word完整版高等数学教案ch5定积分.docx

1、word完整版高等数学教案ch5定积分第五章 定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点 ：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、 定 积分的概念2、 积 分中值定理3、 定 积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 y f(x)在区间 a b上非负

2、、连续 由直线 x a、 x b、y 0及曲线 y f (x)所围成 的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小 曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似 值 具体方法是 在区间 a b中任意插入若干个分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b把 a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn 1 xn它们的长度依次为 x1 x1 x0 x2 x2 x1 xn xn xn 1经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n

3、 个窄曲边梯形 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i 以xi1 xi 为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第 i个窄曲边梯形 (i 1 2 n) 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即 nA f ( 1) x1 f ( 2) x2 f ( n ) xn f ( i ) xii1求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边相当于令梯形的宽度趋于零 记max x1 x2 xn 于是0 所以曲边梯形的

4、面积为上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零nA lim f ( i) xi0i 12 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度 段时间内物体所经过的路程 S求近似路程我们把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔 ti 在每个小的时间间隔 ti 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔 ti 内某点 i 的速度 v( i) 物体在时间间隔 ti 内 运动的距离近似为 Si v( i) ti 把物体在每一小的时间间隔 ti 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔 T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是在时间间隔 T 1 T 2内任意插入若干个分点tn

5、 1 t n T 2把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 tn 1 t n各小段时间的长依次为t 1 t 1 t 0 t 2 t 2 t 1 tn t n t n 1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为Anf(i1i) xi(3) 记 max x1x2xn 所以曲边梯形面积的精确值为Anlim0i1f( i)xif( i) xi (i 1 2 n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为把区间 a b 分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 xn 1 xn各小段区间的长依次为x1 x1 x0 x2 x2 x1xn xn xn 1 作函数值 f ( i)与小区间长度在

6、每个小区间 xi 1 xi 上任取一个点 i (xi 1 i xi)f ( i) xi (i 1 2 n) 并作出和nS f(i) xii1记 max x1 x2 xn 如果不论对 a b怎样分法 也不论在小区间 xi 1 xi 上点 i 怎样取 法 只要当 0时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间 a b上 的定积分 记作 bf (x)dxb即 a f (x)dx lim f( i) xia 0i 1其中 f ( x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上 限 a b 叫做积分区间定义 设函

7、数 f(x)在a b上有界 用分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b把a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn 1 xn 记 xi xi xi 1(i 1 2 n)任 i xi 1 xi (i 1 2 n) 作和nS f( i) xii1记 max x1 x2 xn 如果当 0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间 a b 的b分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数 f(x)在区间 a b上的定积分 记作 f(x)dxab 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 A a f ( x)dxaT2变速直线运动的路程为 S T 2v(t)dtT1bbab f (t)dt ab

8、f (u)du aan(2) 和 f( i) xi 通常称为 f (x)的积分和i1(3)如果函数 f (x)在a b上的定积分存在 我们就说 f ( x)在区间 a b上可积 函数 f(x)在a b上满足什么条件时 f (x)在a b上可积呢？ 定理 1 设f (x)在区间a b上连续 则f (x) 在a b上可积定理 2 设 f (x)在区间 a b上有界 且只有有限个间断点 则 f (x) 在 a b上可积定积分的几何意义b在区间 a b上 当 f(x) 0时 积分 a f (x)dx在几何上表示由曲线 y f (x)、两条直线 x a、x b 与 ax 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f

9、(x) 0 时 由曲线 y f (x) 、两条直线 x a、x b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值条直线 x a、 x b 之间的各部分面积的代数和 用定积分的定义计算定积分例 1. 利用定义计算定积分 x2dx 0三、定积分的性质两点规定b(1)当 a b时 af (x)dx 0 a(2)当 a b时 ab f (x)dx ba f(x)dx性质 1 函数的和 ( 差)的定积分等于它们的定积分的和 (差 ) 即b b baf (x) g(x)dx af(x)dx ag(x)dxnnlim0 f( i ) xi lim0 g( i) x

10、i 0i 1 0i 1所以性质4 如果在区间ab 上 f(x)1 则bba1dx adx ba性质5 如果在区间ab上f (x)0则ba f(x)dx 0(ab)推论1 如果在区间ab上f (x)g(x) 则bba f(x)dx ag(x)dx(a b)这是因为 g (x) f (x) 0 从而b b bag(x)dx a f ( x)dx a g( x) f (x)dx 0bb推论 2 | a f ( x)dx | a| f(x)|dx(a b)这是因为 |f (x)| f (x) |f (x)| 所以 b b ba|f (x)|dx af (x)dx a|f(x)|dxbb即 |a f(x

11、)dx| a|f(x)|dx|性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间 a b上的最大值及最小值 则bm(b a) a f (x)dx M(b a) (a b)a证明 因为 m f (x) M 所以b b bmdx f (x)dx Mdxa a a从而bm(b a) a f (x)dx M (b a)a性质 7 (定积分中值定理 ) 如果函数 f(x)在闭区间 a b上连续 则在积分区间 a b上至少 存在一个点 使下式成立ba f(x)dx f( )(b a)这个公式叫做积分中值公式证明 由性质 6bm(b a) f (x)dx M (b a)a于是两端乘以 b a 得中值公式f

12、 (x)dx f( )(b a)积分中值公式的几何解释应注意 不论 ab 积分中值公式都成立5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 v v(t) S(t)(v(t) 0) 则在时间间隔 T1 T2内物体所经过的路程 S 可表示为T2S(T2) S(T1) 及 T2v(t)dtT即 T 2v(t)dt S(T2) S(T1)T1上式表明 速度函数 v(t)在区间 T1 T2上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间 T1 T2上的增 量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分

13、上限函数及其导数设函数 f(x)在区间 a b上连续 并且设 x 为a b上的一点 我们把函数 f(x)在部分区间 a x 上的定积分f(x)dxxx(x) af (x)dx 或 (x) af (t)dt定理 1 如果函数 f(x)在区间 a b 上连续 则函数 x(x) a f(x)dx在 a b上具有导数 并且它的导数为(x)dx a f(t)dtf(x)(a x0 则同理可证(x)f(a) 若 x b 取 x0 则同理可证定理 2 如果函数 f(x)在区间 a b上连续 则函数x(x) a f(x)dx 就是 f (x)在 a b上的一个原函数 定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一 中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿 莱布尼茨公式定理 3 如果函数 F (x)是连续函数 f( x)在区间 a b上的一个原函数 babf(x)dx F(b) F(a)此公式称为牛顿 莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式x这是因为 F(x)和 (x) axf (t)dt 都是