线性代数特殊行列式与行列式计算方法总结.docx
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线性代数特殊行列式与行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结
几类特殊行列式
般化结果：
0nm
Bm
AnBm
4.
0nm
An
Cnm
An
Bm
Cmn
Bm
0mn
（1）mnAnBm
AnCmn
0mnBm
AnCnm
范德蒙行列式（教材P18例12）
注：
4种特殊行列式的结果需牢记！
以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！
二、低阶行列式计算
二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）
三、高阶行列式的计算
【五种解题方法】
1）利用行列式定义直接计算特殊行列式；
2）利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
3）利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算
——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；
4）递推法或数学归纳法；
5）升阶法（又称加边法）
【常见的化简行列式的方法】
1.利用行列式定义直接计算特殊行列式例1（2001年考研题）
0
0
0
0
D
0
1999
2000
0
0
0
010
200
000
000
002001
列式定义进行计算解法一：
定义法
D
（1）（n1,n2,...,2,1,n）2001!
（1）012...199902001!
2001!
解法二：
行列式性质法
利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,⋯,2,1行交换（这里n=2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
0
0
0
0
0
2
0
1999
0
2000
0
0
D
10
00
00
00
02001
解法三：
分块法
利用分块行列式的结果可以得到
D=2001
2000（2000-1）
=2001（-1）22000!
=2001！
1999
2000
解法四：
降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。
2.利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式例2
11
1b1
11
11aD
11
11
分析：
该行列式的特点是1很多，可以通过r1r2和r3r4来将行列式中的很多1
化成0.
解：
例3
a
1
a
1a
0
1
0
1
D
ab
0
0
b
b
1
1
1
1b
1
1
0
0
r4r3
0
a
1
1
22
ab
a2b
0
0
1
1
0
0
0
b
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1a
1
1
r2r1
ab
0
a
1
1
0
0
1
1
r4r1
0
0
1
1
1
1
1
1b
0
0
1
1b
3
a13
3
a2
a12b1
a22b2
a1b12
a2b22
D
3
a3
a32b3
a3b32
3
a4
a42b4
a4b42
，（ai0）
分析：
该类行列式特点是每行a的次数递减，
b的次数增加。
特点与范德蒙行列
式相似，因此可以利用行列式的性质将
D化成范德蒙行列式
解：
3333
Da1a2a3a4
（ba1）
a1
（ba2）
a2
（b3）
a3
（ba4）
a4
（ba1）2a1（ba2）2a2
（b3）2a3（ba4）2a4
（ba1）3
a1
（ba2）3
a2
（b3）3
a3
（ba4）3
a4
3333
a1a2a3a4
3333
a1a2a3a4
V（b1,b2,b3,b4）a1a2a3a4（biabj）aj
1ji4ai
练习：
（11-12年IT专业期末考试题）
若实数x,y,z各不相等，则矩阵M
的行列式M
3.利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算
例4
分析：
该行列式特点是a处于主对角线，b在a后的一个位置，最后一行中b是第一个元素，a是最后一个元素
解：
按第一列展开：
a
b
0
0
0
b
0
a
b
0
0
ab
Dna
（1）11
（1）n1b
0
0
0
a
b
ab
0
0
0
0
a
aan1
（1）
n1
b
bn1
an
（1）
n1
bn
x
y
0
0
0
0
x
y
0
0
0
0
x
0
0
0
0
0
x
y
y
0
0
0
x
Dn
例5
Dn
n列加到第1列上。
（类似题型：
教材P12例8，P278
（2））
解：
5.箭头形（爪行）行列式例6
0
1
1
1
1
2
0
0
D
1
0
3
0
1
0
0
n
分析：
该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为
0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。
再加到第1列上。
111
0111
n1111
1111
23n
i2i23n
1100
0100
1010
n!
0010
1001
0001
Dn!
n!
（1i）
i2i
爪形行列式进行计算！
练习：
1）教材习题P28:
8（6）
2）（11-12年期末考试题）
3）（11-12年IT
例7
a
2
3
（n1）
n
2
a
0
0
0
3
0
a
0
0
n1
0
0
a
0
n
0
0
0
a
00
00
n10
0n
x1
a1
a2
x2
a3
a3
anan
D
a1
a2
x3
an
a1
a2
a3
xn
分析：
该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同
解：
a2
a3
an
x2a2
0
0
0
x3a3
0
0
0
xna
x1
a1x1
Da1x1
a1x1
x1
x1a1
a2
a3
x2a2
x3a3
xnan
（x1a1）（x2a2）（xnan）
6.递推法或数学归纳法
题。
利用同样的方法可以计算教材P278（4）。
7.升阶法
通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行
列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算
例8（教材P288（6））
以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。
注意：
行列式是
式的值不改变，因此增加的列为1,0,0⋯,,0.
例9（教材P276（4））
1
1
1
1
a
b
c
d
D=
2
2
2
2
a
b2
c
d2
4a
b4
4c
d4
分析：
此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙
行列式的形式，
通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计
算。
解法
解法
（xa）（xb）（xc）（xd）（ba）（ca）（da）（cb）（db）（dc）
x3的系数是D，因此D等于x3的系数的相反数，由此可计算得到结果。
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