复习专题1--分段函数.doc

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复习专题1—分段函数专题

不务正业收集、整理、点评

知识点梳理

一、定义：

分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。

二、注意：

1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；

2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；

3、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法：

先分后合

三、涉及的内容及相应的常用方法：

1、求解析式：

利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；

2、求值、解不等式：

注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

不能确定时常需要分情况讨论；

3、单调性：

各段单调（如递增）+连接处不等关系。

（如在R上是增函数，则）；

4、奇偶性：

分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；

5、图像性质或变换等：

作图、赋值等，注意变量的范围限制；

6、最值：

求各段的最值或者上下界再进行比较；

7、图像：

分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；

例题讲解：

题型一、分段函数的图像。

1.作出函数的图象

2.函数的图象大致是（D）

x

y

1

1

0

A

x

y

1

-1

0

B

x

x

y

y

1

1

1

1

0

0

C

D

题型二、分段函数的奇偶性

1、判断函数的奇偶性

2、已知函数是定义在R上的奇函数,且当求f（x）的解析式。

题型三、分段函数的最值

1、（2005上海高考题）对定义域分别是的函数.规定：

函数

（I）若函数，写出函数的解析式；

（II）求问题（I）中函数的值域；

题型四、与分段函数有关的不等式与方程

1、已知，则不等式的解集是________

2、（2011年高考北京卷理科13）已知函数若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______

3、（2011年高考陕西卷理科11）设，若，则

题型五、分段函数创新题

1、定义运算，若则的取值范围是（）

A.B.C.D.

2、（2011年高考天津卷理科8）对实数与，定义新运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D.

总结：

1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。

4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

课后作业：

1、设f（x）=则不等式f（x）>2的解集为

（A）（1，2）（3，+∞）（B）（，+∞）（C）（1，2）（，+∞）（D）（1，2）

2、已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（）

（A）（1，+） （B）（-,3）（C）[，3） （D）（1,3）

3、

4、设定义为R的函数则关于的方程

有7个不同的实数解的充要条件是（）

A.且B.且C.且D.且

5、定义在R上的函数满足则的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

6、

7、求函数的最大值

8、（2011年高考湖北卷理科17）（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/小时）是车流密度（单位：

辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：

当时，车流速度v是车流密度的一次函数.

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

参考答案：

题型一、分段函数的图像。

1.作出函数的图象

分析：

原函数可化为：

2.函数的图象大致是（D）

x

y

1

1

0

A

x

y

1

-1

0

B

x

x

y

y

1

1

1

1

0

0

C

D

分析：

原函数可化为：

，很明显，在时，图像是一条平等于x轴的

射线，当时，是一个对勾函数的形状。

所以选D。

题型二、分段函数的奇偶性

1、判断函数的奇偶性

分析：

设，则，则，所以函数为奇函数。

（注意：

f（0）并不存在，如果存在，一定有f（0）=0）

2、已知函数是定义在R上的奇函数,且当求f（x）的解析式.

分析：

设，则。

又是定义在R上的奇函数，所以，所以有：

所以：

题型三、分段函数的最值

1、（2005上海高考题）对定义域分别是的函数.规定：

函数

（I）若函数，写出函数的解析式；

（II）求问题（I）中函数的值域；

本题好像有点问题。

题型四、与分段函数有关的不等式与方程

1、已知，则不等式的解集是________

2、（2011年高考北京卷理科13）已知函数若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______

【答案】（0，1）

【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.

3、（2011年高考陕西卷理科11）设，若，则

【答案】1

【解析】

A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1

题型五、分段函数创新题

1、定义运算，若则的取值范围是（A）

A.B.C.D.

2、（2011年高考天津卷理科8）对实数与，定义新运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）

A．　　　B．　

C．　　D.

【答案】B

【解析】由题意知,若,即时,;当,即或时,,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.

总结：

1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。

4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

作业：

1、设f（x）=则不等式f（x）>2的解集为（）

（A）（1，2）（3，+∞）（B）（，+∞）（C）（1，2）（，+∞）（D）（1，2）

答案：

C

分别对x进行讨论。

当x<2时，，依题意得：

>2，得1

，依题意得：

>2得

2、已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（）

（A）（1，+） （B）（-,3）（C）[，3） （D）（1,3）

答案：

D。

3、设定义为R的函数则关于的方程

有7个不同的实数解的充要条件是（）

A.且B.且C.且D.且

答案：

C。

设由函数的图中得，方程有两根，其中一根，另一根。

画出图像是关键。

从图像可以明显看出，当t>0时，对应每一个t，x有4个不同的值与之对应，t=0时，有3个不同的x与之对应，本题要求是7个根，所以，必须满足：

其中一根t=0，另一根t>0。

则

4、定义在R上的函数满足则的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

答案：

C。

分析：

分别求出，观察可得周期为6

或者：

由①，迭代得②，由①②

这几个分段函数全是线性函数，最值一定出现在“临界点”上。

5、求函数的最大值

.

6、（2011年高考湖北卷理科17）（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/小时）是车流密度（单位：

辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：

当时，车流速度v是车流密度的一次函数.

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.

解析：

（Ⅰ）由题意：

当时，；当时，设

再由已知得，解得

故函数的表达式为

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；

当时，

当且仅当，即时，等号成立.

所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值.

综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

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