Ax=λx
则
|λ|·
||x||=||Ax||≤||A||·
||x||,||x|≠0
|λ|≤||A||
试证：
设A是n阶方阵，||A||是诱导范数，当||A||<
1时，I-A可逆，且有
||（I-A）-1||≤-||A||）（1-1
若I-A不可逆，则齐次线性方程组
（I-A）x=0
有非零解x，即x=Ax，因而有
||x||=||Ax||||﹒≤||x||<
||x|||A但这是不可能的，故I-A可逆。
于是（I-A）-1=[（I-A）+A]（I-A）-1=I+A（I-A）-1因此||（I-A）-1||≤||I||+||A（I-A）-1||=1+||A（I-A）-1||
≤1+||A||﹒||（I-A）-1||
即证
补充证明||I||=1：
由相容性可知：
||A||﹒||A-1||≥||AA-1||=||I||
xIxIxI1
对于诱导范数（AmaxAx）
x1
ImaxIx1
。
六、条件数
条件数对研究方程的性态起着重要的作用。
设矩阵A是可逆方阵，称||A||﹒||A-1||为矩
阵A的条件数，记为cond（A），即cond（A）=||A||﹒||A-1||
（1）cond（A）≥1,并且A的条件数与所取的诱导范数的类型有关。
因cond（A）=||A||﹒||A||
≥||AA
||=||I||=1
（2）cond（kA）=cond（A）=cond（A-1），这里k为任
意非零常数。
当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：
cond1（A）=||A||1﹒||A-1||1
cond∞（A）=||A||∞﹒||A-1||∞
cond2（A）=||A||2﹒||A-1||2=1，其中1,n分别
为AHA的特征值的模的最大值和最小值。
谱条件数特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有
cond2（A）=
这里1,n分别为A的特征值的模的最大值和最小值。
如果A为酉阵，则cond2（A）=1
例求矩阵A的条件数cond1（A），cond∞（A）
152
A210
382
解：
||A||1=max{6;
14;
4}=14;
||A||∞=max{8;
3;
13}=14;
6
4
8
13
23
11
故
||A-1||1=17/4;
||A-1||∞=47/4;
cond1（A）=||A||1﹒||A-1||1=14×
17/4=259/2;
cond∞（A）=||A||∞﹒||A-1||∞=611/4。
例设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。
讨论当b有误差δb时，解的相对误差δx的大小。
因矩阵A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，设解的误差为δx，由
A（x+δx）=b+δb
Aδx=δb或δx=A-1δ
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