华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案Word文档格式.docx

1、是两个正项级数.如果则1若0 v 1 v +1级数si S同敛散。2若1 = 0且级数S收敛,级数S，也收敛。3若1 = + 0C且级数S发散，级数S也发散。Q比式判别法和根式判别法（1）比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N（）及常数q （0q No , SPWun+1/un No ,都有5+ /11診1 ,则i.发散。（2 ）比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则1若q V 1 ,则工Un收敛。2若q 1或q =+oo,则工片发散。3若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。（3）根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N（）及正常数1 ,若对任意n N（”都有阪5*1 ,则工收敛

2、。若对任意n （八都有甌2Z，则叫发散。（4）根式判别法的极限形式 设g为正项级数,且凹呱7 ,则1若1 v 1 ,则Un收敛。2苟 1 ,则工U“发散。3若1 = 1 ,则无法判断工的发散性。积分判别法 设伪1 , +00）上非负减函数，那么正项级数工f （ D ）与反常积分/（.丫阻同敛散。三、一股项级数n交错级数莱布尼茨判别法若交错级数满足：切单调递减；丘巴耳=o，则级数收敛。绝对收敛级数及其性质（1 ）若级数工UJ收敛，则工为绝对收敛级数。（2 ）绝对收敛级数的性质1绝对收敛级数一走收敛，但反之却一股不成立,原级数收敛而不绝对收敛的情况，称为条件收敛。2级数的重排:设级数绝对收敛，且冥

3、和等于S ,则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相 同的和数。阿贝尔判别法和狄利克雷判别法（1）阿贝尔判别法若“为单调有界，且工订收敛，则级数工收敛。（2）狄利克雷判别法 若%单调递减且ULO ,工V的部分和数列有界,则级数收敛。12.2课后习题详解1级数的收敛性H证明下列级数的收敛性，并求其和: （1 ） - + - + -十+ F16 6-11 11-16 （5“一4）（5 + 1）（2）時-扣各-*2 -（-*）-1（3）y ! 台 m（w + 1Xw + 2）（4）工缶 + 2 + +亦）y2n-l证明:（1）=+ + + + 1-6 611 1116 （5”-4X5/2 + 1）

4、弓（T哙扣+（r禽） = i（l）5 5/2 + 1limS,. = lim-（l-）=-”十 宀5 5z? + l 5所以原级数收敛，且和数S = 1/50（2）故原级数的前n项和1 1 n 1 S”=2S；_ 石歹=2（2-戸丁 ）_（1-歹） 1 2”1=3_盯_Em S =3,所以原级数收敛且和数S = 3。证明：若级数工叫发散，c#）,则工cu“也发散。假设工仙收敛,因GO z故级数工（CUn ） /C = IX收敛，这与题设工发散矛盾r所以若工叫发散r 工CUn也发散（C=0 ） 0设级数工g与级数工I都发散，试问工（Un + Vn ） 一走发散吗？又若5与 （ 数，则能得出什么结

5、论？ 解：（1）当昭与Vn都发散时%）不一走发散，如驰=（-i）Mvn = z（ -i）n+,两 级数均发散Jz （ Un + vn ） =Z0 = O ,即工（un + vn ）收敛。又如/工叫=工Vn = l/n f两级数均发散,且工（un + vn ）=2/n发散。（2 ）当Un与Vn （n=l , 2 ,.）均非负时,则K （ Un + Vn ）走发散,这是因为：由工发散知,存在 0,对任意自然数N ,总存在自然数m （mN）和p使I Ufn + 1 + Um + 2 + + + p I 而由q与V （ n= 1 , 2 f .）非负有（Um + 1 + vm + 1 ） + （ Um

