高中数学第三章基本初等函数Ⅰ疑难规律方法学案新人教B版必修1.docx

1、高中数学第三章基本初等函数疑难规律方法学案新人教B版必修1第三章 基本初等函数（）1指数与指数运算疑点透析一、如何理解n次方根的概念若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x吗？这个回答是不完整的正确表示应如下：x主要性质有：当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|二、如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法规定(a0，m，nN，且n1)，(a0，m，nN，且n1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定三、分数指

2、数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有理指数幂的运算性质进行运算其运算形式为arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，式中a0，b0，r、sQ，对于这三条性质，不要求证明，但需记准不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式四、指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数例1 化简解原式例2 求的值解原式(3)333.例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2解读指数函数的四个难点在学习了指

3、数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握难点之一：概念指数函数yax有三个特征：指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；底数：底数为常数，大于0且不等于1；系数：系数只能是1.例1 给出五个函数：y26x；y(6)x；yx；yxx；y22x1.以上是指数函数的个数是_分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，判断是否满足指数函数的定义解析对于，系数不是1；对于，底数小于0；对于，底数x不是常数；对于，指数是x的一次函数，故、都不是指数函数正确的是，只有符合指数函数的定义答案1难点之二：讨论指数函数yax(a0，且a1)，当a1时，是增函数；当0a1时，

4、是减函数例2 函数yax(a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大，求a的值分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.解当a1时，函数yax在1,2上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2a，即a2，所以a；当0a1时，函数yax在1,2上的最大值是a，最小值是a2，依题意得aa2，即a2，所以a.综上可知，a或a.难点之三：复合指数函数yax(a0，且a1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则例3 求函数y()的单调递减区间分析指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数此题

5、先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解解由x2x20知，函数的定义域是1,2令ux2x2(x)2，则y()，当x1，时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为1，难点之四：图象指数函数yax(a0，且a1)的图象特征是：当a1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排当0a1时恰好相反例4 利用指数函数的图象比较0.70.3与0.40.3的大小分析可在同一坐标系中作出y0.7x及y0.4x的图象，从图象中得出结果解如图所示，作出y0.7x、y0.4x及x0.3的图象，易知0.70.30.40.3.评注图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的

6、函数应是y0.4x，而不是y0.7x，这一点应注意3对数与对数运算学习讲解1对数的定义一般地，如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数解读：(1)由对数定义可以知道，当a0，且a1时，axNxlogaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，alogaNN，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式2对数的性质(1)零和负数没有对数由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以axN(a0，且a1)中N总是正数；(2)1的对数为0.由

7、于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga10；(3)底数的对数等于1.由于a1a对于任何非零实数都成立，所以logaa1.3对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)logalogaMlogaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMnnlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log33；(2)log2325；(3)63216；(4)1030.001.

8、解(1)33；(2)2532；(3)log62163；(4)log100.0013，也可写成lg 0.0013.评注本题考查了对数式与指数式的互化解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数例2 求下列各式的值：(1)3log72log792log7；(2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)原式log723log79log7()2log7log710；(2)原式2lg 52lg 2lg 5(lg 52lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)(lg 5)22lg 5lg 2(lg 2)22(lg 5lg 2)23.评注利用对

9、数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性4换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助一、换底公式及证明换底公式：logbN.证明设logbNx，则bxN.两边均取以a为底的对数，得logabxlogaN，xlogablogaN.x，即logbN.二、换底公式的应用举例1乘积型例1 (1)计算：log89log2732；(2)求证：logablogbclogcdlo

10、gad.分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决解(1)换为常用对数，得log89log2732.(2)由换底公式，得logablogbclogcdlogad.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决2知值求值型例2 已知log1227a，求log616的值分析本题可选择以3为底进行求解解log1227a，解得log32.故log616.评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决3综合型例3 设A，B，试比较A与B的大小分析本题可选择以19及为底进行解题解A换成以19为底，B换成以为底，则有Alog1952log1933log192log

11、193602，Blog2log5log10log22.故AB.评注一般也有倒数关系式成立，即logablogba1，logab.5精析对数函数一、对数函数的概念函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，)由对数的定义容易知道对数函数ylogax(a0，且a1)是指数函数yax(a0，且a1)的反函数在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数二、对数函数的图象和性质1对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合利用图象记忆性质x1是“分水岭”；(2)函数的单调性决定于底数a大

12、于1还是大于0小于1；(3)指数函数yax与对数函数ylogax(其中a0，且a1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别2对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0ab1cd.在具体解题时，还可利用特殊值法例1 函数ylog(x1)(4x)的定义域是_解析由可得所以函数的定义域是x|1x4，且x2答案x|1x4，且x2评注函数定义域

13、就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2 函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象如图所示，则a、b、c、d与正整数1的大小顺序是()A1dcab Bcd1abCcd1ba Ddc1ab解析作出直线y1，可知其与对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是cd1ab.答案B评注利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决6对数函数中化难为易三策略对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不

14、当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助一、数形结合策略例1 若不等式2xlogax0在x(0，)时恒成立，求实数a的取值范围解要使不等式2xlogax在x(0，)时恒成立，即函数ylogax的图象在(0，)内恒在函数y2x的图象上方，如图所示而y2x的图象过点，即需loga，显然这里0a1，则函数ylogax递减又因为logaloga a，所以a，即a().故所求a的取值范围为评注数形结合的思想，其实质是将抽象的数