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1、 在NE中加入mixed strategymixed strategy for player i is a probability distribution over （ some or all of ） the strategies in SiMixed 2Pure strategies : 在Si中的strategies都是pure strategies故在上例中：Si = T , H 有2個pure strategies : H , T而mixed strategy為 （ q , 1-q ） q = Prob （ H ） 1-q = Prob （ T ） 0 q 1= （ pure st

2、rategy is limiting case of mixed strategy ）MixedPure（0 , 1）表示THstrategy notation :mixed : PiPure : SiDef : In the normal form game G = S , , S = Si Suppose Si =si1 , , sik Then a mixed strategy for player i is a probability distributionPi = （Pi1 , , Pik）, where 0 Pik 1 , for k = 1 , , K And Pi1 + +

3、Pik = 1Mixed 3按定義若Si為strictly dominated strategy 表示不存在任何belief讓i認為選Si是optimal choice若Si為strictly dominated strategy，則沒有belief可以讓i不選Si作為optimal choice若無任何belief使得i認為必須以Si為optimal choice，則必存在一個是strictly dominates Si看下例：（ 2 ）LRPlayer （ 1 ）3 , -0 , -MB1 , -對player 1而言，T , M或B無一個是被其他choice strictly domin

4、ated（注意）但在某一belief下 （ q , 1 - q ） , q = Prob （ L ）則player 1s best response is T if q player 1s best response is M if q B is strictly dominated by mixed strategies , one example : Mixed 41 22 , -B is not a best response to the other pure strategies 但B can be a best response to a mixed strategy若player

5、 2 play L , player 1s best response is T player 2 play R , player 1s best response is M若player 2 play （ q , 1 - q ） , 則B為best response to （ q , 1 - q ） c.f player 1s mixed strategy （ P , 1 P , 0 ），注意不是若表示dominance故：E （ 1 ） = P3q + P0（ 1 q ） + （ 1 P ）0q + （ 1 P ）3（ 1 q ） = 3 P q + 3 （ 1 P ） （ 1 q ） =

6、 6 P q 3 - 3 P 3 q若E 1 （ P , 1-P , 0 ） 1 （ B ） = 2 B : （ 0 , 0 , 1 ）?mixed 5 Matching Pennies Game1 believes 2s strategy : （ q , 1-q ） , q = Prob （ H ）Give this belief , player 1s E （ ） are令1的mixed strategy為（ r , 1-r ）NE : 求best response for player 2 s （ q , 1-q ） : r* （ q ）Mixed 6一般化：若player 1相信2的m

7、ixed strategy為（ P21 , , P2K ）若1 play Sij （ pure strategy ）若1 plays （ P11 , , P1J ） : mixed strategiesMixed 7P = （ P11 , , P1J ）為player 1 對player 2s mixed strategy P2的best response它必須符合下述條件P1j 0 only if 亦即： 0 只有在其所對應的pure strategy S1j是P2的best response在best response mixed strategy中只有可能的pure strategy才能

8、放入正的機率（若該alternation strategy並非best response則其機率 = 0），如第32頁中的strategy B，其機率 = 0此外，若player 1有許多best response to P2 那麼：任何mixed strategy放P 0於全部或部分位於B R （ S1 ） 中的pure strategies , P = 0 於非BR者，皆為player 1對P2的best responser* （ q ） 中包含r = 0 （ 0 , 1 ），r = 1 （ 1 , 0 ），Mixed 8Nash equilibrium （ include mixed s

9、trategy ） In a two player normal form gameG =S1, S2 ; 1 , 2, the mixed strategies are a NE if each players mixed strategy is a best response to the other players mixed strategy , that is for to be NE.Mixed 9找NE解：回到Matching Penniesr H（ 1-r ） T找player 1s mixed strategy （ r , 1-r ） 的best response q* （

10、r ）Best response correspondence : r* （ q ） , q* （ r ）注意：兩個players 都不是隨機選擇其pure strategy（亦即，並非在選擇前擲銅板來決定方向）例如：打擊者若不清楚投手在練習時丟什麼球最順手，那麼他必認為丟直球、曲球的機率相同，根據此，打擊手選即使投手所依據的選擇標準為private information （ unavailable / unobservable ） to打擊手Mixed 10妻OperaFight夫Opera （ o ）2 , 10 , 0Fight （ F ）1 , 2另一例：Battle of the

11、Sexes夫：（r , 1-r ）妻：（ q , 1-q ）此處有三個交點，另外兩個NE為（q = 0 , r = 0），（q = 1 , r = 1）Mixed 11用圖形來討論NE（1） 找best response correspondence for each player （BRC）（2） NE為BRC之交點例：q1-qLeftRightrUpX , -Y , -1-rDownZ , -W , -主要cases :（ i ） X Z , Y W Up r* = 1 （ ii ） X Z , Y W（ iv ） X Z Y q q/ = Up : r* = 1 q Down : r* = 0 q = q/ Mix 12此外：（ v ） X=Z q=1 YW（ vi ）Y=W q=0 XZ同理，也可以找r 以及q*（ r ） for player 2 必可以找到r* （ q ） 與q*（ r ） 之交點：其NE可能為單一，可能為多數主要case有4種，加上a=6又有四種若只討論主要case的game 4*4種可能圖形否則8*8=64種可能圖形