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1、如果留下羊和狼在一起，狼就会吃掉羊。问这个人如何摆渡到对岸，使白菜、羊、和狼都安然无恙？16世纪，意大利数学家塔塔格里亚（N. Tartaglia）将其设计成一个新版本：三位美丽的新娘和她们的爱吃醋的先生一同旅行。他们来到了一条河边，但只有一条小船，小船一次只能载二人。为了避免有人吃醋，他们约定：除非自己的先生在身旁，否则任一女士不得和其他男人在一起。问怎样安排渡河？答案是往返11次。如果只有两对夫妇，则往返5次就够了；如果有四对及更多对夫妇，那么问题无解。这个问题后来又被推广成：对夫妻用一条船过河，该船至多可载n-1个人，条件仍是任一女士除非自己的丈夫在身旁不得和其他男人在一起。问怎样安排渡

2、河的步骤？（n=3时，y=11；n=4时y=9；n4时y=7）问一条船至少能载几个（x）人时，才能使n对夫妻可乘它渡河，而任一女士除非自己的丈夫在身边，否则不得和别的男人在一起；任何一个都会划船。并求往返摆渡的最少次数（y）。nXy25311492n-3 类似地还有火车转轨问题。图中有一火车头L和2节货车车厢W1和W2，DA是W1和W2所在侧线的公共部分，长度足够停放W1或W2，但不能同时容下两节车厢，也容不下火车头L。这样，停在DA上的车厢可以转轨到侧线上。工程师的工作是转换W1和 W2的位置。问如何完成？这个问题并不难，但如果有更多的车厢（如在铁路货物分类站），要按车厢目的地先后顺序进行排

3、列，那么工程师就需要有很高的数学水平才能完成职责了。中世纪的数字棋哦！想起那睿智的数字战心里就痒痒，算术的叶子、花朵和果实尽情地玩赏， 还可赢得美好的赞誉和无上的荣光。这是写于13世纪上半叶的拉丁文诗歌De Vetula中的片段。诗中的“数字战”是流行于中世纪的一种数学游戏，起源时间不详，但很可能早于11世纪。在一部约写成于1030年的论该游戏的手稿中，作者阿西洛（Asilo）提到意大利博伊修斯（Boethius，375524）的数学著作，因此有人将其归功于博伊修斯；更多的人则将其归功于毕达哥拉斯（Pythagoras, 540 B. C.501 B. C.），因为它与毕氏学派的比例论密切相关

4、。它常常被称为“哲学家的游戏”，因为沉迷于该游戏的多半是通数学的知识阶层。从11世纪初直到18世纪初整整7个世纪的流传充分证明了它的无穷魅力。“数字战”是一种棋盘游戏。棋盘横8格，纵16格。棋子共有48块，黑、白二色各24块。棋子有圆、三角形和正方形三种形状，各16块，每种形状的棋子中黑、白各16块。 棋子上所标的数字是按照毕达哥拉斯学派的尼可麦丘（Nicomachus, 公元100年左右）在算术引论中所定义的以下三种比来确定的： 、多倍比（multiples）：； 、超单份比（superparticulars）： 、超多份比（superpartients）：。其中a，n和m为正整数。根据n的

5、奇偶性，上述比率也称为奇的或偶的。比率中首项称为“申请者”（petitor），次项称为“被申请者”（postulatus）。圆棋上的数字按第种比来确定；三角棋上的数字按第种比来确定；方棋上的数字按第种比（m=1的情形）来确定。黑棋上的数字成偶比（n为偶数）；白棋上的数字成奇比（n为奇数）。以P表示申请者，“P黑”和“P白”分别表示黑色和白色申请者；p表示被申请者，“p黑”和“p白”分别表示黑色和白色被申请者，则所有棋子上的数字可列表如次：表一 数字战棋子上数字的确定棋形颜 色数 字 的 确 定与首行关系圆棋P黑68ap黑2 2=44 4=166 6=368 8=64a2P白7a +1p白3 3

6、=95 5=257 7=499 9=81（a+1）2三角2+4=64+16=206+36=428+64=72a（a+1）3+9=125+25=307+49=569+81=90（a+1）（a+2）（a+2）2方6+9=1520+25=4542+49=9172+81=153（a+1）（2a+1）（2a+1）212+16=2830+36=6656+64=12090+100=190（a+2）（2a+3）（2a+3）2上表中黑色圆棋的“P黑”行2、4、6、8和白色圆棋的“P白”行3、5、7、9是先取定的。按规定比得到黑、白二色圆棋的 “p黑”和“p白”；三角棋中“P黑”行由圆棋“P黑”行与“p黑”行相应

