线性代数北京理工大学出版社习题解答Word文档格式.docx
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1）（x
3）
4．用行列式解下列方程组：
3x1
2x2
3,
x1
0,
（1）
2x1
1,
4x1
3x2
1.
2x3
3.
2
8
10,
7,
（1）D
9
D1
92
12
9,
x17,x29.
D2
故所求的方程组有唯一解：
（2）D2
22211880,
D1
4，D2
4，D3
12,
x2
x3
.
6.当x取何值时，1
解得x
1且x
2.
3x
9x
63（x
2）
1.3n阶行列式的定义
写出四阶行列式中含有因子
a22a34的项.
利用n阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有
4个元素相乘，
题目已给出了两个已知因子，
那么还有两个元素还未写出，由于因子a22a34
的行标已经取了
2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取
1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因
子为a11a43和a13a41.又因为
（1243）1，（3241）
，所以四阶行列式中含有因子
a22a34的
项为（
1）（1243）a11a22a34a43和
（1）（3241）a13a22a34a41，即
a11a22a34a43和a13a22a34a41.
x3的系数.
3.已知f（x）
，用行列式的定义求
f（x）的展开式中含
3的项只有一项：
（2134）
3，故
3的系数为
（1）x1xx
4.
利用行列式的定义计算下列行列式
:
（4213）12
34
24;
（1）
解析由
n阶行列式的定义可知
行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代
数和.因为第
1行只有一个非零元素
1，先取a14
1，则第1
行和第4列的元素不能
再取了，再考虑第
行的元素，第
2行只能取a22
2，则第
2行和第2
列的元素也
不能再取了，对第
行的元素而言，此时只能取
a31
3，则第3行和第
1列的元素
不能再取了，最后第4
行的元素只能取a43
4，那么行列式的结果为
（1）（4213）a14a22a31a4312
424;
补充练习
5x
x3和x4的项.
1.由行列式的定义写出D
的展开式中包含
2x
D的展开式中含
x4的项只有一项
1）（1234）5x
xx
2x10x4，而含x3的项有
两项（
1）（2134）1x
x2x和（
1）（4231）3xx
x，从而展开式中含
x3的项为：
1）（2134）1x
x2x
1）（4231）3x
x2x3
3x3
5x3.
1.4行列式的性质
1.利用行列式的性质计算下列行列式：
ab
ac
ae
r2
r1
（2）bd
cd
de
abcdef1
abcdef0
bf
cf
ef
r3
111
r2r3
abcdef0224abcdef;
002
（3）由于每一行（或列）的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提
取公因子
6，利用性质
5化成三角形行列式即可求值.
6
48;
12r2
（3）r1
12
1r3
（1）r1
64
7r2
（1）r3
23
（4）
204
r4
2r1
41
（2）r2
9r4
）r3
20
10.
2.证明下列等式：
a2
（a
1）2
（a
2）2
3）2
（2）b2
（b
0;
c2
（c
1）2
2）2
d2
（d
1x1y1
1x1y2
1x1y3
（3）1x2y11x2y2
1x2y3
1x3y1
1x3y2
1x3y3
证明
把行列式中的括号展开，第
列乘以-1
加到其它列，化简行列式.
2a
4a
6a
b2
2b
4b
6b
（c
2c
4c
6c
（d
2d
4d
6d
（3）由性质4，将D的第1列拆开，得
x1y1
x1y2
D
x2y2
x2y3
x2y1
1x2y2
x2y3,
x3y2
x3y3
x3y1
将第1
个行列式的第1列乘以-1
加到第2、3列，第
2个行列式第
1列提取y1，得
x1y3
y1x2
，
个行列式第2、3列提取y2,y3，将第2个行列式的第
2列、第3列分别拆开，最后
可得如下行列式，
Dy2y31
100;
3.计算下列n阶行列式.
2;
;
n
解
（1）
把第2,3,
n列分别乘以
1加到第
1列，得到第1
列的公因子x（n
1），提取
公因子之后，再给第
1行乘以
（1）加到第2,3,
n行，化成上三角形行列式，得到行列式
的值.
x1
x（n1）1
11
1x
x（n1）x
（n
[x
1）]
x（n1）1
（n
1）]（x
1）n1;
[x（n1）]
（2）把第2行乘以（-1）分别加至其余各行，再把第
1行乘以2加至第2行，得
-1
2（n2）!
;
n-2
0的根.
4.求方程
解第1行乘以（
1）加到第2,3,4行，得如下行列式:
再将上述行列式的第
2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.
3（4）,
即可求出根:
0或
4.
a11
a12
a13
2a11
a21
3a11
已知行列式
a22
a23
，求行列式
2a12
3a12
a32
a33
2a13
3a13
2a12
=
2a21
1.5行列式按行（列）展开
1.求行列式502中元素5与2的代数余子式.
311
元素5的代数余子式为
A21
4,
元素2的代数余子式为
A23
已知四阶行列式第
3行元素依次为
4、3、0、-2，它们的余子式依次为
2、1、-1、4，
求行列式的值.
由行列式按行（列）展开定理，得
Da
A
a
32
33
31
23（
（1）4
4
（1）
1）
10
（1）
（1）
（2）
13.
3.求下列行列式的值
4c3
（1）c1
10
2c4
（2）c1
21
（2）
7
c2
1）c1
c3
24;
（3）所求行列式为四阶X德蒙行列式，由X德蒙行列式的展开公式，得
（21）（
21）（
2）（x
2）[x
2）]
12（x
2）.
4.讨论当k为何值时，行列式
k
0c2
（1）c1
k1
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