电磁学.docx

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电磁学

第八章电磁感应与似稳电路

§1电磁感应定律和感生电场

1.法拉第电磁感应定律

1.电磁感应现象

1831年法拉第发现电磁感应现象并确定了闭合回路感应电动势——法拉第电磁感应定律

总结:

闭合回路磁通m改变回路I

回路上感、EK

2.闭合回路感应电动势—法拉第电磁感应定律

（1）闭合回路感应电动势的大小——法拉第定律

=d/dt

（2）闭合回路感应电流的方向——楞次定律

楞次定律：

感应电流的磁通，总力图阻碍引起感应电流的磁通的变化.

或：

导体在磁场中运动时,感应电流引起的安培力总是阻碍导体的运动

（3）法拉第定律的符号

规定:

L正方向为、I正方向

=

——法拉第电磁感应定律or通量法则

例:

矩形线圈以v匀速运动，求：

此刻线圈的

解:

取L方向

=BdS=ln（1+a/r）

=d/dt=0Iabv/2r（r+a）>0

3.两种感应电动势

感应电动势:

动生电动势——B不变,导体运动产生

感生电动势——导体不动,B变化产生

2.动生电动势

1.动生电动势来自洛仑兹力

非静电力（洛仑兹力）FK=Fm=qvB

EK=FK/q=vB

ab=（vB）dl

闭合回路=∮（vB）dl

若v为常矢、B均匀

ab=（vB）r

=∮（vB）dl=0

2.动生电动势与法拉第定律

d=∮B（vdtdl）

=d/dt=∮（vB）dl

3.例

例1.用积分法求

解：

正方向如图

=∮（vB）dl=∮vBdl

=vb/（r+a）+b/r

=0Iabv/2r（r+a）

例2.匀强磁场中,金属杆（长l）匀角速度转动.求ab

解：

ab=（vB）dl

=Bvdr=Bl2/2

3.机械能与电能的转换

洛仑兹力不做功,但促使能量转换

1.安培力、动生电动势做功

v=常数感应电流I

FI=F外=BIa

=Bav

P外=-FIv=BIva

P=I=BIva=P外

2.微观解释

电子运动:

v1—I;v2—导线

f1=qv1B安培力P安培

f2=qv2B非静电力P

pm=fmv=0=f1v1+f2v2

4.感生电场引起感生电动势

磁场变化引起感生电流、感生电动势,非静电力是电场力

感、EKE感来自变化磁场,与回路无关

麦克斯韦假设：

感生电场E感引起感生电动势.即：

变化的B感应电场E感

推广电场力：

一切作用于静止电荷的由于其带电引起的力

L上感生电动势=LE感dl;

闭合回路上感生电动势=∮E感dl

是继库仑定律之后的又一个重要的电磁学实验定律

5.感生电场性质

1.变化磁场产生的感应电场存在于整个空间

不在于是否有感生电流、回路、导线、磁通

2.E库与E感感

E=E总=E库+E感

E库由电荷激发，类似静电场：

∮E库dl=0∮E库dS=q/0

麦克斯韦设：

∮E总dS=q/0

3.E感的场方程

∮E感dl=d/dt=dS

∮E感dS=0

E感是无源有旋场——E感线无头无尾,闭合

E感类似B,－B/t类似j

B/t对称性E感对称性

4.E感对称性∮E感dl=－dSE感

符号:

B正方向有向曲面S正方向回路L正方向,即E感正方向

例:

圆柱形无限长均匀磁场随时间线性变化，B/t=常数K.求:

E感

解:

B:

C（z）;T（z）;（）反对称

E感轴对称E感=E感（r）

取回路L

∮E感dl=2rE感=dS=KS内

E感=-（d/dt）/2r=-KS内/2r

r

r>R2rE感=－KR2E感=－KR2/2r

6.感生电场的验证与应用

1.电子感应加速器

磁场变化——电子加速运动

适当设计,在速度改变时保持轨道不变

相对论动力学

设电子在半径为a固定圆轨道上

E感（a）=-（d/dt）/2a

对电子

dp/dt=F=-e（E感+vB轨）=p+（dp/dt）

dp=-eE感dt=ed/（2a）

设:

P（t=0）=0（t=0）=0则

p=e/（2a）

p=evB轨=evB（a）

B轨=/（2a2）=<>/2

2.涡电流

——感生电场在金属中引起的涡旋电流

（1）热效应

应用：

感应电炉

自动弯管机

危害:

热损失

（2）趋肤效应

导线交流电变化磁场涡旋电流导线中部电流减少,表面电流增加——趋肤效应

（3）电磁阻尼

金属板摆动产生涡流安培力阻碍运动

由楞次定律知:

安培力必然阻碍运动

§2自感和互感

为解决电路问题中电磁感应的影响引入自感和互感

1.自感

1.线圈自身电流变化，引起线圈内感应电动势——自感

I自感=d/dt=自

2.自感系数

（1）单匝形状不变自BI

定义:

自=LI

L>0自感系数（亨利）

单自=L

（2）N匝密绕线圈

N匝产生总磁场B,每匝磁通=BdS

N匝“全磁通”——自感磁链自=NI

定义：

自=LI

自=L

L>0自感系数（电惯性）

3.计算自感系数L

（1）理论上设通入I自L=自/I

（2）实验上测自、dI/dtL=自/

例:

长直螺线管,已知n和体积.求：

L

解：

通电流I.B内=0nI

自=NB内S=N0nIS=0n2I

L=自/I=0n2

2.互感

统一选正方向l1、l2

1.互感电动势

（1）线圈1对线圈2

线圈1磁场B1对线圈2互感磁通

N2匝互感磁链:

12=N212I1

定义:

12=MI1

M=12/I1>0互感系数

I1变化12变化线圈2中产生12

线圈1对整个线圈2的互感电动势

12=d12/dt=M1

（2）线圈2对线圈1

线圈2磁场B2对线圈1互感磁链

21=MI2

线圈2对整个线圈1的互感电动势

21=M2

2.互感系数M

M=12/I1=21/I2

完全耦合（无漏磁）:

线圈1产生的磁场,通过线圈1的磁通全部通过线圈2,11=12

线圈2产生的磁场,通过线圈2的磁通全部通过线圈1,22=21

3.正方向的选择

为使M>0两线圈正方向要统一选取：

沿l1正方向的电流I1在线圈2中的磁通（按l2的正方向）12为正.

4.例

例1.求直导线与矩形线圈互感M

解：

直导线通入I1

12=B12dS=0I1bln（1+a/r）/2

M=12/I1=0bln（1+a/r）/2

例2.长直螺线管，单位长度n匝,内部线圈如图。

求M

解:

螺线管通入I1

12=0nI1Scos

M=12/I1=0nScos

例3.求证完全耦合时M=

证明:

M=N212/I1=N211/I1=N121/I2=N122/I2

M2=N211N122/I1I2=L1L2

3.同时考虑自感和互感

自感总是有的，两个以上线圈还要考虑互感

正方向统一按互感选取为l1、l2

对线圈1N匝:

总磁链1=11+21

11=L1I121=MI2

线圈1的总感应电动势

1=d1/dt=（L11+M2）

线圈2的总感应电动势

2=d2/dt=（L22+M1）

例1.两个线圈（自感分别为L1、L2,互感M）串联,等效于一个线圈.求等效自感L

顺接:

等效线圈正方向与l1、l2相同

I1=I2=I

等效=1+2=（L1+L2+2M）=L

等效线圈自感L=L1+L2+2M

反接:

取等效线圈正方向与l1相同与l2相反

I1=II2=I

=12=（L1-M）-[-（-L2+M）]

=（L1+L22M）=L

等效线圈L=L1+L22M

例2.两个线圈并联

（1）顺接:

I=I1+I21=2=

即:

=1+2

（L11+M2）=（L22+M1）

得:

1=（L2M）/（L1+L22M）

2=（L1M）/（L1+L22M）

则1==（L11+M2）

=（L1L2M2）/（L1+L22M）

等效自感L=（L1L2M2）/（L1+L22M）

§3似稳电路与暂态过程

1.似稳电路

1.似稳电磁场

在电路以及附近区域内,如果电流频率低变化慢而区域又不是很大,电磁场近似与该时刻电荷、电流分布相对应的稳恒场相同,称为似稳电磁场

似稳电流、似稳电路:

与似稳电磁场相应的电流、电路称为似稳电流、似稳电路

2.似稳条件

似稳区域尺度r<<（=c/）

此时忽略传播引起的时间延迟及电磁辐射

工频=50Hz=6000kmr大城市

中波=106Hz=300mr实验室

2.似稳电路满足基尔霍夫定律

电路中有电容器、电感线圈——集中元件

忽略线路中的分布电容和电感,R、C、L为常数

1.似稳电磁场方程

∮E似稳dl=∮E稳恒dl=0（非电感区域）

∮jdS=0（非电容区域）

∮BdS=0

∮H稳dl=I0（非电容区域）

j=（E库+E感+EK）

2基尔霍夫第一定律

（1）交变电流“通过”电容器

（2）电容器之外电路上∮jdS=0

任意时刻对每个节点基尔霍夫第一定律成立

ik（t）=0（*）

2基尔霍夫第二定律

（1）对L、C的处理

电感L中为E感

E感dl=感=L

电容C中为E库

沿电流方向E库dl=V=q/C

为电压降（正为降）

（2）基尔霍夫第二定律

似稳电路中任意时刻对每个回路基尔霍夫第二定律成立:

闭合电路电位升=电位降

k（t）=ik（t）Rl+Vk（t）=ik（t）Rl+qk（t）/Ck（**）

简记:

（t）=i（t）R+V（t）=i（t）R+q（t）/C

符号规定：

与电流方向相同者取正,否则取负.

4.小结

似稳电路与稳恒电路一样满足基尔霍夫定律,因此在计算似稳电路时可以采用稳恒电路计算中类似方法

3简单回路充放电暂态过程

电路的暂态过程：

电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态的过程

暂态中电流、电荷分布、电磁场随时间变化.

1R—L电路

（1）充电暂态过程:

BAi（0）=0

+感=L=iR

L+Ri=

i=I0（1eRt/L）=I0（1et/）I0（t）

R—L电路时间常数L=L/R

（2）放电暂态过程:

ABi（0）=I0

感=L=iR

i=I0et/0（t）

2.R—C电路

（1）充电q（0）=0

=iR+q/C

R+=

R—C电路时间常数C=RC

q=q0（1et/）q0（t）

i=dq/dt=I0et/0（t）

（2）放电q（0）=q0

iR+q/C=0

q=q0et/i=I0et/

3.R—C—L电路

（1）充电:

BA

q（0）=0t=0=0

+感=L=iR+q/C

+2+02q=02q0

=（2-02）1/2

欠阻尼:

<0’2=02-2

q=q01（cos’t+sin’t/）et

临界阻尼:

=0q=q01（1+t）et

过阻尼:

>02=