7、数字相加得到；“P白”行由圆棋“P白”行与“p白”行对应数字相加得到。按规定比例得到三角棋的“p黑”和“p白”诸数字。类似地，方棋中“P白”行由三角棋“P白”行与“p白”行相应数字相加得到；“P黑”行由三角棋“P黑”行与“p黑”行相应数字相加得到。按规定比例得到方棋的“p黑”和“p白”诸数字。易见，当圆棋“P黑”四数确定后，所有其他棋子上的数字都确定了。其关系见上表最后一列。 方棋P黑行的91与P白行的190分别被黑、白两个四棱锥所取代。其中黑色棱锥由六层叠成，每一层均为底面为正方形的直棱柱。从第一层起，各层的两个相邻侧面分别标有6、36，5、25，4、16，3、9，2、4和1、1。在最上一层

8、上底面，标有数91（=1+4+9+16+25+36）。白棱锥由五层叠成。从底层开始，诸层两个侧面分表标有8、64，7、49，6、36，5、25和4、16。在最上一层上底面，标有190（=16+25+36+49 +64）。黑白双方各占据棋盘的8行64格。开局前，中间各有四行32格是空的。棋子的原始位置见下图。图 1“数字战”开局前黑白双方的布阵（上为白方，下为黑方） 所有棋子与象棋中的车的走法相同。同一纵线上前后走，同一横线上左右走。任何棋子都不能斜走。棋子的游戏规则是：规则一：如果在A与敌方的nA之间存在n个空格，并且轮到A走，则A吃掉nA（图2）；但A停在原处不动，而不是象象棋中那样占据nA

9、的位置。如果两棋有相同的数，则必须间隔一个空格。 图 2 图 3 图 4规则二：如果在同色棋子A和B之间有一敌方棋子C，并且C=A+B，则它们可吃掉C棋（图3）。 规则三：如果一棋被围在四个敌方的棋子中间，它就被对方吃掉（图4）。 棱锥有几层，就等价于几个棋子。各层同样满足前面的游戏规则。例如：轮到黑圆棋6走时，如果它与白棱锥在同一直线上，并且有相隔6个空格；而6636是白棱锥的第三层。这时白棱锥有权赎身，黑方在白棋子中吃掉一个36。但如果36已经被吃掉，那么黑棋就不能吃任何白棋了（16世纪也有另外的规定，此时黑方可以随意吃掉白方某一子。）。但如果是白棱锥的底层（64）受到攻击，则它将失去赎身

10、的权利而整个被吃掉。棱锥则可以利用它的各层来吃掉敌方的相应棋子。显然，它的威力是很大的。 有两种胜负约定：一是普通的；二是高雅的。普通约定：赢方必须拥有更多的棋子，或更多的点数。还可以将两者结合起来。高雅约定有三类： 1、较大胜利（La grande victoire）。进入对方地盘且同在一条直线上的三子构成几何比，或算术比，或调和比。例如，图5中的三黑子9、16、72构成调和比。图 5 图 6 图 7 2、重大胜利（La victoire majeure）。进入对方地盘且同在一条直线上的四子中，有三个构成一种比例，同时有三个构成另一种比例。例如，图6中的四黑子4、6、8、9，其中4、6、8构

11、成算术比，同时4、6、9构成几何比。 3、最高胜利（La victoire suprme）。在进入对方地盘且同在一条直线上的四子中，同时有三种比例。 不难验证，如果四个正整数a、b、c、d（a b c d）中，同时有三数成算术比、三数成几何比、三数成调和比，那么，它们应该满足a = 4 t，b = 6 t，c = 9 t，d = 12 t或 a = 3 t，b = 4 t，c = 6 t，d = 9 t其中t为任意正整数。也就是说满足条件的数组应为（4, 6, 9, 12）、（8, 12, 18, 24）、（12, 18, 27, 36）、，或（3, 4, 6, 9）、（6, 8, 12, 1

12、8）、（9, 12, 18, 27）、。但在“数字战”的所有棋子中，我们找不出上述数组。因此最高胜利情形指的应是，有三数成一种比例（算术、几何或调和比），三数成另一种比例，同时，其中两数之比与另两数之比相等。例如，图7中的四黑棋2、9、16、72，其中2、9、16构成算术比，9、16、72构成调和比，同时291672。 比例知识是中世纪教会学校数学课程的最重要内容之一，因此，有理由相信，复杂的“数字战”乃是作为数学教学的辅助工具而被发明出来的。三罐子问题据说19世纪法国著名数学家普阿松（S. Poisson, 17811840）小时候，父母亲望子成龙，希望他长大成为一名医生、律师什么的。在一次

