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1、电磁学第八章 电磁感应与似稳电路1电磁感应定律和感生电场1. 法拉第电磁感应定律1. 电磁感应现象1831年法拉第发现电磁感应现象并确定了闭合回路感应电动势法拉第电磁感应定律总结:闭合回路磁通m改变 回路 I 回路上感、EK2. 闭合回路感应电动势法拉第电磁感应定律(1) 闭合回路感应电动势的大小法拉第定律=d/dt(2) 闭合回路感应电流的方向楞次定律楞次定律：感应电流的磁通，总力图阻碍引起感应电流的磁通的变化.或：导体在磁场中运动时,感应电流引起的安培力总是阻碍导体的运动(3) 法拉第定律的符号规定: L正方向为、I正方向 = 法拉第电磁感应定律or通量法则例: 矩形线圈以v匀速运动，求：

2、此刻线圈的解: 取L方向= BdS=ln(1+a/r)= d/dt=0Iabv/2r(r+a)0 3. 两种感应电动势感应电动势: 动生电动势B不变, 导体运动产生感生电动势导体不动, B变化产生2. 动生电动势1. 动生电动势来自洛仑兹力非静电力(洛仑兹力) FK=Fm=qvB EK=FK /q=vB ab= (vB)dl闭合回路 =(vB)dl若v为常矢、B均匀ab =(vB)r =(vB)dl=02. 动生电动势与法拉第定律 d=B(vdtdl)=d/dt=(vB)dl3. 例例1. 用积分法求 解：正方向如图=(vB)dl=vBdl =v b/(r+a)+b/r=0Iab v/2r(r

3、+a)例2. 匀强磁场中, 金属杆(长l)匀角速度转动. 求ab解： ab= (vB)dl =Bvdr=Bl2/23. 机械能与电能的转换洛仑兹力不做功, 但促使能量转换1. 安培力、动生电动势做功v=常数 感应电流I FI= F外= BIa =BavP外=-FIv=BIva P = I =BIva =P外2. 微观解释电子运动: v1 I ; v2导线 f1=qv1B 安培力 P安培f2=qv2B 非静电力 P pm= fmv =0 = f1v1+ f2v24. 感生电场引起感生电动势磁场变化引起感生电流、感生电动势,非静电力是电场力 感 、EK E感 来自变化磁场, 与回路无关麦克斯韦假设

4、：感生电场E感引起感生电动势. 即：变化的B 感应电场E感推广电场力：一切作用于静止电荷的由于其带电引起的力L上感生电动势 = L E感dl ; 闭合回路上感生电动势 =E感dl是继库仑定律之后的又一个重要的电磁学实验定律5. 感生电场性质1. 变化磁场产生的感应电场存在于整个空间不在于是否有感生电流、回路、导线、磁通2. E库与E感感E = E总= E库+ E感 E库由电荷激发，类似静电场：E库dl = 0 E库dS = q/0麦克斯韦设： E总dS = q/03. E感的场方程E感dl=d/dt=dS E感dS=0 E感是无源有旋场 E感线无头无尾, 闭合 E感 类似 B , B/t 类似

5、 jB/t对称性 E感对称性 4. E感对称性E感dl =dS E感符号: B正方向 有向曲面S正方向 回路L正方向, 即E感正方向例: 圆柱形无限长均匀磁场随时间线性变化， B/t=常数K. 求: E感解: B: C(z); T(z); ()反对称 E感轴对称 E感=E感(r) 取回路LE感dl =2rE感= dS = KS内E感=-(d/dt)/2r=-KS内/2rr R 2rE感=KR2 E感=KR2/2r6. 感生电场的验证与应用1. 电子感应加速器磁场变化电子加速运动适当设计,在速度改变时保持轨道不变相对论动力学设电子在半径为a固定圆轨道上E感(a)=-(d/dt)/2a 对电子dp

6、/dt=F=-e(E感+vB轨)=p+ (dp/dt)dp=-eE感dt=ed/(2a)设: P(t=0)=0 (t=0)=0 则p=e/(2a) p=evB轨=evB(a)B轨=/(2a2)=/22. 涡电流感生电场在金属中引起的涡旋电流(1)热效应应用：感应电炉 自动弯管机危害: 热损失(2)趋肤效应导线交流电变化磁场涡旋电流导线中部电流减少,表面电流增加趋肤效应(3)电磁阻尼金属板摆动 产生涡流安培力阻碍运动由楞次定律知:安培力必然阻碍运动2 自感和互感为解决电路问题中电磁感应的影响引入自感和互感1. 自感1. 线圈自身电流变化，引起线圈内感应电动势自感I 自 感= d/dt = 自2.

