华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案Word文档格式.docx
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是两个正项级数.如果
则
1若0v1v+1级数siS"
同敛散。
2若1=0且级数S"
收敛,级数S，也收敛。
3若1=+0C且级数S"
发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法
（1）比式判别法
设工*为正项级数，且存在正整数N（）及常数q（0<
q<
l），则
1若对任意n>
No,SPWun+1/un<
q,则工％收敛。
2若对任意n>
No,都有5+]/11診1,则》i.发散。
（2）比式判别法的极限形式
若Xw为正项级数,且,则
1若qV1,则工Un收敛。
2若q>
1或q=+oo,则工片发散。
3若q=1,则无法判断工叫的发散性。
（3）根式判别法
设工g为正项级数,且存在正整数N（）及正常数1,
①若对任意n>
N
（”都有阪5*1,则工％收敛。
②若对任意n>
（八都有甌2Z，则》叫发散。
（4）根式判别法的极限形式设》g为正项级数,且凹呱7,则
1若1v1,则》Un收敛。
2苟>
1,则工U“发散。
3若1=1,则无法判断工％的发散性。
积分判别法设伪[1,+00）上非负减函数，那么正项级数工f（D）与反常积分「/（.丫阻同敛散。
三、一股项级数
n交错级数
莱布尼茨判别法
若交错级数满足：
①｛切｝单调递减；
②丘巴耳=o，则级数收敛。
绝对收敛级数及其性质
（1）若级数工UJ收敛，则工％为绝对收敛级数。
（2）绝对收敛级数的性质
1绝对收敛级数一走收敛，但反之却一股不成立,原级数收敛而不绝对收敛的情况，称为条件收敛。
2级数的重排:
设级数绝对收敛，且冥和等于S,则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
（1）阿贝尔判别法
若｛“｝为单调有界，且工\订收敛，则级数工收敛。
（2）狄利克雷判别法若｛%｝单调递减且ULO,工V"
的部分和数列有界,则级数收敛。
12.2课后习题详解
§
1级数的收敛性
H证明下列级数的收敛性，并求其和:
（1）-^―+—-—+—-—十…+F
1・66-1111-16（5“一4）（5"
+1）
（2）時-扣各-*2-（£
-*）-
1
（3）y!
台m（w+1Xw+2）
（4）工〔缶+2+]+亦）
y2n-l
证明:
（1）
=—+++・・•+
1-66111116（5”-4X5/2+1）
弓（T哙扣…+（€r禽）]=i（l）
55/2+1
limS,.=lim-（l-—-—）=-
”十宀《＞55z?
+l5
所以原级数收敛，且和数S=1/50
（2）
故原级数的前n项和
11n1S”=2S；
_石歹=2（2-戸丁）_（1-歹）
°
12”—1
=3_盯_——
EmS„=3
所以原级数收敛且和数S=3。
证明：
若级数工叫发散，c#）,则工cu“也发散。
假设工仙收敛,因GOz故级数工（CUn）/C=IX收敛，这与题设工％发散矛盾r所以若工叫发散r工CUn也发散（C=0）0
设级数工g与级数工'
I都发散，试问工（Un+Vn）一走发散吗？
又若5与％（数，则能得出什么结论？
解：
（1）当昭与》Vn都发散时%）不一走发散，如驰=》（-i）Mvn=z（-i）n+,两级数均发散J§
z（Un+vn）=Z0=O,即工（un+vn）收敛。
又如/工叫=工Vn=£
l/nf两级数均发散,且工（un+vn）=》2/n发散。
（2）当Un与Vn（n=l,2,...）均非负时,则K（Un+Vn）—走发散,这是因为：
由工％发散知,存在£
>
0,对任意自然数N,总存在自然数m（m>
N）和p使
IUfn+1+Um+2+…++pI—
而由q与V"
（n=1,2f...）非负有
（Um+1+vm+1）+（Um+2+vm+2）+…+（+p+vm+p）I~I+1++2+…++pI+I'
m*1+vm+2+・・・+vm+pI—£
由柯西准则知》（Un+Vn）发散。
若数列｛aj收敛于a『则级数_%.）二勺
»
=：
级数的前n项和Sn二（aj-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+l）=aj-an+i#而
电溫-训勞旦歹）血一«
5卩"
8・>
=]_」
lims"
Hlim（aIFt）Mala
3X8IK•
X
（1）爆M（b*&
）建。
（2）llleb憩母•iM（一、pIl/bn£
）H57
吊温-
（一）爭爭3雪一一炷音
snu（b2-三）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）HF+-•b一
hmSynmxe—11q）H8
（2）培磔3郢nR*口
Sn"
（5-I一孑）+（-Zb2I133）+…+（一3nI一3n+1）H5-Il、bn+一
limSnlim•T-I^-）nI-
s—8;
!
