∅
∅
|x|>a
{x|x>a，或x<－a}
{x|x∈R，且x≠0}
R
（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c>0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的解法
法一：
利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：
利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：
通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
诊断自测
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．
解析 数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．
答案 （－4，－2）∪（0,2）
2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．
①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.
解析 ∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．
答案 ①④
3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．
解析 令：
f（x）＝|x－8|－|x－4|＝
当x≤4时，f（x）＝4＞2；
当4＜x≤8时，f（x）＝－2x＋12＞2，得x＜5，
∴4＜x＜5；
当x＞8时，f（x）＝－4＞2不成立．
故原不等式的解集为：
{x|x＜5}．
答案 {x|x＜5}
4．（·山东卷）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析 ∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案 2
5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．
解析 ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.
答案 （－∞，1）
考点一 含绝对值不等式的解法
【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
法二 原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
或
或解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则
f（x）＝作出函数的图象，如图所示．
由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，
∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：
（1）分段讨论法：
利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）几何法：
利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：
数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－（x－b）|＝|a－b|.
（3）图象法：
作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【训练1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.
解 ①当x＜－3时，原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）＜＋1，解得x＜10，∴x＜－3.
②当－3≤x＜时，原不等式化为（x＋3）－（1－2x）＜＋1，解得x＜－，∴－3≤x＜－.
③当x≥时，原不等式化为（x＋3）－（2x－1）＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.
综上可知，原不等式的解集为.
考点二 含参数的绝对值不等式问题
【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．
（1）不等式有解；
（2）不等式的解集为R；
（3）不等式的解集为∅.
解 法一 因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P（x）与两定点A（－1），B（3）距离的差，
即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
由绝对值的几何意义知，
PA－PB的最大值为AB＝4，
最小值为－AB＝－4，
即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
（1）若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.
（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，
只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.
（3）若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.
法二 由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－（x－3）|＝4.
|x－3|－|x＋1|≤|（x－3）－（x＋1）|＝4.
可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
（1）若不等式有解，则a＜4；
（2）若不等式的解集为R，则a＜－4；
（3）若不等式解集为∅，则a≥4.
规律方法本题中
（1）是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面（如f（x）＞m的解集是空集，则f（x）≤m恒成立）也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f（x）＜a恒成立⇔a＞f（x）max，f（x）＞a恒成立⇔a＜f（x）min.
【训练2】设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>0.
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解
（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．
（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
考点三 含绝对值的不等式的应用
【例3】（·新课标全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）（2）设a>－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
解
（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
（2）当x∈时，f（x）＝1＋a，
不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立，
应有－≥a－2，则a≤，
从而实数a的取值范围是.
规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．
【训练3】（·新课标全国卷）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.
（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解
（1）当a＝－3时，f（x）＝
当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f（x）≥3得
2x－5≥3，解得x≥4.
所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}．
（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，
即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围是[－3,0].
绝对值三角不等式的应用
【典例】（·福建卷）设不等式|x－2|＜a（a∈N*）的解集为A，且∈A，∉A.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
[审题视点]
（1）利用条件∈A，∉A，建立不等式，求a的值；
（2）利用绝对值三角不等式进行放缩求解．
解
（1）∵∈A，∉A.
∴＜a，且≥a，因此＜a≤，
又a∈N*，从而a＝1.
（2）由
（1）知，f（x）＝|x＋1|＋|x－2|，
又|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，
当且仅当（x＋1）（x－2）≤0，即－1≤x≤2时等号成立．
故f（x）的最小值为3.
[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
【自主体验】
1．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＜0时，显然成立；
当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，
∴a＋≤4.∴a＝2.
综上可知a的取值范围是（－∞，0）∪{2}．
答案 （－∞，0）∪{2}
2．（·陕西卷）若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|（x－a）－（x－1）|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，
∴－2≤a≤4.
答案 [－2,4]
一、填空题
1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．
解析 |2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2.
答案 （－1,2）
2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________．
解析 法一 原不等式即为|2x－1|＜|x－2|，
∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1.
∴原不等式解集为{x|－1法二 原不等式等价于不等式组
①或②或
③
不等式组①无解，由②得＜x＜1，由③得－1＜x≤.
综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
答案 {x|－1＜x＜1}
3．（·广东卷）不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
解析 ①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，
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