13、旅行途中，有人向普阿松提出下面的难题：两个朋友要平分容积为8夸脱的一壶酒。他们还有两个空罐子，一个容积为5夸脱，另一个容积为3夸脱。问如何平分这8夸脱的酒？普阿松很快解决了这个问题，他的解法如下：1、在中壶中倒满酒，则原来大壶中剩酒3夸脱； 2、从中壶中倒出3夸脱酒于小壶中，剩酒2夸脱； 3、将小壶中的酒倒入大壶中，得6夸脱酒； 4、将中壶中剩下的2夸脱酒倒入小壶中；5、从大壶中倒出5夸脱酒于中壶中，剩酒1夸脱；6、从中壶中倒出1夸脱于小壶中；7、将小壶中的酒倒入大壶中。完毕。从此，他喜欢上数学，并决定以数学为一生的职业。三罐子问题的解法NIM问题在历史上，许多趣味数学问题或游戏都可以借助二进

14、制来解决，其中有著名的中国九连环问题、河内塔问题、Nim问题等。河内塔连环游戏Nim问题是这样的：将筹码分成若干组，两个游戏者轮流从中取筹码。一次可以取其中某一组，或这一组中的任意个（但至少必须取一个）；取最后一个筹码者即为输者。假设有21 根火柴，游戏者每次至少必须取1根，最多可以取5根。如果甲先取火柴，那么他可以通过如下方法来取胜。在心里暗暗将火柴分成2、6、6、6、1五组如下图，然后取出2根；接着视乙取火柴的根数来决定第二次取法：如果乙取1根，甲就取5根；乙取2根，甲就取4根；乙取3根，甲就取3根；乙取4根，甲就取2根；乙取5根，甲就取1根，即甲乙所取总数为6。接下来的取法也是如法炮制。

15、最后，乙就不得不面对剩下的最后1根了。在n根火柴的情形，先取者只需在心里暗暗将火柴分成k+2组，其中的k组各含6根火柴，其余两组中，一组含1根，另一组火柴数在1和6之间。做到这一点并不难，不过是把n写成6k+m+1（k，m均为正整数，1 m 6）的形式罢了。约瑟夫问题 在古代的趣味数学问题中，最著名的莫过于约瑟夫问题了。该问题说的是：把若干人排成一圈，从某个位置数起，每数到第m个就杀掉，最后剩下的是事先指定的几个人。这个问题很可能起源于古罗马军队中对士兵 “逢十取一”的惩罚制度。在公元4世纪的一部著作里，一位以Hegesippus为笔名的作者告诉我们，约瑟夫（Josephus）就是利用这种方式

16、挽救自己性命的：当罗马人Vespasian攻陷Jotapat之后，约瑟夫和另外四十个犹太人躲到一个山洞里避难。让约瑟夫讨厌的是，除了他自己和一名特殊的朋友外，其余39人都决心自杀以便不落入罗马人之手。尽管约瑟夫不愿意这样做，但他不敢公然提出反对；口头上只好同意。但是，他提出了自杀行动必须按顺序进行，并建议：所有人排成一圈，随意从某一位置开始数，每数到三的人拉出圈子杀掉，最后剩下的一位自杀。他把自己和朋友分别安排在第16和31个位置，成功地避开了死神。 在分别写于10世纪初、11世纪和12世纪的三部手稿里，我们也发现了这个问题。文艺复兴时期，卡丹、拉姆斯（Ramus）在其数学著作中的介绍则使这个

17、问题得以迅速流传开来。后来，它被改编成新的版本：一艘船载有15位土耳其人和15位基督徒。途中遇到风暴，波涛汹涌、孤舟无援、将要沉没。为了挽救船只，保全船员，必须将一半乘客扔到海里。于是，乘客排成一圈，从某一位置开始点数，每点到九，就把这个位置上的人扔到海里。问如何排列方能使所有基督徒幸免于难？正确排列见下图：后人通过下列诗句中的元音字母在英文字母表的序号（a1；e2；i3；o4；u5）来记忆上图中的排列： From numbers aid and art, never will fame depart。后来的欧拉、舒贝尔（Schubert）和泰特（P. G. Tait）都解决过更一般的约瑟夫问

