高中数学第三章基本初等函数Ⅰ疑难规律方法学案新人教B版必修1.docx

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高中数学第三章基本初等函数Ⅰ疑难规律方法学案新人教B版必修1

第三章基本初等函数（Ⅰ）

1　指数与指数运算疑点透析

一、如何理解n次方根的概念

若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？

是x＝吗？

这个回答是不完整的．正确表示应如下：

x＝

主要性质有：

①当n为奇数时，＝a；

②当n为偶数时，＝|a|＝

二、如何理解分数指数幂的意义

分数指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1），＝＝（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1），在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．

三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同

相同：

分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有理指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为ar·as＝ar＋s；（ar）s＝ars；（ab）r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．

不同：

整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．

四、指数幂的运算

在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

例1化简

解　原式

例2求的值．

解　原式＝

＝（3）＝3＝3＝3.

例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.

2　解读指数函数的四个难点

在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．

难点之一：

概念

指数函数y＝ax有三个特征：

①指数：

指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：

底数为常数，大于0且不等于1；③系数：

系数只能是1.

例1给出五个函数：

①y＝2×6x；②y＝（－6）x；③y＝πx；

④y＝xx；⑤y＝22x＋1.

以上是指数函数的个数是________．

分析　根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，判断是否满足指数函数的定义．

解析　对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．

答案　1

难点之二：

讨论

指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1），当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．

例2函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．

分析　遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.

解　当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.

综上可知，a＝或a＝.

难点之三：

复合

指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．

例3求函数y＝（）的单调递减区间．

分析　指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．

解　由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．

令u＝－x2＋x＋2＝－（x－）2＋，则y＝（），

当x∈[－1，]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为[－1，]．

难点之四：

图象

指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象特征是：

当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时恰好相反．

例4利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．

分析　可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．

解　如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，

易知0.7－0.3＜0.4－0.3.

评注　图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．

3　对数与对数运算学习讲解

1．对数的定义

一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

解读：

（1）由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；

（2）根据对数定义可以知道，alogaN＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．

2．对数的性质

（1）零和负数没有对数．由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N（a＞0，且a≠1）中N总是正数；

（2）1的对数为0.由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；（3）底数的对数等于1.由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.

3．对数的运算性质

若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；

（2）loga＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；

（3）logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．

例1将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：

（1）log3＝－3；

（2）log232＝5；

（3）63＝216；（4）10－3＝0.001.

解　

（1）3－3＝；

（2）25＝32；（3）log6216＝3；

（4）log100.001＝－3，也可写成lg0.001＝－3.

评注　本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．

例2求下列各式的值：

（1）3log72－log79＋2log7；

（2）lg25＋lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2.

解　

（1）原式＝log723－log79＋log7（）2

＝log7＝log71＝0；

（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·（lg5＋2lg2）＋（lg2）2

＝2（lg5＋lg2）＋（lg5）2＋2lg5·lg2＋（lg2）2

＝2＋（lg5＋lg2）2＝3.

评注　利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．

4　换底公式的证明及其应用

换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．

一、换底公式及证明

换底公式：

logbN＝.

证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.

∴x＝，即logbN＝.

二、换底公式的应用举例

1．乘积型

例1

（1）计算：

log89·log2732；

（2）求证：

logab·logbc·logcd＝logad.

分析　先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．

解　

（1）换为常用对数，得log89·log2732＝·

＝·＝×＝.

（2）由换底公式，得logab·logbc·logcd＝··＝logad.

评注　此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．

2．知值求值型

例2已知log1227＝a，求log616的值．

分析　本题可选择以3为底进行求解．

解　log1227＝＝a，解得log32＝.

故log616＝＝＝＝.

评注　这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．

3．综合型

例3设A＝＋＋，B＝＋，试比较A与B的大小．

分析　本题可选择以19及π为底进行解题．

解　A换成以19为底，B换成以π为底，

则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，

B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.

故A＜B.

评注　一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝.

5　精析对数函数

一、对数函数的概念

函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，＋∞）．

由对数的定义容易知道对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）是指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．

二、对数函数的图象和性质

1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项

（1）数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭”；

（2）函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；

（3）指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（其中a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．

2．对数函数图象分布规律

如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：

在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在（0,1）之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具体解题时，还可利用特殊值法．

例1函数y＝log（x－1）（4－x）的定义域是________．

解析　由可得

所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．

答案　{x|1＜x＜4，且x≠2}

评注　函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.

例2函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a、b、c、d与正整数1的大小顺序是（　　）

A．1＜d＜c＜a＜bB．c＜d＜1＜a＜b

C．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b

解析　作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.

答案　B

评注　利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决．

6　对数函数中化难为易三策略

对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误．这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助．

一、数形结合策略

例1若不等式2x－logax＜0在x∈（0，）时恒成立，求实数a的取值范围．

解　要使不等式2x＜logax在x∈（0，）时恒成立，

即函数y＝logax的图象在（0，）内恒在函数y＝2x的图象上方，如图所示．

而y＝2x的图象过点，即需loga≥，

显然这里0＜a＜1，则函数y＝logax递减．

又因为loga≥＝logaa，所以a≥，

即a≥（）.

故所求a的取值范围为

评注　数形结合的思想，其实质是将抽象的数