谈数学变式教学在高中数学教学中的应用.doc

1、谈数学变式教学在高中数学教学中的应用陇东中学 贾恒旺 随着高中新课改在全国范围内的全面实施，几乎所有数学教师都有这样的感受，就是“时间紧，教学内容多”。然而，部分教师为了争取时间便满堂灌，致使学生的掌握情况非常不好。面对这样的情形，变式教学在数学课堂中的应用就显得尤为重要。 一、什么是数学变式教学变式教学是运用不同的知识和方法，对有关数学概念、公式、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识的引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。变式教学最终是为了通过变化让学生掌握变化中的不变，能从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性

2、，使学生能真正理解知识和方法的本质原理的教学。变式教学泛指知识形成过程中的问题设计变式、基本概念辨析型变式、定理和公式的深化变式、例题和习题的一题多解、一法多用、一题多变、多题归一等。二、高中数学教学中应用变式教学的主要意义：(一)、利用变式教学创设教学情境，激发学生学习积极性。 高中数学的大部分概念比较抽象，教师在教学中如果直接抛出概念，学生很难接受。而如果根据概念类型，设计一系列变式，将概念还原到客观实际（如实例、模型或已有经验、题组等）提出问题，为学生创设生动形象的教学情境，就可以大大激发学生学习数学的热情和积极性。例如：在进行指数函数概念教学时，可以这样进行变式教学：(1)提出问题：我

3、有一张白纸，把它撕成两半，将它们重叠后再撕一次，重叠后再撕一次那么撕扯3次后把所有的纸重叠放置有多少层?5次呢?15次呢? (2)若一张纸厚01毫米，那么撕纸15次后把所有的纸重叠放置有多高?有一人高吗?若撕掉20次呢? (3)你能建立起“纸的张数y与撕纸的次数x”之间的函数关系式吗？生活中就存在这样一类函数，从而给出指数函数的概念。通过这样一组由特殊到一般的变式题，可以帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，激发学生的思维，引导学生积极探索。（二）、利用变式教学预设“陷阱”，培养学生思维的严谨性。 在概念、定理及公式的教学过程中，通过对有关数学概念、定理、公式等进行不同角度、不同层次、不同

4、背景的变化，有意识的引导学生发现变化中的不变，明确并凸显出概念、定理及公式的条件、结论和适用范围、注意事项等关键之处，让学生深入理解概念、定理及公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力。 例如：在引入奇偶函数定义之后，为了让学生透彻理解该定义，掌握定义的内涵和外延，特别是搞清楚“定义域关于原点对称”等有关问题，可利用辨析型变式设计下列变式题组织学生讨论。 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：（1） （2） (0x0或的解释.在形成概念后，不应急于应用概念去解决问题，而应对概念作进一步的探讨，通过辨析型变式和等价深化变式，使学生对概念有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。数学变式教学以

5、一胜多、举一反三的变式训练，给数学教学注入了生机和活力，提高了学生的兴趣，调动了学生的积极性，使其学得轻松，并且避免“题海”，从而提高了课堂教学效率和教学质量，对学生掌握知识、促进思维和培养能力等方面起着非常重要的作用。然而，变式教学不能变成教师整节课的精彩演绎和拓展，决不能一时兴起就刹不住车，教师讲得神采飞扬，酣畅淋漓，学生听得头昏脑胀，应对不暇。教师必需注意学生的感觉，控制变式的节奏、变式的维度及变式的深度。“变”与“不变”，都要让学生去体验。教师的作用应该主要是引导和点拨，使学生去思考和比较，发现变式问题中的“变”与“不变”。 三、数学变式教学在高中数学教学中的应用举例 例1：如在新授定

6、理“a+b2”，其中a，bR+，（当且仅当ab时取“”号）的定理时，强调定理使用的条件是：“一正二定三相等”。通过如下课本习题进行变式教学：原题：已知x0，求y的最小值。变式1：xR，函数y有最小值吗？为什么？ 变式2：已知x0，求y的最小值； 变式3：x3，函数y的最小值为2吗？均值不等式是高中阶段的一个重点，但学生在使用时，很容易忘记定理使用的条件“一正二定三相等”。因此在教学中由课后习题出发，利用条件特殊化即将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。设计三个变式练习的解答，使学生加深了对定理成立条件的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础。例2：原题：在椭圆上求一

7、点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。变式1：椭圆的两个焦点是F1、F2，点P为它上面一动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_。分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，F1PF2为直角，当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，F1PF2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围。变式2：F1、F2是椭圆C：的两焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为_。分析：该题只将求点的坐标改为

8、判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数。 变式3：设椭圆的两个焦点是F1（C，0），F2（C，0），C0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使PF1PF2，只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长即得。 评注：圆锥曲线是高中教学很重要的一部分内容，也是学生较难掌握的。教师在复习的过程中将习题进行变式，不仅加深了学生对椭圆概念的理解，而且通过分析以F1F2为直径的圆与椭圆有交点情况，培养

9、了学生数形结合的思维能力，符合学生的认识规律。例3：已知x、y0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。 分析：由x+y=1得y=1-x，则x2+y2=2x2-2x+1， 因为x0，1，根据二次函数的图象与性质知：当x=0.5时，x2+y2取最小值0.5；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。变式：已知a、b为非负数，M=a3-a2+ab，a+b=1，求M的最值。 评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决。同时解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，如单调性的

10、运用、导数的运用等都可以求函数的最值。原题中利用函数知识，代入法来解决，变式中利用导数可以求函数的最值，不但复习了运用函数思想求变量的最值的常见方法，同时也有助于在教学中引导学生对函数思想的形成，加强学生对函数概念及其性质的理解。四、高中数学变式教学中应注意的问题 在教学实践中也发现，有些教师对变式教学的“度”把握不准确，不能因材施教，在教学中单纯地为了练习而练习，给学生造成了过重的学习和心理负担，使学生产生了逆反心理，“高投入、低产出”，事倍而功半。同时，有的教师要注意教学要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率。总之，数学变式教学要源于课本又要高于课本，要明确目的，遵循课标，要突出重点，以点带面，在教学的过程中要针对实际，因人而异。著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”数学课堂教学中，变式教学就是数学教育家波利亚所说的“蘑菇”，它能够充分调动学生的主观能动性，使多向性、多层次的交互作用引进数学教学过程，教师通过变式教学，不但使学生能举一反三，而且能使教学结构发生质的变化，使学生成为创造的主人。