word完整版高等数学教案ch5定积分.docx
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word完整版高等数学教案ch5定积分
第五章定积分
教学目的：
1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：
1、定积分的性质及定积分中值定理
2、定积分的换元积分法与分部积分法。
3、牛顿—莱布尼茨公式。
教学难点：
1、定积分的概念
2、积分中值定理
3、定积分的换元积分法分部积分法。
4、变上限函数的导数。
§51定积分概念与性质
一、定积分问题举例
1曲边梯形的面积
曲边梯形设函数yf（x）在区间[ab]上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf（x）所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边
求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[ab]中任意插入若干个分点
ax0x1x2xn1xnb
把[ab]分成n个小区间
[x0x1][x1x2][x2x3][xn1xn]
它们的长度依次为x1x1x0x2x2x1xnxnxn1
经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间[xi1xi]上任取一点i以[xi1xi]为底、f（i）为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形（i12n）把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即n
Af
（1）x1f
（2）x2f（n）xnf（i）xi
i1
求曲边梯形的面积的精确值
显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯
形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边
相当于令
梯形的宽度趋于零记
max{x1x2xn}于是
0所以曲边梯形的面积为
上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零
n
Alimf（i）xi
0i1
2变速直线运动的路程
设物体作直线运动已知速度段时间内物体所经过的路程S
求近似路程
我们把时间间隔[T1T2]分成n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体运动看
成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v（i）物体在时间间隔ti内运动
的距离近似为Siv（i）ti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时
间间隔[T1T2]内所经过的路程S的近似值具体做法是
在时间间隔[T1T2]内任意插入若干个分点
tn1tnT2
把[T1T2]分成n个小段
[t0t1][t1t2][tn1tn]
各小段时间的长依次为
t1t1t0t2t2t1tntntn1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为
A
n
f（
i1
i）xi
（3）记max{x1
x2
xn}
所以曲边梯形面积的精确值为
A
n
lim
0
i1
f（i）
xi
f（i）xi（i12n）所求曲边梯形面积A的近似值为
把区间[ab]分成n个小区间
[x0x1][x1x2][xn1xn]
各小段区间的长依次为
x1x1x0x2x2x1
xnxnxn1作函数值f（i）与小区间长度
在每个小区间[xi1xi]上任取一个点i（xi1ixi）
f（i）xi（i12n）并作出和
n
Sf（i）xi
i1
记max{x1x2xn}如果不论对[ab]怎样分法也不论在小区间[xi1xi]上点i怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f（x）在区间[ab]上的定积分记作bf（x）dx
b
即af（x）dxlimf（i）xi
a0i1
其中f（x）叫做被积函数f（x）dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限[ab]叫做积分区间
定义设函数f（x）在[ab]上有界用分点ax0x1x2xn1xnb把[ab]分成n个小区
间[x0x1][x1x2][xn1xn]记xixixi1（i12n）
任i[xi1xi]（i12n）作和
n
Sf（i）xi
i1
记max{x1x2xn}如果当0时上述和式的极限存在且极限值与区间[ab]的
b
分法和i的取法无关则称这个极限为函数f（x）在区间[ab]上的定积分记作f（x）dx
a
b根据定积分的定义曲边梯形的面积为Aaf（x）dx
a
T2
变速直线运动的路程为ST2v（t）dt
T1
bb
abf（t）dtabf（u）duaa
n
（2）和f（i）xi通常称为f（x）的积分和
i1
（3）如果函数f（x）在[ab]上的定积分存在我们就说f（x）在区间[ab]上可积函数f（x）在[ab]上满足什么条件时f（x）在[ab]上可积呢？
定理1设f（x）在区间[ab]上连续则f（x）在[ab]上可积
定理2设f（x）在区间[ab]上有界且只有有限个间断点则f（x）在[ab]上可积
定积分的几何意义
b
在区间[ab]上当f（x）0时积分af（x）dx在几何上表示由曲线yf（x）、两条直线xa、xb与a
x轴所围成的曲边梯形的面积当f（x）0时由曲线yf（x）、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值
条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分
例1.利用定义计算定积分x2dx0
三、定积分的性质
两点规定
b
（1）当ab时af（x）dx0a
（2）当ab时abf（x）dxbaf（x）dx
性质1函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）即
bbb
a[f（x）g（x）]dxaf（x）dxag（x）dx
nn
lim0f（i）xilim0g（i）xi0i10i1
所以
性质
4如果在区间
[a
b]上f
（x）
1则
bb
a1dxadxb
a
性质
5如果在区间
[a
b]上
f（x）
0则
b
af（x）dx0（a
b）
推论
1如果在区间
[a
b]上
f（x）
g（x）则
bb
af（x）dxag（x）dx
（ab）
这是因为g（x）f（x）0从而
bbb
ag（x）dxaf（x）dxa[g（x）f（x）]dx0
bb
推论2|af（x）dx|a|f（x）|dx（ab）
这是因为|f（x）|f（x）|f（x）|所以bbb
a|f（x）|dxaf（x）dxa|f（x）|dx
bb
即|af（x）dx|a|f（x）|dx|
性质6设M及m分别是函数f（x）在区间[ab]上的最大值及最小值则
b
m（ba）af（x）dxM（ba）（ab）
a
证明因为mf（x）M所以
bbb
mdxf（x）dxMdx
aaa
从而
b
m（ba）af（x）dxM（ba）
a
性质7（定积分中值定理）如果函数f（x）在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点使下式成立
b
af（x）dxf（）（ba）
这个公式叫做积分中值公式
证明由性质6
b
m（ba）f（x）dxM（ba）
a
于是两端乘以ba得中值公式
f（x）dxf（）（ba）
积分中值公式的几何解释
应注意不论ab积分中值公式都成立
§52微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的路程为S（t）速度为vv（t）S（t）（v（t）0）则在时间间隔[T1T2]内物体所经过的路程S可表示为
T2
S（T2）S（T1）及T2v（t）dt
T
即T2v（t）dtS（T2）S（T1）
T1
上式表明速度函数v（t）在区间[T1T2]上的定积分等于v（t）的原函数S（t）在区间[T1T2]上的增量
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
二、积分上限函数及其导数
设函数f（x）在区间[ab]上连续并且设x为[ab]上的一点我们把函数f（x）在部分区间[ax]上的定积分
f（x）dx
xx
（x）af（x）dx或（x）af（t）dt
定理1如果函数f（x）在区间[ab]上连续则函数x
（x）af（x）dx
在[ab]上具有导数并且它的导数为
（x）
dxaf（t）dt
f（x）（ax简要证明
若x
（ab）
取
x使xx
（ab）
xx
x
（x
x）
（x）
af（t）dt
af（t）dt
x
xx
x
a
f（t）dt
xf（t）dt
axf（t）dt
x
x
x
f（t）dtf（）x
应用积分中值定理有
f（）x
其中在x与x
x之间
x0时
x
于是
（x）
lim
limf（）
lim
f（）f（x）
x0x
x0
x
若xa取
x>0则同理可证
（x）
f（a）若xb取x<0则同理可证
定理2如果函数f（x）在区间[ab]上连续则函数
x
（x）af（x）dx就是f（x）在[ab]上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的另一中的定积分与原函数之间的联系
三、牛顿莱布尼茨公式
定理3如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[ab]上的一个原函数b
abf（x）dxF（b）F（a）
此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式
x
这是因为F（x）和（x）axf（t）dt都是
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