-r一b一s2（_/bn二f）Hfo
（一）如1
n（a4n—l）（a+=）
（2）M（—lr
亍一
2J+1
+1）
（3）M
心？
2（22+二
解：
（d+n-1）（。
+?
?
）a+”一1a+H
&
n=1/（a+n-1）r则a〕=1/a，卿$=0.由第4题可得,原式=l/a0
、i2H-r1z、—・（?
-rl）-rW
（7-―-=（-1）———心+1）力（刃+1）
=（-1广丄+（-1严丄nn+1
一（7小丄+（-1）小亠n〃+1
=-[（-1广一（・1严亠]nM-rl
记对=（-1）%r则山=-If
h叫4=0r由第4题可得，原式二-（-I）-O=l0巧一
（3）
2卄1_11
（/+1）（（?
:
+1）2+1]/+1（h+1）2+1
记》=n2+1■贝U
limb=+”/=2
i刀-1
由第5题可得，原式=1/2。
应用柯西准则判别下列级数的敛散性。
（1）Zsin2n/2n0
—2“・+1
（3）Z（-1）%。
⑷X
（1）任意的自然数P,
又^±
=0r从而任给的£
>
o,存在NGZ+r当m>
N时,对任意的正整数P,有
2
由柯西准则得原级数收敛。
（2）当p二1时，
二（〃心1）2二1
二2（也+1）2+（加+1）2一3
由柯西准则知原级数发散。
（3）任给的自然数P（不管是奇数还是偶数）,
111_
m+1〃？
+2w-3
1111《心1
=++…+（—1Y
加+1w-r2w+37刃+4m^p
1,111/心1、
=一（一+T（一1））
w+1加+2加+3w4m+p
故任给的正数£
0,取N二[1/s]r当m>
N时及任意的自然数pf
由柯西准则知原级数收敛。
（1）当p=m时，
^2（w+w）2加二1
2恥一2忑
，对任意正数N，总存在m二N+1及P二m,使
Z
<
=1
Jo”十«
）+（加十£
）?
证明级数》叫收敛的充要条件是：
任给正数£
存在某正整数N,对一切n>
N总有IUN+4+]+…+Un|<
£
•
充分性任给正数£
存在正整数N,对一切n>
N,总有IUn+Un+1+…+Un|<
2/当然对n>
m>
N的m有|un+un+i+•・・+从|<
£
。
从而
Ium+1+um*2+••-+unI=I（«
N+uN+l+--+Un）・（Un+Un+]+…+）|<
|UN+U^+1+...+
UmI+丨
un+un+1+…+un|<
2e
由柯西准则知级数工％收敛。
必要性若级数Dn收敛，由柯西准则知对任给正数£
存在自然数M，当n>
M时，IUm+1+Um+2+...+unI<
s,特别地,取N>
Nj+1,则对任意n>
Nf有IUN+UN+1+…+UnI<
e<
举例说明：
若级数IX对每个固走的P满足条件
lim（g+・・+““）=0
此级数仍可能不收敛。
如级数工（1/0）若p为某一个固走的数,则
lim（wr+1+-.+w）
F1T8L
=litn（—!
—++—!
—）
n+lp
=lirn—!
—+…+litn—-—=0
lx”+1幷％fl+n
但级数工（1/n）发散。
设级数工％满足：
加括号后级数十…十"
心）收敛（3=0）,且在同一括号中的…山心符号相同'
证明工*亦收敛。
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