复习专题1--分段函数.doc

1、复习专题1分段函数专题不务正业收集、整理、点评知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。4、解决分段函数的方法：先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论；3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。（如在R上是增函数，则）；4

2、、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。1.作出函数的图象2. 函数的图象大致是 （ D ）xy110Axy1-10Bxxyy111100CD 题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数的奇偶性2、已知函数是定义在R上的奇函数,且当求f(x)的解析式。题型三、分段函数的最值1、(2005上海高考题)对定义域分别是的函数.规定：函数（I）若函数，写出函数的解析式；（

3、II）求问题（I）中函数的值域；题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知，则不等式的解集是_2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_3、(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则 题型五、分段函数创新题1、定义运算，若则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2、(2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D.总结：1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域

4、、单调性、奇偶性等。2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。课后作业：1、设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为(A)（1，2）（3，+）(B)（，+）(C)（1，2） （ ，+）(D)（1，2）2、已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）（A）(1，+)（B）(-,3) (C)，3) (D)(1,3)3、4、设定义为R的函数则关于的方程有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 且

5、 B. 且 C. 且 D. 且5、定义在R上的函数满足则的值为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.26、7、求函数的最大值 8、(2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.()当时，求函数的表达式；()当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时

6、）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）参考答案：题型一、分段函数的图像。1.作出函数的图象分析：原函数可化为：2. 函数的图象大致是 （ D ）xy110Axy1-10Bxxyy111100CD 分析：原函数可化为：，很明显，在时，图像是一条平等于x轴的射线，当时，是一个对勾函数的形状。所以选D。题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数的奇偶性分析：设，则，则，所以函数为奇函数。（注意：f(0)并不存在，如果存在，一定有f(0)=0）2、已知函数是定义在R上的奇函数,且当求f(x)的解析式.分析：设，则。 又是定义在R上的奇函数，所以，所以有： 所以：题型三、分段函数的最值1、(200

7、5上海高考题)对定义域分别是的函数.规定：函数（I）若函数，写出函数的解析式；（II）求问题（I）中函数的值域；本题好像有点问题。题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知，则不等式的解集是_2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_【答案】（0，1）【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.3、(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则 【答案】1【解析】A.a0B.0a1题型五、分段函数创新题1、定义运算，若则的取值范围是（A ）A. B. C. D. 2、(2011年高考天

8、津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D.【答案】B【解析】由题意知,若,即时, ;当,即或时, ,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.总结：1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（

9、组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。作业：1、设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为（ ）(A)（1，2）（3，+）(B)（，+）(C)（1，2） （ ，+）(D)（1，2）答案：C分别对x进行讨论。当x2 ，得1x2 得2、已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）（A）(1，+)（B）(-,3) (C)，3) (D)(1,3)答案：D。3、设定义为R的函数则关于的方程有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且答案：C。设由函数的图中得，方程有两根，其中一根，另一根。画出图像是

10、关键。从图像可以明显看出，当t0时，对应每一个t，x有4个不同的值与之对应，t=0时，有3个不同的x与之对应，本题要求是7个根，所以，必须满足：其中一根t=0，另一根t0。则4、定义在R上的函数满足则的值为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2答案：C。分析：分别求出，观察可得周期为6或者：由，迭代得，由这几个分段函数全是线性函数，最值一定出现在“临界点”上。5、求函数的最大值 . 6、(2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达

11、到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.()当时，求函数的表达式；()当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（）由题意：当时，；当时，设再由已知得，解得故函数的表达式为（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立.所以，当时，在区间20,200上取得最大值.综上，当时，在区间0,200上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.9