椭圆离心率的解法文档格式.docx

1、X2 v2题目1：椭圆h +十厂二l（ab 0）的两焦点为Fl、庄，以 a bFF2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以 取AF2的中点B,连接BN，把已知条件放在椭圆，构造FiBF? 分析三角形的各边长及关系。解:T FiF2 I 二2c I BFi I 二c I BF2 I =y/3c c+/3c=2a *. e= -刑-1a变形1：椭圆h + 土厂二l（ab 0）的两焦点为Fi、F2 ,点a bP在椭圆上，使AOPFi为正三角形，求椭圆离心率？连接 PF2 ,则丨 0F2 I = I OFi I = I O

2、P I , ZF1PF2 二90。图 形如上图，e二寸5-1变形2：椭圆丁 +計二l（ab0）的两焦点为R、F2 , AB求椭圆离心率?点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及 关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形x2 y2题目2：椭圆产+ 丁 =l（ab 0）, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，ZABF二90 ,求e?a2+bJ+aJ =（a+c）J 二a+2ac+c a2-c2-ac=0 两边同除以A是左顶点,J+e十0歹呼沪学（舍去） 变形：椭圆宁+#i（ab 0）,歹字,F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ZABF?此题是

3、上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边, 由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e二的椭圆为优美椭圆。性质:1、ZABF二90 2、假设下端点为Bi，则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义, 找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。2 2题目3：椭圆d +二l（ab 0）,过左焦点R且倾斜角 a b为60的直线交椭圆与AB两点，若I FiA I =2 I BFi I ,求e?解：设 I BFi I =m 则 I AF2 I =2a-am I BF2 I =2am在AFF?及剪心中，由余弦定理得：a

4、2 - cJ=m（2a-c）2 （a2-c2）=m（2a+c）x2 v2F2 （c,0）, P是以丨F1F2 I为直径的圆与椭圆的一个交点，且ZPFiF2 二5ZPF2F1 ，求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。I PF2 Isin PF1F2根据和比性质:I FiP丨+丨PF2丨sin FiPF2 sinFiF2P+sin PF1F22c2a e sin90e= sin75 +sinl5ZPF1F2 二75。ZPF2Fi 二 15。 F2 （c,0）, P是椭圆上一点，且ZFFF2二60。，求e的取 值围？上题公式直接应用。设 ZF/P二 a,则 ZF2F）P=120 -a运

5、用三角函数的公式，把正弦化正切。a + B a + B 2sin -cosa + B2sin -cos乙a B1- tan -y-tan 厂= a =e1- tan -tan 厂1 1-e 1 1 1;-3e0）,斜率为1,且过椭圆右 a b焦点F的直线交椭圆于A、B两点，0X+0B与1=（3,-1）共线,求e?法_：设 A（xi,yi） ,B（x2,y2）fi 2 2 . 2 2 2i 2b x +a y =a b.y 二xc（a2+b2） x2-2a2cx+a2c2-a2b2=02aJc 2aJc 门 _2b2cX1+X2 二苻 yi+y2=W2c=IWOA+OB= （xi+x2, yi+

6、y2）与（3, -1）共线，则一 （xi+x2） =3 （yi+y2）既 a2=3b2法二:设AB为中点N,则 2 说二 0A+0Bc 2X1yi2-得：2X22 + lay2b2y-y2b2- 2Xi +x2.1= 2 （ 3）既 a 二3bX-X2yi+y2四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值围。题目6：椭圆+7=1 （ab 0）的两焦点为Fi （-c, 0）、 a bf2 （c,0），满足mF, -mF2二0的点M总在椭圆部，则e的取值围？亦| 防2二0以FE为直径作圆，M在圆0上，与 椭圆没有交点。/.cbX y2题目7：0）的两焦点为A （-c, 0）、 a bF2 （c,0）

7、,P为右准线L上一点，FF的垂直平分线恰过F2点,求e的取值围？思路1,如图FF与FI垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路厶 根据图形中的边长之间的不等关系，求eF2 （c,0） P（,y0）i 2 2既（J-, 丁） 则用1 二一（|+c, yo ）i 2mF2 二-（丁） PPi mF2 =oz a2 z b2 yo、c（+c, y0 ） （ o-c, ） =0c 2c 2解法 2： I FiF2 I = I PF2 I =2c对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法, 而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形 边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析 几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题 的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认 识和掌握。