18、题。英国著名制谜大师杜德内（H. E. Dudeney, 18471930）的“猫捉老鼠”问题亦约瑟夫问题的另一形式，以下是陈怀书先生的译文：“十三鼠为猫所捕，欲逃而不能。乃互私议，得一法。谓猫曰：今日汝欲杀余等，余等无力以抗，只得俯首待斃。但余等有一特别游戏，愿与君共行之，则余等虽死，无撼矣。即君之食余等也，亦愈觉更有味矣！不知君以为然否？猫曰：善！请道其详。鼠曰：余等排列为一圈，任君从何处为起点，绕圈而走，至第十三个则取而食之。然后再从被食者之次数起，数至第十三个，再取而食之。如是至最后，则余等皆为君食尽。但余辈中有一白色者，其肉嫩而肥，可供君作最后之佳肴。君须稍加思索：若从何处数起，则白

19、者可留至最后食。稍待，余缓思之。不意猫思索良久，觉困倦异常，遂酣然入黑甜乡矣。群鼠见猫熟睡，知已中计，一哄而散，安然各入洞中矣。”古代日本早在14世纪中叶鎌仓时代晚期、室町时代初期就有文献记载类似于西方约瑟夫问题的“继子立”问题。和算最早的专著吉田光由（15981672）的尘劫记对该问题有详细介绍：从前，有位农夫，生了30个孩子，其中15个为前妻所生，15个为第二个妻子所生。 三十个孩子都认为父亲的财产不够平分，于是第二任妻子欲为自己生的长子谋取财产继承人资格。一天，他对丈夫说：“亲爱的丈夫，你老了。该立一个继承人了。让我们把30个孩子排成一圈，从其中某一个开始点数，每点到第10，第10个人就

20、推出圈子，被淘汰掉。最后剩下的一个就是你的继承人。”丈夫觉得妻子的这个建议很合理，于是同意按这个方法选继承人。但狡猾的妻子却暗藏机关，她让30个孩子按照她预定的位置站成一圈，如下图。其中穿白衣的是前妻的孩子，穿黑衣的是后妻的孩子。从图中东北角举旗的黑衣者开始，按顺时针方向轮番循环点数，结果前面被淘汰掉的全是白衣人。眼看着最后一个白衣孩子马上要被淘汰出局，可怜的老头才明白其中有诈。于是，他马上建议接下来按逆时针方向点数（仍为逢10淘汰，且从仅余的白衣孩子开始）。妻子没有时间算计，仗着自己的孩子以15:1的明显优势，她答应按反方向点数。结果，前妻的孩子以1:15的劣势险胜，获得继承权。继子立问题继

21、子立问题示意图十五子戏在数学游戏中，我们不能不提到 “十五子戏”。在一个浅浅的木制或金属制方盒里装有15个小方块，上面标有1到15共15个数字，剩下一个空格，使得15个方块可以移动。游戏要求从15个方块的初始位置（通常按自然顺序排列，如下左图）移动为指定的排列（如下右图）。该游戏自1878年由美国制谜大师萨姆洛伊德（Sam Loyd, 18411911）发明后，立即在美国风行起来。洛伊德的儿子后来这样描写当时的情景：“人们被这个游戏弄得神魂颠倒，有些荒谬可笑的传说讲道，一些店主忘了打开店门；一个很出名的牧师竟会在整个冬夜里伫立在路灯下苦苦思索，想回忆出他曾经完成的那一个步骤。传说有的轮船驾驶员

22、差一点使他们的船出事；有的火车司机把火车开过了站。一位著名的巴尔的摩编辑讲起过这样一件事：他出去吃午饭，结果当他的紧张万分的同事在午夜过后很久找到他时，他还在一只盆子里将馅饼片推来推去。“15子戏”也在欧洲不胫而走。在德国，街头、工厂、皇宫、国会，随处可见沉迷于这个游戏的人们。雇主们不得不张贴告示，禁止他们的雇员在上班期间玩此游戏，违者将被解雇。在法国，连选民们都不得不去监督着他们选出来的代表是否国会玩这个“老板游戏”。在法国，在巴黎的大街上，在从比利牛斯到诺曼底的每一个小村庄里，到处都有人玩这该死的“拼板数字游戏”（Jeu de Taquin）。一位当时的新闻记者甚至如是说：这“拼板数字游戏

23、”比烟草和酒精还要糟糕，它让无数的人们患头疼，神经痛，甚至神经病，它是人类痛苦的根源！ 整个欧洲都为“十五子戏”发了疯。人们举办比赛，设立巨额奖金，但奇怪的是，从来没有人能赢得这些奖金。我们知道，15个方块加上一个空格的所有可能的不同排列数共有16!=20, 922, 789, 888, 000种。游戏发明后不久，两位美国数学家在美国数学杂志上发表论文，证明了对于任何一种给定的排列，所有可能的排列中只有半数能够通过移动方块得到，也就是说，约10亿种排列是能够得到的，而另外10亿种则是根本无法得到的。难怪那么丰厚的奖金就是无人能拿到，原来，设立奖金的排列根本就是不可能得到的！不幸的是，美国数学杂