6、 + 2 + vm + 2 ） + + （ + p + vm + p）I I + 1 + + 2 + + + p I + I m * 1 + vm + 2 + + vm + p I 由柯西准则知（Un + Vn）发散。若数列aj收敛于a则级数_%.）二勺=：级数的前n项和Sn二（aj - a2 ） + （ a2 - a3 ） + + （ an - an+l ） =aj - an+i # 而电溫-训勞旦歹）血一5卩8=_lim s H lim（a I Ft） Mala3X8 IK X（1）爆M（b*&）建。（2 ）llleb 憩母 iM （ 一、p I l/bn ） H57吊温-（一）爭爭3雪一

7、一炷音snu （b2 -三）+ （ b3 - b2 ）+ + （ bn+1 - bn ） HF+- b一hm Sy n mxe11 q ） H 8（2 ）培磔3郢 nR*口Sn （ 5- I 一孑）+ （ -Zb2 I 133 ） + + （ 一3n I 一3n+ 1 ） H 5- I l、bn+ 一lim S n limT-I -） nI-s8 ; !-r一 b一 s2（ _/bn 二f ） Hfo（一）如 1n（a4n l）（a +=）（2）M（lr亍一2J + 1+1）（3） M心？ 2（22 +二解：（d + n -1）（。+ ?） a + ” 一 1 a+ H&n = 1/ （ a

8、+ n - 1 ） r 则a= 1/a，卿$ =0 .由第4题可得,原式=l/a0,、i 2H-r 1 z 、（?-rl）-rW（7 - = （-1） 心+ 1） 力（刃+1）=（-1广丄+（-1严 丄 n n + 1一（7小丄+（-1）小亠 n +1=-（-1广一（1严亠 n M-rl记对=（-1 ） % r则山=-I fh叫4=0 r由第4题可得，原式二-（-I ） -O=l0 巧一（3）2卄1 _ 1 1（/ +1）（?: + 1）2+1 / +1 （h + 1）2 + 1记= n2+ 1 贝 Ulimb =+”/ =2i刀 -1由第5题可得，原式=1/2。应用柯西准则判别下列级数的敛散

9、性。（1） Zsin2n/2n02“+1（3）Z（ -1） %。X（1）任意的自然数P,又 = 0 r从而任给的o ,存在NGZ+ r当mN时,对任意的正整数P ,有2由柯西准则得原级数收敛。（2 ）当 p二 1 时，二 （心1）2 二 1二 2（也+ 1）2 + （加+ 1）2 一 3由柯西准则知原级数发散。（3 ）任给的自然数P （不管是奇数还是偶数）,1 1 1_m + 1 ？ + 2 w-31111 心 1= + + + （ 1Y 加+ 1 w-r2 w + 3 7刃+ 4 mp1,111 / 心 1 、= 一（ 一 + T （一 1） ）w + 1 加+ 2 加+ 3 w4 m +

10、p故任给的正数 0 ,取N二1/s r当m N时及任意的自然数p f由柯西准则知原级数收敛。（1）当p = m时，2（w +w）2 加二12恥一 2忑，对任意正数N，总存在m二N + 1及P二m ,使Z N总有I UN + 4 + + Un | N ,总有I Un + Un + 1 + Un | m N的 m有 | un + un+ i + + 从 | 。从而I um+ 1 +um*2+ - +un I = I （ N + uN+l + - +Un ）（Un + Un + + + ） | | UN + U+1 + .+Um I + 丨un + un +1 + + un | M时，I Um+ 1 + Um + 2 + . + un I Nj + 1 ,则对任意n N f 有 I UN + UN+1 + + Un I e举例说明：若级数IX对每个固走的P满足条件lim（g+ +“）= 0此级数仍可能不收敛。如级数工（1/0 ）若p为某一个固走的数,则lim（wr+1+-.+w ）F1T8 L= litn（!+ +!）n+l p=lirn !+ + litn- =0lx ” + 1 幷 f l + n但级数工（1/n ）发散。设级数工满足：加括号后级数十十心）收敛（3=0 ）,且在同一括号中的 山心符号相同证明工*亦收敛。