椭圆离心率的解法文档格式.docx
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X2v2
题目1：
椭圆h+十厂二l（a〉b>
0）的两焦点为Fl、庄，以ab
FF2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则
椭圆的离心率e?
思路：
A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B,连接BN，把已知条件放在椭圆，构造△FiBF?
分析三角形的各边长及关系。
解:
・・TFiF2I二2cIBFiI二cIBF2I=y/3cc+^/3c=2a・*.e=-刑-1
a
变形1：
椭圆h+土厂二l（a〉b>
0）的两焦点为Fi、F2,点
ab
P在椭圆上，使AOPFi为正三角形，求椭圆离心率？
连接PF2,则丨0F2I=IOFiI=IOPI,ZF1PF2二90。
图形如上图，e二寸5-1
变形2：
椭圆丁+計二l（a〉b〉0）的两焦点为R、F2,AB
求椭圆离心率?
点评：
以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
x2y2
题目2：
椭圆产+丁=l（a〉b>
0）,A是左顶点，F是右焦
点，B是短轴的一个顶点，ZABF二90°
求e?
a2+bJ+aJ=（a+c）J二a'
+2ac+c‘a2-c2-ac=0两边同除以『
A是左顶点,
J+e十0歹呼沪学（舍去）变形：
椭圆宁+#i（a〉b>
0）,歹字,
F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ZABF?
此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。
答案：
90°
引申：
此类e二的椭圆为优美椭圆。
性质:
1、ZABF二90°
2、假设下端点为Bi，则ABFB1四
点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：
焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义,找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。
22
题目3：
椭圆d+—二l（a〉b>
0）,过左焦点R且倾斜角ab
为60°
的直线交椭圆与AB两点，若IFiAI=2IBFiI,求e?
解：
设IBFiI=m则IAF2I=2a-amIBF2I=2a~m
在△AFF?
及△剪心中，由余弦定理得：
a2-cJ=m（2a-c）
2（a2-c2）=m（2a+c）
x2v2
F2（c,0）,P是以丨F1F2I为直径的圆与椭圆的一个交点，且
ZPFiF2二5ZPF2F1，求e?
分析：
此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
IPF2I
sinPF1F2
根据和比性质:
IFiP丨+丨PF2丨
sinFiPF2sinFiF2P+sinPF1F2
2c
2a~e
sin90°
e=sin75°
+sinl5°
ZPF1F2二75。
ZPF2Fi二15。
F2（c,0）,P是椭圆上一点，且ZFFF2二60。
，求e的取值围？
上题公式直接应用。
设ZF/P二a,则ZF2F）P=120°
-a
运用三角函数的公式，把正弦化正切。
a+Ba+B2sin-cos
a+B
2sin—-—cos
乙
aB
1-tan-y-tan厂
=a=e
1-tan-^-tan厂
11-e111
;
-3<
e<
三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法
找e所符合的关系式.
题目5：
椭圆d+—二l@〉b>
0）,斜率为1,且过椭圆右ab
焦点F的直线交椭圆于A、B两点，0X+0B与1=（3,-1）共线,
求e?
法_：
设A（xi,yi）,B（x2,y2）
fi22.222i2
bx+ay=ab
.y二x—c
（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0
2aJc2aJc门_2b2c
X1+X2二苻yi+y2=^W~2c=IW
OA+OB=（xi+x2,yi+y2）与（3,-1）共线，则
一（xi+x2）=3（yi+y2）既a2=3b2
法二:
设AB
为中点N,
则2说二0A+0B
c2
X1
yi2
①
①-②得：
]2
X2
2+la
y2
b2」
②
y-y2
b2
-2
Xi+x2
•
.1=2（3）既a二3b
X-X2
yi+y2
四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值围。
题目6：
椭圆—+7^=1（a>
b>
0）的两焦点为Fi（-c,0）、ab
f2（c,0），满足mF,-mF2二0的点M总在椭圆部，则e的取值
围？
・・・亦|•防2二0・・・以FE为直径作圆，M在圆0上，与椭圆没有交点。
/.c<
b
Xy2
题目7：
0）的两焦点为A（-c,0）、ab
F2（c,0）,P为右准线L上一点，FF的垂直平分线恰过F2点,
求e的取值围？
思路1,如图FF与F』I垂直，根据向量垂直，找a、
b、c的不等关系。
思路厶根据图形中的边长之间的不等关系，求e
F2（c,0）P（—,y0）
i22
既（J-,丁）则用1二一（|~+c,yo）
i2
mF2二-（丁）PPi•mF2=o
za2\zb2yo、c
（—+c,y0）•（o-c,—）=0
c2c2
解法2：
IFiF2I=IPF2I=2c
对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法,而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。
所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。
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