7、 自感系数 (1)单匝 形状不变 自 B I定义: 自 = LI L0 自感系数(亨利) 单自= L(2)N匝密绕线圈N匝产生总磁场B, 每匝磁通= BdSN匝“全磁通”自感磁链自= N I定义： 自= LI 自= L L 0 自感系数(电惯性)3. 计算自感系数L (1)理论上 设通入I 自 L =自/ I (2)实验上 测自、dI/dt L= 自/例: 长直螺线管,已知n和体积. 求：L解：通电流I . B内=0nI 自=NB内S=N0nIS =0n2I L =自/ I = 0n2 2. 互感统一选正方向l1、l 2 1. 互感电动势(1) 线圈1对线圈2线圈1磁场B1对线圈2互感磁通N2

8、匝互感磁链: 12=N2 12 I1定义: 12=MI1 M=12/I1 0 互感系数I1变化12变化线圈2中产生12 线圈1对整个线圈2的互感电动势 12= d12/dt = M1 (2) 线圈2对线圈1线圈2磁场B2对线圈1互感磁链 21= MI2 线圈2对整个线圈1的互感电动势21=M22. 互感系数MM=12/I1=21/I2完全耦合(无漏磁): 线圈1产生的磁场, 通过线圈1的磁通全部通过线圈2, 11= 12 线圈2产生的磁场,通过线圈2的磁通全部通过线圈1, 22= 213. 正方向的选择为使M0两线圈正方向要统一选取： 沿l1正方向的电流I1在线圈2中的磁通(按l2的正方向)1

9、2为正. 4. 例例1 . 求直导线与矩形线圈互感M解：直导线通入I1 12= B12dS=0I1b ln(1+a/r)/2M=12/I1= 0b ln(1+a/r)/2例2. 长直螺线管，单位长度n匝,内部线圈如图。求M解: 螺线管通入I1 12=0nI1S cosM=12 / I1=0n S cos例3. 求证完全耦合时 M=证明: M=N212/I1=N211/I1=N121/I2=N122 /I2 M2=N211 N122 /I1I2=L1L23.同时考虑自感和互感自感总是有的，两个以上线圈还要考虑互感正方向统一按互感选取为l1、l2对线圈1 N匝: 总磁链 1=11+21 11=L1

10、I1 21=MI2 线圈1的总感应电动势 1 = d1 /dt = (L11+M2) 线圈2的总感应电动势 2 = d2 /dt = (L22+M1)例1. 两个线圈(自感分别为L1、L2 ,互感M)串联, 等效于一个线圈. 求等效自感L 顺接: 等效线圈正方向与l1、l2 相同 I1=I2=I 等效=1+2=(L1+L2+2M) = L 等效线圈自感 L= L1+L2+2M反接: 取等效线圈正方向与l1相同与l2 相反 I1=I I2=I=12=(L1-M)-(-L2+M) =(L1+L22M) = L等效线圈 L= L1+L22M例2. 两个线圈并联 (1)顺接: I=I1+I2 1= 2

11、= 即: =1+2(L11+M2)= (L22+M1)得: 1=(L2M) /(L1+L22M) 2=(L1M) /(L1+L22M)则 1=(L11+M2) =(L1L2M2) /(L1+L22M)等效自感 L=(L1L2M2)/(L1+L22M)3 似稳电路与暂态过程1.似稳电路1.似稳电磁场在电路以及附近区域内, 如果电流频率低变化慢而区域又不是很大, 电磁场近似与该时刻电荷、电流分布相对应的稳恒场相同, 称为似稳电磁场似稳电流、似稳电路: 与似稳电磁场相应的电流、电路称为似稳电流、似稳电路2. 似稳条件似稳区域 尺度r ( =c/) 此时忽略传播引起的时间延迟及电磁辐射工频 =50 H

12、z =6000 km r 大城市中波 =106 Hz =300 m r 实验室2. 似稳电路满足基尔霍夫定律电路中有电容器、电感线圈集中元件忽略线路中的分布电容和电感, R、C、L为常数1. 似稳电磁场方程 E似稳dl=E稳恒dl =0 (非电感区域) jdS=0 (非电容区域)BdS=0H稳dl=I0 (非电容区域)j=(E库+E感+EK)2 基尔霍夫第一定律(1)交变电流“通过”电容器 (2) 电容器之外电路上jdS=0任意时刻对每个节点基尔霍夫第一定律成立 ik (t)= 0 (*)2 基尔霍夫第二定律(1) 对L、C的处理电感L中为E感 E感dl=感=L 电容C中为E库沿电流方向 E库

13、dl=V=q/C 为电压降(正为降)(2) 基尔霍夫第二定律似稳电路中任意时刻对每个回路基尔霍夫第二定律成立: 闭合电路电位升=电位降 k(t)=ik(t)Rl+Vk(t)=ik(t)Rl+qk(t)/Ck (*)简记: (t)=i(t)R+V(t)=i(t)R+q(t)/C 符号规定：与电流方向相同者取正,否则取负. 4. 小结似稳电路与稳恒电路一样满足基尔霍夫定律, 因此在计算似稳电路时可以采用稳恒电路计算中类似方法3简单回路充放电暂态过程电路的暂态过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态的过程暂态中电流、电荷分布、电磁场随时间变化.1 RL电路(1) 充电暂态过程: BA i (0)

14、=0+感=L= iRL+Ri=i=I0 (1eRt/L)=I0 (1et/) I0 (t)RL电路时间常数 L= L/R(2) 放电暂态过程: A B i(0)=I0感= L=iR i= I0 et / 0 (t) 2. RC电路(1) 充电 q(0)=0 = iR+q/CR+=RC电路时间常数 C=RC q=q0(1et /) q0 (t) i=dq/dt=I0et/ 0 (t) (2) 放电 q(0)=q0 iR + q/C =0 q=q0 et / i= I0et /3. RCL电路(1) 充电: BA q(0)=0 t=0=0 +感=L=iR+q/C+2+02q=02q0= (2-02)1/2欠阻尼: 0 2=