24、志远远没能像“十五子戏”本身那样传播，否则，又会有多少抵制不住金钱诱惑或好奇心驱使的人们脱离痛苦的深渊！ 实际上，我们可以把移动方块得到某个指定排列的过程看作是空格“移动”的过程。空格从右下角出发，经过某一条路径，最后又回到了右下角。易见，在这个过程中，空格向上和向下走过的方块数是相等的，向左和向右走过的方块数也是相等的。也就是说，空格总共必须经过偶数个方块。由此可以得到判定一种给定的排列能否从初始自然排列得到的方法：只需数一数该排列中有几个逆序，如果逆序数是偶数，则排列是可以得到的，如果逆序数是奇数，则排列是无法得到的。所谓逆序，是指一数排在比它小的数的前面。18世纪法国数学家克莱姆（Cra

25、imer）在研究方程组的一般解法时已经提出过这个概念。如在排列2，1，4，3中有2个逆序，即（2，1）和（4，3）。在n个数的所有可能的排列中，逆序数为偶数和奇数的排列各占一半。右图中的排列共有6个逆序，因此是可以从初始排列经过移动得到的。而下面两图中的排列分别含有1个和21个逆序，因此是不可能从初始自然排列经过移动得到的。左图正是洛伊德本人设立高额奖金的排列。蜘蛛与苍蝇 如果说不可能位置的存在是造成无数玩“十五子戏”的人痛苦不堪的原因的话，那么，杜德内的“蜘蛛和苍蝇问题”让无数人百思不得其解则是他们自己的直觉惹的祸。设想有一个长30英尺、宽12英尺、高12英尺的房间（如上右图所示），在面积较

26、小的一面墙上有一只蜘蛛，蜘蛛位于中轴线上，且离天花板1英尺；在这面墙的对面墙上有一只苍蝇，苍蝇也位于中轴线上，且离地面1英尺。现在要问：蜘蛛欲吃苍蝇，它的最短路径是什么？你肯定会不假思索地为蜘蛛选择这样的“最佳”路径：先沿墙壁的中轴线向下爬，然后沿地面的中轴线向对墙爬，最后沿对墙中轴线向上爬即可，或者先向上爬，然后沿天花板的中轴线爬，最后沿对墙中轴线向下爬，两条路径的总长度均为42英尺。 那么，饥肠辘辘的蜘蛛对你的选择会感到满意吗？且让我们用下面四种方法将纸折成房间模型。利用几何中“两点之间直线最短”的公理，四种情形中，蜘蛛和苍蝇之间的距离分别为42、43.2、40.7和40英尺。可见，第四条

27、路径才是蜘蛛最满意的。 A B C DA BC D蜘蛛路线图关系问题在举不胜举的趣味数学问题中，还有广为人知、但往往让人掉入五里云雾之中的“关系”问题。法国著名剧作家欧内斯特勒古韦（Ernest Legouv）一次在公共浴室里洗澡，突然心血来潮，向一起洗澡的同伴提出如下问题：两个彼此之间没有亲戚关系的男人是否可能有同一个姐妹？一位公证员不假思索地说：“不，根本不可能。”一位反应稍微迟钝一些的律师仔细想了一阵子后，同意那位公证员的看法。接着，旁边的人都一致认为：绝对不可能。“但这仍然是可能的，”只听得剧作家不紧不慢地说道，“现在我说出两个人来。他们中一个是欧仁苏（Eugene Sue），另一个就

28、是我。”众人哪里肯信？七嘴八舌，都嚷着要他解释清楚。于是勒古韦叫服务员取来用于记录顾客名字的石板。他在石板上写道：苏太太苏先生 索菲女士苏先生 索菲女士勒古韦先生 | | | 欧仁苏 弗洛蕾苏 欧内斯特勒古韦其中，“”表示结婚，“|”表示生子女。显然，欧仁苏和欧内斯特勒古韦并没有亲戚关系，但他们却有一个共同的姐妹弗洛蕾苏！ 为了解决关系问题，苏格兰数学家迈克法兰（Alexander Macfarlane）发明了一种“关系代数”，解决诸如“我没有一个姐妹和兄弟，但这人的父亲是我父亲的儿子”之类的较为简单的关系问题。但是，如果让迈克法兰解决下面的印度传说中的关系问题，恐怕他也会觉得自己发明的代数有些无能为力了。 一个国王被他的族人篡夺了王位，被迫带着妻子和女儿