人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解.doc

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集合与函数概念

§1．1集合

（一）集合的有关概念

⒈定义：

一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：

集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：

构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：

（元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种）

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

5.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z；　　有理数集，记作Q；　　　　实数集，记作R；

6.关于集合的元素的特征

⑴确定性：

给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：

“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”

（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大

的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：

一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.

如:

方程（x-2）（x-1）2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2

⑶无序性：

即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：

判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；　　　⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；　　　⑷方程x2+1=0的解；

⑸某校2011级新生；　　　⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；　　　⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

7.元素与集合的关系：

（元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种）

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

练：

A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“”符号填空：

⑴8N；⑵0N；⑶-3Z；⑷Q；

⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。

练：

5页１题

例2．已知集合P的元素为,若2∈P且-1P，求实数m的值。

练：

⑴考察下列对象是否能形成一个集合？

①身材高大的人②所有的一元二次方程

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体

⑤比2大的几个数⑥的近似值的全体

⑦所有的小正数⑧所有的数学难题

⑵给出下面四个关系:

R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:

（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

⑶下面有四个命题:

①若-aΝ,则aΝ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2

③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}

⑶其中正确命题的个数是（

⑷由实数-a,a,,2,-5为元素组成的集合中,最多有几个元素?

分别为什么?

⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?

⑹若{t},求t的值.

一、集合的表示方法

⒈列举法：

把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：

{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：

⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。

当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为

例1．用列举法表示下列集合：

（1）小于5的正奇数组成的集合；

（2）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

（3）从51到100的所有整数的集合；

（4）小于10的所有自然数组成的集合；

（5）方程的所有实数根组成的集合；

⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。

⒉描述法：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

。

方法：

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：

如：

{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:

描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{（x,y）|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：

{整数}，即代表整数集Z。

辨析：

这里的{　}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？

当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

（1）由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;

（2）到定点距离等于定长的点的集合;

（3）方程的所有实数根组成的集合

（4）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练习：

5页2题

　　　1．用适当的方法表示集合：

大于0的所有奇数

2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是。

3.已知集合A＝{x|-3

　　　　４.判断下列两组集合是否相等？

（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};

（2）A={自然数}与B={正整数}

二、集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1.{4.8,7.3,3.1,-9};

2.{xR∣0

3.{xR∣x2+1=0}

由此可以得到

集合的分类

三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

3,9,27

A

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

表示{3，9，27}

表示任意一个集合A

典型例题

【题型一】　元素与集合的关系

１、设集合A＝｛１，a,b｝,B=｛a,a２,ab｝,且A=B，求实数a，b.

２、已知集合A＝｛a+2，（a+1）２，a２+3a+3｝若1∈A,求实数a的值。

【题型二】　元素的特征

１、⑴已知集合M=｛x∈N∣∈Z｝,求M

　　　⑵已知集合C=｛∈Z∣x∈N｝,求C

点拔：

要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数 x，满足是整数，集合

C是的元素是整数，满足条件是x∈N

练习：

１.给出下列四个关系式：

①∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是（）

　　A.1B.2C.3D.4

２.方程组　　　　　　的解组成的集合是（）

A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝

3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是（）

　　A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

4.下列说法正确的是（）

A.｛0｝是空集　B.　｛x∈Q∣∈Z｝是有限集

C.｛x∈Q∣x2+x+2=0｝是空集D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合

二填空题：

５、以实数为元素构成的集合的元素最多有　　个；

６、以实数a２，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有２个元素，则的a值为.

７、集合M=｛y∈Z∣y=,x∈Z｝,用列举法表示是M＝　　　　　　　。

８、已知集合A＝｛2a,a2-a｝，则a的取值范围是　　　　　　　。

三、解答题：

　　９、设A＝｛x∣x2+（b+2）x+b+1=0,b∈R｝求A的所有元素之和。

　10.已知集合A＝｛a,2b-1,a+2b｝B=｛x∣x3-11x2+30x=0｝,若A=B，求a,b的值。

集合间的基本关系

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1），；

（2），；

（3），

观察可得：

⒈子集：

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：

读作：

A包含于B，或B包含A

B

A

表示：

当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B（或B⊉A）

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：

如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B

中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。

如：

A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

⒊真子集定义：

若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。

记作：

AB（或BA）读作：

A真包含于B（或B真包含A）

4.空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集。

记作：

用适当的符号填空：

；0；{}；{}

5.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A，B，C，如果，且，那么。

练习：

填空：

⑴2N；N；A;

⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

AB；AC；{2}C；2C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：

一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，

特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

（二）例题讲解：

【题型１】集合的子集问题

１、写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

２、已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M

３、已知集合A＝｛