1、集合与函数概念11集合(一)集合的有关概念定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。2.表示方法:集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示, 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作aA;若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作aA。5.常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;N内排除0的集.整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R;6.关于集合的元素的
2、特征 确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。“中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. 互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:大于3小于11的偶数;我国的小河流;非负奇数; 方程x
3、2+1=0的解;某校2011级新生; 血压很高的人;著名的数学家; 平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作aA;若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作aA。 例如,我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合,则有3A,4A,等等。练:A=2,4,8,16,则4A,8A,32A.(二)例题讲解:例1用“”或“”符号填空: 8 N; 0 N; -3 Z; Q; 设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A。练:5页题例2已知集合P的元素为, 若2P且-1P,
4、求实数m的值。练:考察下列对象是否能形成一个集合?身材高大的人 所有的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点 细长的矩形的全体比2大的几个数 的近似值的全体所有的小正数 所有的数学难题给出下面四个关系:R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:( )A4个 B3个 C2个 D1个下面有四个命题:若-a,则a 若a,b,则a+b的最小值是2集合N中最小元素是1 x2+4=4x的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是( 由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?求集合2a,a2+a中元素应满足的条件?若t,求t的值.一、集合的表示方法列举法:把集合中的
5、元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如:1,2,3,4,5,x2,3x+2,5y3-x,x2+y2,;说明:书写时,元素与元素之间用逗号分开;一般不必考虑元素之间的顺序;在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;集合中的元素可以为数,点,代数式等;列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集用列举法表示为例1用列举法表示下列集合:(1) 小于5的正奇数组
6、成的集合;(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合;(3) 从51到100的所有整数的集合;(4) 小于10的所有自然数组成的集合;(5) 方程的所有实数根组成的集合; 由120以内的所有质数组成的集合。描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式:如:x|x-32,(x,y)|y=x2+1,x|直角三角形,;说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合,
7、只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:整数,即代表整数集Z。辨析:这里的 已包含“所有”的意思,所以不必写全体整数。写法实数集,R也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意:、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式?、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑。例2用描述法表示下列集合:(1) 由适合x2-x-20的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程的所有实数根组成的集合(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根
8、据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。练习:5页2题1用适当的方法表示集合:大于0的所有奇数2集合Ax|Z,xN,则它的元素是 。3.已知集合Ax|-3x3,xZ,B(x,y)|yx+1,xA,则集合B用列举法表示是 .判断下列两组集合是否相等? (1)A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0x3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分类三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即3,9,27A画
9、一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: 表示3,9,27表示任意一个集合A 典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A,a,b,B=a,a,ab,且A=B,求实数a,b.、已知集合Aa+2,(a+1),a+3a+3若1A,求实数a的值。【题型二】元素的特征、 已知集合M=xNZ,求M已知集合C=ZxN,求C点拔:要注意M与C的区别,集合M中的元素是自然数x,满足是整数,集合C是的元素是整数,满足条件是xN练习:.给出下列四个关系式:R;Q;0N;0其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4.方程组的解组成的集合是( ) A.2,1 B.-1,2 C.(2,1) D
10、.(2,1)3. 把集合-3x3,xN用列举法表示,正确的是( ) A.3,2,1 B.3,2,1,0 C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,34.下列说法正确的是( )A.0是空集B.xQZ是有限集C.xQx2+x+2=0是空集 D.2,1与1,2是不同的集合二填空题:、 以实数为元素构成的集合的元素最多有个;、 以实数a,2-a.,4为元素组成一个集合A,A中含有个元素,则的a值为 .、集合M=yZy=,xZ,用列举法表示是M。、已知集合A2a,a2-a,则a的取值范围是。三、解答题:、设Axx2+(b+2)x+b+1=0,bR求A的所有元素之和。10.已知集合Aa,
11、2b-1,a+2bB=xx3-11x2+30x=0,若A=B,求a,b的值。集合间的基本关系比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:(1),;(2),;(3),观察可得:子集:对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这 两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。 记作: 读作:A包含于B,或B包含AB A表示: 当集合A不包含于集合B时,记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系: 集合相等定义:如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B 中的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,即若,则。 如:A=x|x
12、=2m+1,mZ,B=x|x=2n-1,nZ,此时有A=B。真子集定义:若集合,但存在元素,则称集合A是集合B的真子集。 记作:A B(或B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A)4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作:用适当的符号填空: ; 0 ; ; 5.几个重要的结论: 空集是任何集合的子集;对于任意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集; 任何一个集合是它本身的子集; 对于集合A,B,C,如果,且,那么。练习:填空: 2 N; N; A; 已知集合Ax|x3x20,B1,2,Cx|x8,xN,则 A B; A C; 2 C; 2 C说明:注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。结论:一般地,一个集合元素若为n个,则其子集数为2n个,其真子集数为2n-1个, 特别地,空集的子集个数为1,真子集个数为0。(二)例题讲解:【题型】集合的子集问题、 写出集合a,b,c的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。、 已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5求满足条件的集合M、 已知集合A
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