线性代数北京理工大学出版社习题解答Word文档格式.docx

1、1）（x3）4 用行列式解下列方程组：3x12x23,x10,（1）2 x11,4x13x21.2x33.281 0,7,（1） D9D19 2129,x1 7, x2 9.D 2故所求的方程组有唯一解：（2）D2222118 80,D 14， D24， D312, x2, x3.6. 当 x 取何值时， 1解得 x1且x2.3x9x6 3（ x2）1.3 n 阶行列式的定义写出四阶行列式中含有因子a22a34 的项 .利用 n 阶行列式的定义来求解 . 行列式的阶数是四，每一项都要有4 个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出， 由于因子 a22a34的行标已经取了2，

2、 3，列标取 2，4，所以剩下因子的行标只能取1， 4，列标只能取 1，3，因此未写出的因子为 a11 a43 和 a13 a41 . 又因为（1243） 1 ， （3241），所以四阶行列式中含有因子a22 a34 的项为 （1） （1243） a11a22 a34 a43 和（ 1） （3241） a13 a22 a34 a41 ，即a11a22 a34 a43 和 a13 a22 a34 a41 .x3 的系数 .3. 已知 f （ x），用行列式的定义求f （ x） 的展开式中含3 的项只有一项：（2134）3 ，故3 的系数为（ 1）x 1 x x4.利用行列式的定义计算下列行列式:

3、（ 4213）1 23 424 ;（ 1）解析 由n 阶行列式的定义可知 行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和 . 因为第1 行只有一个非零元素1，先取 a141，则第 1行和第 4 列的元素不能再取了，再考虑第行的元素，第2 行只能取 a 222 ，则第2行和第 2列的元素也不能再取了，对第行的元素而言，此时只能取a313 ，则第 3 行和第1 列的元素不能再取了，最后第 4行 的 元 素 只 能 取 a434，那么行列式的结果为（ 1） （ 4213） a14 a22a31 a43 1 24 24;补充练习5xx3 和 x 4 的项 .1. 由行列式的定义写出 D的展开式中包含2

4、xD 的展开式中含x4 的项只有一项1） （1234） 5xx x2x 10 x4 ，而含 x3 的项有两项 （1） （2134） 1 xx 2x 和 （1） （4231） 3 x xx ，从而展开式中含x3 的项为：1） （ 2134） 1 xx 2x1） （4231） 3 xx2x33x35x3 .1.4 行列式的性质1.利用行列式的性质计算下列行列式：abacaer2r1（2） bdcddeabcdef 1abcdef 0bfcfefr31 1 1r2 r3abcdef 0 2 2 4abcdef ;0 0 2（3）由于每一行 （或列 ）的和都是等于 6，故将第 2， 3，4 行都乘以

5、1 加到第一行，再提取公因子6，利用性质5 化成三角形行列式即可求值 .648;1 2 r2（ 3）r11 21 r3（ 1）r16 47 r2（ 1）r32 3（4）2 0 4r42r14 1（ 2）r29r4）r32010.2.证明下列等式：a2（a1） 2（ a2） 23）2（ 2） b2（b0 ;c2（c1）22）2d 2（d1 x1 y11 x1 y21 x1 y3（3） 1 x2 y1 1 x2 y21 x2 y31 x3 y11 x3 y21 x3 y3证明把行列式中的括号展开，第列乘以 -1加到其它列，化简行列式 .2a4a6ab22b4b6b（ c2c4c6c（ d2d4d6

6、d（3）由性质 4，将 D 的第 1 列拆开，得x1 y1x1 y2Dx2 y2x2 y3x2 y11 x2 y2x2 y3 ,x3 y2x3 y3x3 y1将第 1个行列式的第 1 列乘以 -1加到第 2、 3 列，第2 个行列式第1 列提取 y1 ，得x1 y3y1 x2，个行列式第 2、 3 列提取 y2 , y3 ，将第 2 个行列式的第2 列、第 3 列分别拆开，最后可得如下行列式，D y2 y3 110 0 ;3.计算下列 n 阶行列式 .2 ;n解 （1）把第 2,3, n 列分别乘以1 加到第1 列，得到第 1列的公因子 x （n1） ，提取公因子之后，再给第1 行乘以 （ 1

7、） 加到第 2,3,n 行，化成上三角形行列式，得到行列式的值 .x 1x （ n 1） 11 11 xx （ n 1） x（ n x1）x （ n 1） 1（n1）（x1）n 1 ; x （ n 1）（2） 把第 2 行乘以 （-1） 分别加至其余各行，再把第1 行乘以 2 加至第 2 行，得- 12 （n 2）! ;n - 20的根 .4. 求方程解第1行乘以（1） 加到第 2,3,4 行，得如下行列式 :,再将上述行列式的第2，3， 4 列乘以 1 加到第 1 列，化成上三角形行列式 .3（ 4）,即可求出根 :0或4 .a11a12a132a11a213a11已知行列式a22a23，求

8、行列式2a123a12a32a332a133a132 a12=2 a211.5 行列式按行（列）展开1. 求行列式 5 0 2 中元素 5 与 2 的代数余子式 .3 1 1元素 5 的代数余子式为A214,元素 2 的代数余子式为A23已知四阶行列式第3 行元素依次为4、3、0、 -2，它们的余子式依次为2、1、-1、 4，求行列式的值 .由行列式按行（列）展开定理，得D aAa3 23 33 12 3 （1）44（1）1 ）10（1）（1） （2）1 3.3.求下列行列式的值4 c3（ 1）c11 02 c4（ 2）c12 1（ 2）7c 21）c1c324;（ 3）所求行列式为四阶X德蒙行列式，由X德蒙行列式的展开公式，得（2 1）（2 1）（2）（ x2） x2）12（ x2）.4. 讨论当 k 为何值时，行列式k0 c2 （ 1）c1k 1