1、戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师等差数列知识梳理1.定义:(d为常数)();2等差数列通项公式: , 首项:,公差:d,末项: 推广: 从而;3等差中项(1)如果,成等差数列,那么叫做与的等差中项即:或(2)等差中项:数列是等差数列4等差数列的前n项和公式:(其中A、B是常数) (当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)5等差数列的判定方法 (1)定义法:若或(常数) 是等差数列 (2)等差中项:数列是等差数列 (3)数列是等差数列(其中是常数)。(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。6等差数列的证明方法 定义法:若或(常数) 是等差数列7.提醒:(1)等差数列的通项公式
2、及前和公式中,涉及到5个元素:、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(2)通常把题中条件转化成只含和的等式!8.等差数列的性质:(1)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。(2)当时,则有,特别地,当时,则有.(3) 若是等差数列,则 ,也成等差数列 (公差为md )图示:(4)若等差数列、的前和分别为、,且,则.(5)若、为等差数列,则为等差数列(6)求的最值法一:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若S p =
3、S q则其对称轴为法二:“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项(7)设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项的和,是前n项的和,则:1.当项数为偶数时,其中n为总项数的一半,d为公差;2、在等差数列中,若共有奇数项项,则注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量等差数列练习题一、 选择题1.已知为等差数列,则等于( )A. -1 B.
4、 1 C. 3 D.72.设是等差数列的前n项和,已知,则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.等差数列的前n项和为,且 =6,=4, 则公差d等于A1 B C.- 2 D 34.已知为等差数列,且21, 0,则公差dA.2 B. C. D.25.若等差数列的前5项和,且,则( )A.12 B.13 C.14 D.156.在等差数列中, ,则 其前9项的和S9等于 ( ) A18 B 27 C 36 D 97.已知是等差数列,则该数列前10项和等于( )A64 B100 C110 D1208.记等差数列的前项和为,若,则( )A16 B24 C36 D489.等差数列的前项和为若()
5、A12 B10 C8 D610.设等差数列的前项和为,若,则()A63 B45 C36 D2711.已知等差数列中,的值是( )A15B30C31D6412等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )A.130 B.170 C.210 D.260二、 填空题13已知是等差数列,且 则k= .14.已知等差数列的前项和为,若,则15. 设等差数列的前项和为,若,则= 16.设等差数列的前项和为,若则 17.等差数列的前项和为,且则 18.已知等差数列的公差是正整数,且a,则前10项的和S= 19.设与是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么_;20是等差数列的
6、前n项和,(n5,), =336,则n的值是 .三、解答题21.在等差数列中,求.22.设等差数列的前项和为,已知,求公差的取值范围;中哪一个值最大?并说明理由.23.己知为等差数列,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项? (2)新数列的第29项是原数列的第几项?24.设等差数列的前项的和为S n ,且S 4 =62, S 6 =75,求: (1)的通项公式a n 及前项的和S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |.25.已知等差数列中,求前n项和. 26数列是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。 (1)求数列公差;(2)求前项和的最大值;(3)当时,求的最大值。8
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