线性代数特殊行列式与行列式计算方法总结.docx

1、线性代数特殊行列式与行列式计算方法总结特殊行列式及行列式计算方法总结几类特殊行列式般化结果：0n mBmAn Bm4.0 n mAnCn mAnBmCm nBm0 m n( 1)mn An BmAn Cm n0m n BmAn Cn m范德蒙行列式（教材 P18 例 12）注：4 种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式对角线法则 （教材 P2 、P3）三、 高阶行列式的计算【五种解题方法】1） 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2） 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3） 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式

2、的性质，将行列式降阶进行计算适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素， 并且非零元素的代数 余子式很容易计算；4） 递推法或数学归纳法；5） 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0000D0199920000000 1 02 0 00 0 00 0 00 0 2001列式定义进行计算 解法一：定义法D ( 1) (n 1,n 2,.,2,1, n) 2001! ( 1)0 1 2 . 1999 0 2001! 2001! 解法二：行列式性质法利用行列式性质 2 把最后一行依次与第 n-1, n -2, ,2,1行交换

3、（这里 n=2001）， 即进行 2000 次换行以后，变成副对角行列式。000002019990200000D100000000 2001解法三：分块法利用分块行列式的结果可以得到D=20012000(2000-1)=2001 (-1) 2 2000!=2001！19992000解法四：降阶定理展开 按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例2111 b 1111 1 a D1111分析：该行列式的特点是 1 很多，可以通过 r1 r2和 r3 r4 来将行列式中的很多 1化成 0.解：例3a1a1a0101Dab00bb1111

4、b1100r4 r30a1122aba2b0011000b1100110011a11r2 r1ab0a110011r4 r100111111b0011b3a133a2a12b1a22b2a1b12a2b22D3a3a32b3a3b323a4a42b4a4b42， (ai 0)分析：该类行列式特点是每行 a 的次数递减，b 的次数增加。特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式解：3333D a1 a2 a3 a4(ba1)a1(ba2)a2(b3)a3(ba4)a4(ba1)2 a1 (ba2 )2 a2(b3)2 a3 (ba4 )2 a4(ba1)3a1(ba2

5、)3a2(b3)3a3(ba4)3a43333a1 a2a3 a43333a1 a2a3 a4V(b1,b2 ,b3,b4) a1 a2 a3 a4 (bi abj ) aj1 j i 4 ai练习：（11-12年 IT 专业期末考试题）若实数 x, y, z各不相等，则矩阵 M的行列式 M3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算例4分析：该行列式特点是 a处于主对角线， b 在a后的一个位置，最后一行中 b 是 第一个元素， a 是最后一个元素解：按第一列展开：ab000b0ab00abDn a ( 1)1 1( 1)n 1 b000abab0000aa an

6、 1 ( 1)n1bbn 1an( 1)n1bnxy0000xy0000x00000xyy000xDn例5Dnn列加到第 1列上。(类似题型：教材 P12例 8，P27 8(2)解：5. 箭头形(爪行)行列式 例601111200D1030100n分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为 0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。再加到第 1 列上。1 1 10 1 1 1n 1 1 1 11 1 1 12 3 ni 2 i 2 3 n1 1 0 00 1 0 01 0 1 0n!0 0 1 01 0 0 10 0 0 1D n!n! ( 1i)i 2 i

7、爪形行列式进行计算！ 练习：1) 教材习题 P28: 8(6)2) (11-12 年期末考试题)3) (11-12 年 IT例7a23(n 1)n2a00030a00n100a0n000a0000n 1 00nx1a1a2x2a3a3an anDa1a2x3ana1a2a3xn分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同解：a2a3anx2 a2000x3 a3000xn ax1a1 x1D a1 x1a1 x1x1x1 a1a2a3x2 a2x3 a3xn an (x1 a1) (x2 a2) (xn an)6. 递推法或数学归纳法题。利用同样的方法可以计算教材 P27

8、8(4)。7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法， 是行列式从高阶降到低阶， 但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算例 8 (教材 P28 8(6)以增加一行 1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是式的值不改变，因此增加的列为 1,0,0, ,0.例 9 (教材 P27 6(4)1111abcdD=2222ab2cd24 ab44 cd4分析：此行列式可以应用性质 6 将行列式化为上三角行列式， 也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。解法解法(x a)( x b)( x c)( x d )(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)x3的系数是 D ，因此D等于x3的系数的相反数， 由此可计算得到结果。