高考数学一轮复习配套讲义选修45 第1讲 不等式含有绝对值的不等式.docx

1、高考数学一轮复习配套讲义选修45 第1讲 不等式含有绝对值的不等式第1讲不等式、含有绝对值的不等式最新考纲1理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法.知 识 梳 理1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab| |a|b|，当且仅当ab0时，等号成立；(2)性质：|a|b|ab|a|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax

2、|axax|xa，或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想诊 断 自 测1不等式1|x1|3的解集为_解析数轴上的点到1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集答案(4，2)(0,2)2设ab0，下面四个不等式中，正确命题的序号是_|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|.解

3、析ab0，a，b同号，|ab|a|b|，和正确答案3不等式|x8|x4|2的解集为_解析令：f(x)|x8|x4|当x4时，f(x)42；当4x8时，f(x)2x122，得x5，4x5；当x8时，f(x)42不成立故原不等式的解集为：x|x5答案x|x54(山东卷)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析|kx2|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案25已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.答案(，1)考点一含绝对值不等式的解法【例1】 解不等式|x1|x2|

4、5.解法一如图，设数轴上与2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数显然，区间2,1不是不等式的解集把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，)法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集为(，32，)法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示由图象可知，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)规律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(

5、1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解【训练1】 解不等式|x3|2x1|1.解当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)1，解得x

6、2，x2.综上可知，原不等式的解集为.考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】 已知不等式|x1|x3|a.分别求出下列情形中a的取值范围(1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为.解法一因为|x1|x3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(1)，B(3)距离的差，即|x1|x3|PAPB.由绝对值的几何意义知，PAPB的最大值为AB4，最小值为AB4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值还小，即a4.(3)若不等式的解集为，a只要不小于|x1|x3|的最

7、大值即可，即a4.法二由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集为R，则a4；(3)若不等式解集为，则a4.规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.【训练2】 设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x

8、)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3，或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.考点三含绝对值的不等式的应用【例3】 (新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示

9、，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化为1ax3，所以xa2对x都成立，应有a2，则a，从而实数a的取值范围是.规律方法 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集【训练3】 (新课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2

10、时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1，或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围是3,0.绝对值三角不等式的应用【典例】 (福建卷)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A， A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值审题视点(1)利用条件A， A，建立不等式，求a的值；(2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解解(1)A， A.a，且a，因此

11、a，又aN*，从而a1.(2)由(1)知，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时等号成立故f(x)的最小值为3.反思感悟本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解【自主体验】1若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析当a0时，显然成立；当a0时，|x1|x3|的最小值为4，a4.a2.综上可知a的取值范围是(，0)2答案(，0)22(陕西卷)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案2,4一、填空题1不等式|2x1|3的解集为_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2不等式|2x1|x2|0的解集为_解析法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.原不等式解集为x|1x1|法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得x1，由得1x.综上得1x1，所以原不等式的解集为x|1x1答案x|1x13(广东卷)不等式|x2|x|1的解集为_解析当x2时，原不等式可化为x2x1，